Cyonvexltéy concavité» points d'inflexion
Il est évident que le cercle osculateur passant par trois points consécutifs doit avoir son centre jjl situé du même côté que la
courbe par rapport à sa tangente, ou en d'autres termes du côté de la concavité de la courbe.
Nous avons vu d'ailleurs que les régions où la courbe tourne sa canvexité vers Taxe des x abaissé au-dessous d'elle {fig. 1) se distinguent de celles où elle lui présente sa concavité {fig. 2) par
Fig. i.
le signe de /^(^) qui est positif pour les premières et négatif pour les secondes. Si donc on convient d'attribuer toujours à R le signe de /^(^), c'est-à-dire d'affecter du signe + le numérateur
on obtiendra toujours le centre de courbure |jl en portant R avec
son signe sur la direction qui fait l'angle -|- s avec la tangente mt
dirigée vers les x positifs.
Les régions de la courbe que nous venons de définir sont séparées par des points où la dérivée seconde /*''(t) s'annule en général. En ces points, qui sont dits points d'inflexion, le rayon de courbure devient infini si r{x) est nul.
Nous reviendrons sur cette question à propos des points remarquables.
lOl. BxpreMiloii du rayon de courbure en eooi^ données polaires. — Si la courbe est donnée en coordoD-
nées polaires, par exemple par une équation de la forme
et d'où
igV =
en désignant comme précédemment par V Tangle du rayon vecteur avec la tangente, on a
pdb)
da = dw + dV.
Or, d'après (2)
dV
cos'V
Mais
donc enfin
dp*dc»> 4- pdpd*to> — pdte) d*p dP» '
et comme ds cos V = dp
.-- dp* dco + pdpd*(i> — pdft> d*p
et par suite
d«* dci) + dp* dw + pdpd'ci) — pda> d'p
d8« = p« dw« + dp» ;
p» da>* 4- 2 dp* dco 4- pdpd^ttf — pdu) d*p
(p« du»« + dp*) '
da=r
(p« do>' + dp*)
da p* dw* + 2 dp» d(i> + p dp d'w — p dw d»p
CALCUL DIFFERENTIEL 199
C'est Texpression de R en quantités infiniment petites ; elle a été établie sans faire aucune hypothèse spéciale sur la manière dont varient &> et p. Si Ton suppose actuellement que &> soit traité en variable indépendante, la valeur de R se simplifie par la disparition du terme en d'w, et en remplaçant ensuite les coefïi-
cients différentiels -r^j -r-^ par ©'(w) et (p"(a)), on aura la valeur
de R en quantités finies.
En se reportant au S ^6 on reconnaîtra Tidentité de la formule (3) avec lexpression du rayon de courbure en coordonnées polaires que nous avions déduite de sa valeur en coordonnées rectangulaires par l'application de la règle du changement des variables.
102. Coordonnées du centre de courbure | équation de In développée. — Les formules établies au § 1 SO et qui donnent en chaque point la grandeur du rayon de courbure, permettent de déduire
sans difficulté des coor- \F^(|1)
données x et y d'un point \ ^
de la courbe les coordonnées Ç et Y) du point correspondant de la déve- y/^^^JfJ loppée ; en effet , pour construire ce point, on n'a qu'à porter à partir
du point de la courbe
sur la direction faisant
l'angle -|- ^ avec celle du déplacement vers les x positifs, une
longueur égale à R dans un sens déterminé par son signe.
On a donc jl \ ç = x — Rsîna,
( »i = y + R ces a ;
sina et cosa étant connus en fonction de x et de y, ces deux équations jointes à celle de la courbe permettent par l'élimination de a? et de y d'arriver à l'équation en Ç et ■») de la développée.
Cette équation pourrait également s'obtenir en prenant l'équation de la normale
et cherchant lenveloppe de cette normale qui renferme les deux paramètres arbitraires xety liés par Téquation
de la courbe.
163. Remarquons que les propriétés démontrées de la développée peuvent se vérifier aisément sur les équations (1). Ainsi, ces équations donnent :
df = dx — R cosa da — sin « dR, dx) =z dy — R sin a da + cosa dR.
' Mais
Rda = ds,
ds cosa =: d.x, ds sin a = dy,
en sorte que les relations qu'on vient d'écrire se réduisent à :
df = — sin a dR, dT) = cos a dï{.
On en déduit
5ç = — cota,
et Ton vérifie ainsi que la développée ou lieu des points ç et 13 est tangente à la normale m\f..
On en déduit encore
d? + dTJ* = dR«,
c'est-à-dire
da = dR,
relation que nous avons démontrée géométriquement au S 1 66.
104^. Expression géométrique fMquemmeiit employée pour la déterminatioii du rayon de eourbure.
— Soit m un point d'une courbe G; nous pouvons, en prenant sur cette courbe un autre point n quelconque, déterminer un cercle passant par n et tangent en m à la courbe.
La condition de contact équivaut pour le cercle à lobligation d'avoir en 7n deux points consécutifs communs avec la courbe.
Si Ton suppose actuellement que le point n se rapproche indéfiniment de wî, le cercle ayant à la limite trois [points consécutifs communs avec la courbe en m lui sera osculateur en ce point ; en appelant R le rayon de ce cercle, on a d'ailleurs
c'est-à-dire
qr X qm ^ qn ,
(îR — np) np = mp ,
et à la limite en négligeant l'infiniment petit 7ip à côté de 2R.
telle est l'expression du rayon de courbure que nous nous propo sions d établir et qui nous sera souvent utile dans la suite.
COURBES PODAIRES ET COORDONNÉES PODAIRES
165. Définitions. — On appelle podaire d'une courbe plane donnée C relativement à un- point o, le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point o sur les tangentes à la courbe.
Soient mt, m'tf deux tangentes à la courbe C. i leur point d'intersection, p et p' les points correspondants de la podaire; il est évident que les points p et p' appartiennent au cercle décrit sur
io comme diamètre. Donc, à la limite, lorsque m et m' devien
nent infiniment voisins, la normale à la podaire en p sera la droite qui joint le point p au milieu a> de om (*).
(*) On doit remarquer que cette démonstration s'étendrait sans difficulté au
cas où les perpendiculaires abaissées sur les tangentes glisseraient sur une seconde courbe fixe Cit au lieu de tourner aiAour d'an point fixe. Enfin, un raisonnement analogue s'appliquerait encore si Ton substituait aux perpendicalaires des obliques faisant avec les tangentes un angle constant. On est ainsi conduit au cas général d'un angle de grandeur constante dont les côtés glissent sur deux courbes données. Nous reviendrons sur cette question dans le cours de mécanique, àpropos du déplacement d'une figure plane de forme invariable.
IBO. Coordonnées podaire«. —Une courbe M peut être définie au moyen d une relation entre la distance op ou r d*un point fixe o à sa tangente et Tangle 6, que fait la direction de op avec (^), une droite fixe OX.
Soit
cette relation : r 'et 6 sont dits les coordonnées podaires de la courbe M; ce sont, on le voit, les coordonnées polaires de la courbe P, lieu des points p et podaire de la courbe M relativement au point o.
Il est facile de calculer en fonction des coordonnées podaires la distance mp ou l du point m de la courbe au point correspondant p do sa podaire. Considérons, en effet, les deux tangentes consécutives mp mp\ qui se coupent au point m de la courbe M, et désignons par q le point d'intersection de op avec mp. Les angles en p et p' étant droits et Tangle q différant infiniment peu de 90®, on a, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur :
p'q =.dr=: mp' d6,
o'est-à-dire, mp' étant égal à l aux infiniment petits près :
^=To = ne).
16*9. Expression du rayon de courbure en c€>ordonnées podaires. — La valeur de / que nous venons de trouver conduit immédiatement à Texpression du rayon de courbure de la courbe M en fonction de ses coordonnées podaires.
Soit, en effet, m[L ou R ce rayon de courbure ; abaissons de 0 la
perpendiculaire oX sur la normale m\f., qui est aussi'la tangente à la développée N de la courbe M. L'équation de cette développée en coordonnées podaires, rapportée au point 0 et à un axe o x' perpendiculaire au précédent, sera évidemment (oX étant égal à /) :
La longueur jjlX se calculera donc par l'application de la formule (1) à cette nouvelle courbe, et l'on aura
d'où enfin
d}r iî = |xX + Xm == -JJ55 + r.
