COURBURE DES LIGNES PLANES

152. I>éfliiItioii de la courbure. — Quand on suit une courbe, on tourne à mesure qu'on s'avance sur la courbe, et ïangle dont on a tourné à chaque instant dépend du chemin qu on a parcouru sur la courbe ; cet angle est fonction du chemin parcouru.

Ainsi, si l'on suit la courbe ÂB de A en B, on tourne de l'angle ç (qui doit être considéré comme négatif dans le

cas de la figure, si l'on adopte pour sens positif des angles, suivant l'usage habituel, le sens inverse du mouvement des aiguilles d'une montre).

i88 COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

Cet angle ç s'appelle la courbure totale de Tare AB.

Connaissant la courbe, on doit pouvoir déterminer langlo ç en fonction de Tare parcouru AB ; si Ton désigne par s cet arc, il doit donc exister entre 5 et 9 une liaison telle que :

Cette relation entre 9 et 5 peut servir à décrire la courbe : elle la représente de forme. Nous appellerons cette équation Xéqmlion de courbure de la courbe (*).

Le rapport de la courbure totale d'un arc AB à la longueur de cet arc, s'appelle la courbure moyenne de l'arc considéré.

Si l'arc AB devient infiniment petit, l'angle ç sera aussi infiniment petit en général et prendra le nom de courbure différentielle ou d'angle de contingence.

Considérons le polygone infinitésimal 1,2,3,4... que nous substituons pour les considérations d'infiniment petits à la courbe proposée.

L'angle e de deux côtés consécutifs 2 3 et 3 4 sera la courbure différentielle o\x ï angle de contingence relatif à l'arc différentiel 2 3.

On appelle courbure de la courbe au point 3 le rapport de la courbure différentielle 5 à l'arc différentiel correspondant 2 3.

C'est, on le voit, la limite de la courbure moyenne pour un arc infiniment petit pris sur la courbe à partir du point considéré.

Reprenons l'équation de courbure :

(•) 11 est à remarquer qu'une équation de courbure donnée continue à représenter la même courbe si l'on ajoute à Parc s ou à langle tp une constonle arbitraire. Cela revient simplement à déplacer l'origine des arcs surlacourbe ou à changer l'axe fixe à partir duquel se comptent les angles.

CALCUL DIFFERENTIEL 189

la différentielle de 9 étant égale à e, la courbure y sera donnée en fonction de Tare s par

153. l>éflnltion du rayon de courbure. — Au point de vue de la courbure, la plus simple des lignes planes est évidemment la ligne droite ; c'est une ligrCe qui ne se courbe pas. Puis vient le cercle, qui se courbe également en tous ses points. Dans le cercle, la courbure est la même en chaque point et a

pour valeur constante l'inverse /^ / y^>^

(lu rayon :

11 est donc naturel de comparer les courbes au cercle pour étudier leur courbure, et

l'on définit pour cela, en chaque point d'une courbe donnée, le cercle de courbure, c'est-à-dire le cercle qui a même courbure qu'elle.

Le rayon de ce cercle sera, d'après ce que l'on vient de voir :

ce rayon est dit le rayon de courbure de la courbe au point considéré.

Si l'on met l'équation de courbure de la courbe sous la forme

le rayon de courbure sera