Déflnition du cerele oseulateur. — Faisons pas
serun cercle par les trois points consécutifs 1,2,3, d'une courbe donnée.
D'après la définition de Tosculation (131), ce cercle sera
osculateur à la courbe. On pourra
le considérer indifféremment
comme osculateur aux points l.î ea 3, mais il faut adopter Tun de ces points, et si c'est, par exemple, le point 2 que Ion choisit, le cercle osculateur au point 3 sera celui des trois points 2,3,4 (*).
Les cercles 1,2,3 et 2,3,4, sont alors deux cercles osculateurs consécutifs.
Le cercle osculateur est au point considéré celui qui a le contact d'ordre le plus élevé possible avec la courbe.
Le cercle osculateur en un point d'une courbe a même courbure que cette courbe en ce point; en effet, cette courbure est
donnée pour la courbe et le cercle par la même expression :
^"" coté 1.2'
ji
(et ceci serait également vrai pour toute courbe osculatrice à la courbe donnée et ayant par conséquent les trois points consécutifs 1,2,3, communs avec elle).
Donc, le cercle osculateur est identique avec le cercle de courbure.
ISS. Théorème I. — Le centre du cercle osculateur ou de courbure est à V intersection de deux normales consécutives.
Précisant la définition de la normale, nous appellerons normales consécutives à une courbe les perpendiculaires aux côtés
(*) Rappelons, d'après une remarque faite (132^), que le cercle osculateur doit traverser la courbe.
CALCUL DIFFERENTIEL
réciproquement, la courbe donnée
consécutifs du polygone infinitésimal menées par les milieux de ces côtés. Nous considérons, par exemple, la perpendiculaire au milieu de 1,2 comme la normale en 1, celle au milieu de 2,3 comme la normale en 2, etc.
Avec cette définition, le théorème est évident.
Conséquence. — Le lieu des centres de courbure successifs jijpL,... est la courbe enveloppe des normales.
Ce lieu est dit la développée de la courbe donnée est une développante de cette développée.
150. T^éorénÈien. -~ L* accroissement du rayon de courbure de la courbe donnée entre deux points m et m' est égal à Varc corrcs^ pondant ^^ de la développée.
En effet, reprenons d abord la figure infinitésimale précédente. Le rayon de courbure au point 2 est |i.j2, celui du point 3 est |i.,3.
Or, si nous appelons e et e les angles de contingence en 2 et en 3, les angles a et a de la figure, évidemment plus petits que e et e', sont infiniment petits. Donc, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, on peut remplacer leurs cosinus par l'unité et écrire :
|X4K = (x, 2cosa ={Aj2=R,
ji,K = |x,3 cosa' = (x,3 =s R -H dR,
d'où
fi., fi., = dR,
c est-à-dire en désignant par a Tare de la développée
d<s = dR,
et, par suite, entre deux limites correspondantes, mais finies .
