COURBE PLANE OU GAUCHE

14IS- Tanseiite» normale et plan normal en coordonnées reetUlsnes. — Deux points consécutifs d'une courbe déterminent la tangente à cette courbe, et par suite aussi la no-r^ maie si la courbe est plane, le plan normal si elle est à double courbure.

Soit d'abord une courbe plane en coordonnées reciiligneSy rec^ (angulaires ou obliques :

X et y sont les coordonnées du point considéré m, a? + rfir, et y + dy celles du point infiniment voisin ni ; les coordonnées d'un point ^M quelconque M (X, Y) de la tangente m ni satisferont à :

dy dx

c'est l'équation de la tangente exprimée en quantités infiniment petites. Pour passer de là à son équation en quantités finies, il suffit de remarquer que l'équation (1) entraîne la liaison

(3) F'rdx-^F'ydy=0

entre les différentielles. Remplaçant dans cette dernière relation ctr et É^y par les différences proportionnelles X — .r, Y — //. on a

(4) (X-x)P, + (Y-î/)F', = 0, qui est l'équation cherchée.

14IG. L'équation de la normale s'en déduit en remarquant que 'la normale est une droite passant par le point 7nix,y)et perpendiculaire à la précédente. Si les coordonnées sont rectangulaires, cette équation sera donc

Si les coordonnées sont obliques Téquation est plus compliquée mais aussi facile à obtenir.

141V. L'expression du coefficient angulaire de la tangente

^ dx F\

fournit sans difficulté les valeurs des longueurs appelées nor-

maie, tangente, sous-noinnale, sous-tangente dans une courbe en coordonnées rectangulaires. On a en valeur absolue :

normale mn =

cosO

tangente m l = -r—z

8ous-normale pn=^

dy dx

. A dy F'x

dx F'

sous-tangente pt = y cotO = y — = y =J^.

►. Soit actuellement une courbe gauche en coordonnées rectilignes.

Les équations de la tangente exprimées en quantités infiniment petites seront données par les proportions

JK--

dx

dy

dz

Les deux équations de la courbe fournissent d ailleurs deux liaisons homogènes entre dx, dy, dz qui permettent d'éliminer les infiniment petits. Par exemple, si les équations de la courbe sont mises sous la forme

0) on aura

dx = 9' (z) dZf dy = f(z)dz,

doù

Si les coordonnées sont rectangulaires, on sait que deux directions faisant entre elles un angle droit et des angles a, p, y, * î &'j ï â-vec les axes, satisfont à la condition

ces <x COS a' + ces P COS ?' + COS Y 008 Y •= 0.

Soit N(X, Y, Z) un point quelconque du plan normal en ??î à la courbe précédemment considérée. Exprimons que r?iN est rectangulaire avec mi.

Pour cela, remplaçons dans la condition de perpendicularité les cosinus des deux droites par les quantités proportionnelles (X— a*), (Y — y), (Z — z) pour la première, et dx, dy^ dz pour la seconde, et nous trouverons

(9) (X— X) dx + (Y— î/) dxj + (Z— z) dz = 0,

qui est Téquation du plan normal en quantités infiniment petites. Substituant, comme précédemment, à dx et dy leurs valeurs, on obtient l'équation en quantités finies

(iO) (X-x)9'U) + (Y-y)f(;) + (Z^z) = 0.

140. Coordonnées |>olaires. — On trouverait sans difficulté les formules analogues aux pré- , ^ cédentes relatives à d'autres systèmes

de coordonnées.

Nous nous bornerons à calculer l'expression suivante, qui sert à déterminer la tangente à une courbe plane

4^^ 1" en coordonnées polaires.

Soient m et m' deux points infiniment voisins ; décrivons l'arc de cercle mp de centre 0. Dans le triangle infiniment petit mpm\ on a

pin p m' m ynp

sinpmin' ra'p^

ou, en négligeant les infiniment petits négligeables,

, arcmp rdv^ mp dr

Mais la corde mmf est à la limite la tangente à la courbe; la

formule trouvée exprime donc la tangente trigonométrique de l'angle Y que l^'^ fait avec le rayon vecteur Om la tangente mt à la courbe.

Les différentielles rfw et dr qui entrent dans cette formule sont liées par la liaison diflérentielle du premier ordre déduite de l'équation de la courbe

? (ry w) = 0,

et l'on obtient par leur élimination la valeur de tgV en quantités finies.

ISO. Aires et areii des courbes. — Certaines fonctions géométriquement liées à une courbe ne peuvent pas s'exprimer immédiatement en fonction des coordonnées de cette courbe ; mais on trouve aisément la liaison entre les différentielles de ces fonctions et les différentielles des coordonnées.

CALCl'I. DIFFÉRENTIEL 185

Premier exemple. — Aire d'une courbe plane en coordonnées rectangulaires.

On entend généralement par aire d'une courbe plane la surface ombrée comprise entre cette courbe, l'axe des t, et deux ordonnées quelconques mp, m'p'.

Soit A. la grandeur de cette aire inconnue exprimée en fonction de l'abscisse x du point ;)' dont elle dépend évidemment.

Donnons à j; un accroissement différentiel dx. Il en résultera pour A un accroissement dA compris entre les deux rectangles infinitésimaux

m'q"p'yf ou ydx, et

^'m'p'p* ou {y + dy) dx.

Ainsi

ydx<(fA <ytlx-^dy dx,

divisant par dx cette inégalité et remarquant que dydx est négligeable à côté de ydx, il vient à la limite

Ainsi, la fonction inconnue de x qui représente l'aire a pour dérivée la fonction connue qui représente l'ordonnée y; de là, comme nous le verrons dans la seconde partie de ce Cours, le moyen de calculer cette fonction inconnue.

Deuxièhk exemple. — Aire d'une courbe plane en coordonnées polaires.

On entend généralement par là Taire ombrée comprise entre deux rayons Om, 07n\

Soit B la fonction inconnue de Tangle mOX ou co qui représente cette aire.

Donnons à w laccroissement dw et décrivons de 0 comme

centre les deux arcs de cercle wi'n.

mV.

On voit que la différentielle rfB de l'aire B se trouve comprise entre les deux aires infiniment petites Om'n\ Om V, qui ne diffèrent entre elles que par l'aire du deuxième ordre ?n'7i'mV.

Donc, à la limite

dB=rl^,

du) %

151. Troisième exemple. — Arc d'une courbe en coordonnées rectangulaires et en coordonnées polaires.

On appelle par définition longueur d'un arc de courbe la limite vers laquelle tend le périmètre d'un polygone infinitésimal inscrit dans cet arc de courbe.

On peut démontrer d*abord que cette limite existe, ensuite qu'elle est indépendante de la loi suivant laquelle décroissent les côtés du polygone. Nous admettrons ces résultats, pour la démonstration desquels nous renvoyons aux traités d'analyse connus. (Voir, par exemple, Serret, Calcul différentiel^ t. I, S 189; Jordan, Cours d'Analyse^ t. I, S 261, etc.).

Prenons donc pour la longueur s d'une courbe le périmètre du

polygone infinitésimal inscrit; la différentielle mm' de cet arc sera le côté mm' du polygone, et Ton aura :

mm ^::=mp -\- mfp ,

c'est-à-dire

d«« = dA:« + dy\

Si la courbe était rapportée à des coordonnées polaires^ on aurait, en décrivant de 0 comme centre Tare mp et négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur : \jn.*

mm = arc mp -^-m'p, c'est-à-dire

Enfin, sMl s'agissait d'une courbe gauche rapportée à des axes rectangulaires, Ô on aurait encore :

d«« = dx' + dy' + dz«.

Nous n'écrirons pas les formules relatives aux courbes gauches en coordonnées polaires, ni celles se rapportant aux axes obliques; elles sont d'un usage peu fréquent et s'établissent d'ailleurs sans aucune difficulté.