A<T = AR

15V. Conséquence. — Comme conséquence de ce théorème,

on remarquera que si un fil inextensible primitivement enroulé en H.8H.,|j.,[jLç sur une courbe fixe T est déroulé de manière à rester constamment tendu sur la courbe et à occuper successivement des positions telles que |x,jx,[ji,wï,,

H-sl^j^uH-s^»» lextrémité de ce fil décrira une courbe

H-o ^1 ^^1 ^»j qui sera une développante de la courbe donnée.

Ce mode de génération explique les noms de développante et

CALCUL DIFFERENTIEL

de développée donnés aux deux courbes, qui se déduisent Tune de l'autre de la façon que nous venons d'expliquer.

Il est à remarquer que dans le déroulement du fil, chaque point de ce fil décrit une développante difTérente de la courbe F.

Une courbe admet donc une infinité de développantes.

Ces différentes développantes CC'C^sont normales à une même série de droites sur lesquelles elles détachent des segments égaux (ainsi les segments mTn\ m^ m',, m^7n\ sont égaux, puisqu'ils sont égaux à l'arc jx^ jx, de développée).

Pour cette raison, les différentes développantes d'une même courbe sont dites courbes parallèles.

Par contre, une courbe donnée C n'admet qu'une développée r, mais cette développée a elle-même une développée H, qui est l'enveloppe de ses normales; celle-ci fournit à son tour une développée nouvelle r*, et ainsi de suite : ces courbes F, F, F" sont dites les développées successives de la courbe donnée.

-iSS. Relations entre lem écpiations de courbure des développées successives d'une courbe. —

Il existe une relation extrêmement simple entre les équations de courbure de ces différentes

courbes pour lesquelles les angles de contingence correspondants sont évidemment égaux. Soit en effet

Téquation de courbure de la première, on en déduit c'est-à-dire

R = rw,

en désignant par R, comme précédemment, le rayon de courbure de cette courbe. Mais on a vu (IBO) que l'arc a de la développée était lié au rayon de courbure de la développante par la relation

donc

et, par conséquent,

dR-=d<j;

est l'équation de courbure de la développée T. De môme

<I^=rw + c^

seront les équations de courbure des développées suivantes FT^; et l'on voit que ces équations se déduisent de la première par de simples dérivations de la fonction f.

Réciproquement, les développantes d'une courbe F s'obtiendraient par l'opération inverse, et l'on trouverait, par exemple. en partant de

^ = rw, R = r(«) + K

Si Ton attribue à la constante arbitraire K toutes les valeurs

possibles, on obtiendra les développantes en nombre infini qu'admet la courbe F (*).

1 SO. Détermination analytique du rayon de eonrbore d'âne courbe plane en coordonnées rectillsnes.

— Proposons-nous maintenant de calculer analytiquement l'expression du rayon de courbure en un point d'une courbe donnée. Si la courbe était donnée par une équation de courbure s=f{x), la question se résoudrait par une simple dérivation, puisque on aurait :

Si l'équation est donnée en coordonnées rectangulaires, l'angle de contingence dx peut être considéré comme la différentielle de l'angle a que fait avec l'axe des x la tangente à la courbe.

On a :

Déplaçons le point m sur la courbe de la longueur mm' ou ds^ en supposant que les deux variables xety varient de la façon la plus générale, c'est-à-dire que ni d^x ni d^y ne soient nuls, et en nous réservant de simplifier plus tard les résultats par des hypothèses particulières.

Nous aurons alors

da dx d}y — dy d}x

COS*a

dJC*

0 Par la variation de la seconde constante K', on ne trouverait, ainsi qu*on Ta remarqué (152), qu'une seule et même courbe sur laquelle les arcs seraient comptés à partir d'une origine variable.

et par suite

~~ da^ cos'a (dxdhj — dyd*xf

Mais •

dx = ds COSa,

en sorte que

, ds* __ {dx* + rfy')'

dx d^y — dy d*x dx d*y — dy d^x

Telle est la valeur du rayon de courbure exprimée en quantités infiniment petites.

Si l'on suppose maintenant que x soit traité en variable indépendante, cette expression se simplifie et se réduit à :

Dx«

Dans cette hypothèse particulière, on sait que les rapports d'infiniment petits r-^ ^ sont égaux aux dérivées de la fonction

ô OP V CD

de X qui représente y.

Si donc l'équation de la courbe a été mise sous la forme

y = f{x), la formule précédente devient

et permet de calculer simplement le rayon de courbure en chaque point de la courbe donnée.