DES COURBES PLANES

168. Après avoir déterminé d'une façon générale les éléments caractéristiques d'une courbe plane en l'un quelconque de ses points, nous étudierons spécialement les points où ces éléments présentent des particularités intéressantes; nous nous bornerons aux cas les plus importants.

Points singuliers. — On appelle, en général, points singuliers, dans une courbe plane, les points où la tangente, c'est-àdire la direction de la courbe, est mal définie.

Soit

'équation de la courbe, le coefficient angulaire ;7^de la tangente

CALCUI. DIFFERENTIEL 205

est donné par la liaison différentielle (6) F', dx + F'j, dy = 0,

et pour que ce coefficient soit mal déterminé, il faut que l'on ait séparément au point singulier x^ y^ :

Plaçons-nous dans cette hypothèse ; Téquation de forme (c), qui lie les différentielles de deuxième ordre :

F'^yj dy«.f 2F"a:^„^ dxdy + F'^x- dx» = 0,

et, si Ton écarte le cas très particulier où les trois dérivées secondes seraient aussi simultanément nulles, cette équation, divisée par rfx*,

fournira en général deux valeurs pour( j^J

(*) Remarquons que Tapplication de la règle sur rindétermination conduit à la même équation. En effet, puisque

dy^r±

dx F'y

se réduit à -pour x et y égaux à x^yy^j pour avoir sa vraie valeur, on doit former le rapport des dérivées ; on trouve ainsi :

dy '-.'«» ^^

F// . "" i PI

relation qui^ convenablement ordonnée, reproduit bien Téqualion (cQ.

Actuellement, trois cas peuvent se présenter :

1® Les racines de Téquation (c') sont réelles. Cette équation

donne alors deux valeurs réelles et dis-

tinctes pour(-~j ; on a deux tangentes, et par suite deux branches de courbe partant du point m ; ce point sera un point double.

Exemple. — Comme exemple de point double, nous citerons

la strophoïde droite.

Par un point fixe A pris sur l'un des côtés OX de l'angle droit XOY, on mène une sécante arbitraire , telle que AMNM', et, de part et d'autre du point de rencontre N de cette sécante avec OY, on porte deux longueurs NM, NM' égales à NO.

Le lieu des points M et M' est la strophoïde droite (*). Son équation,

en prenant XOY comme axes et désignant par a la distance AO,

est :

(a — x) y» — (a -f x)1pc^ = 0.

La courbe passe à l'origine , qui est un point singulier, car en ce point :

F'. = — y« — 3x« — 2aac = 0,l V\ = 21/ (a — x) = 0.

(*) Cette courbe se présente aussi comme podaire de la parabole relative au pied de la directrice.

En formant Téquation (c'), on trouve:

Ainsi, les tangentes aux deux branches qui se croisent en 0, sont inclinées à 45® sur les axes.

2* Les racines de Téquation (c') sont imaginaires ; il n'y a pas de branches de courbe passant au point considéré: c'est un pomi

izolé.

Exemple. — Soit la courbe ^

yî(x-a)«(x-.6)=0, j

dans laquelle nous supposerons a < b.

Le point A (ir=:a,y = o) satisfait évidemment à Téquation et c'est un point singulier, car on a en ce point

F'. = — (x — a) (3x — 25 — a) = 0, F\ = 2y sa 0.

L'équation du second degré en-pse réduit d'ailleurs à

ses racines sont imaginaires, donc le point A est un point isolé.

3* Les racines sont égales. — Dans ce cas, l'équation (c') fournit une direction unique et bien déterminée pour la courbe à partir du point m, mais il est facile de reconnaître que si l'on se déplace infiniment peu de part et d'autre du point m sur cette direction déterminée, d'un côté la direction de la courbe se dédouble, tandis que de l'autre elle devient imaginaire. La courbe doit donc présenter l'une des deux dispositions représen-

tées par les figures ci-contre. Elle a deux branches qui s'arrêtent

en m et y sont tangentes à une même droite; le point m est un poijit de rebroussèment.

Pour vérifier ce qui vient d'être dit, transportons-nous en des points m et m"^ infiniment voisins de m sur la direction de la courbe. t et appliquons en ces points l'équation (c):

(F'. d«x + F', d^y -h Y^^ dx* -h 2 F% dx dy

qui doit être satisfaite en tout point de La courbe. Par raison de continuité, F', et F,, qui doivent s'annuler au point m, seront infiniment petits en ni' et m/'j et par suite les deux premiers termes de Téquation seront négligeables à côté des suivants. En conséquence, la direction de la courbe à partir des points m' et m" sera encore fournie par l'équation ;

Mais, par raison de continuité, cette équation, qui donne au point m deux racines égales, doit fournir d'un côté de m, en m" par exemple, deux racines réelles infiniment peu différentes, et de l'autre côté de m, en m', deux racines imaginaires : résultat conforme à ce que nous avons annoncé plus haut.

Pour distinguer actuellement les deux dispositions de rebrous-

sèment, résolvons par rapport à -~- Téquation précédente relative

au point m" infiniment voisin de m. Nous trouverons un résultat de la forme

d'où

car 4'(a?o,î/o) ^^^* ^*^® ^^^'

Le rebroussement sera de première ou de seconde espèce j selon que les deux quantités :

• (*,y) — 9(«o,yf) + 'K«,y)»

9Ky)— ?(«0,yo)— 'K^fV)»

seront de signes contraires ou de même signe.

En effet, dans le premier cas, -^- va en croissant pour lune des branches et en décroissant pour Tautre ; les deux branches

se courbent donc dans des sens opposés par rapport à la tangente m^ Dans le second Cas, au contraire, la variation de ^

est de même sens pour les deux branches ; ces deux branches doivent donc se courber y dans le même sens.

La distinction analytique sera, en général, assez facile à faire.

Exemple. — La cissoïde est la ^ courbe qu'on obtient en menant par un point 0 d'un cercle une sécante variable OMNQ, sur laquelle on porte OM égal au segment NQ intercepté par le cercle et la tangente au point D, diamétralement opposé à 0. La courbe rapportée aux axesOX,OY

de la figure, a pour équation, en désignant par a le diamètre du cercle :

elle passe à Torigine, qui est un point singulier, car

F', = — y» — 3x« et

FV^2y(a-.x)

s'y annulent, et qui présente un rebroussement, car

F'x. = — 6x F% = — 2y FV = 2(a — x) donnent en ce point

La tangente au rebroussement est donc Taxe des x. Pour reconnaître si le rebroussement est de première ou de seconde

espèce, on a recours à Téquation complète en -^ :

applicable à un point infiniment voisin de Torigine : elle donne :

dy y ^ v/y» + 3x(a — x) dx (a -- x) (a— X) '

Mais y étant infiniment petit du deuxième ordre à cause de

cette valeur de -~ se réduit à

le rebroussement est donc de première espèce.

Ce résultat était d'ailleurs facile à prévoir dans le cas actuel, puisque l'axe des x est axe de symétrie de la courbe.

Remarque. — Les deux rebroussements peuvent se distinguer entre eux et se distinguer des points ordinaires de la manière suivante :

Point ordinaire {fig. I). —Les deux branches de courbe mm

et mm'^ à partir du point m, sont situées du même côté de la tangente et de part et d'autre de la normale.

Fig. «.

Fig. 1

Fig. 3.

Rebrotissement de première espèce {fig. 2). — Les deux branches sont de part et d'autre de la tangente et du même côté de la normale.

Rebrousseniefit de deuxième espèce {fig. 2), — Les deux branches sont du même côté de la tangente et du même côté de la normale.

160. Points remarquables. — On désigne ainsi certains points pour lesquels la tangente est déterminée, mais qui présentent cependant des particularités intéressantes. Ainsi : -^ 2^ ^

Si trois points consécutifs sont sur une même droite, on a wn point d'inflexion^ la courbure est évidemment nulle, et le rayon de courbure est infini.

Mais si Ton étend, comme il est logique de le faire, la dénomination de point d'inflexion à tous les points où la courbe cesse de se courber dans un sens pour se courber dans le sens opposé , nous verrons un peu plus loin qu'il peut exister des points dUnftexion de seconde espèce^ pour lesquels le rayon de courbure est zéro. Aux points d'inflexion en général le rayon de courbure doit changer de signe, mais, tandis qu'aux points d'inflexion de première espèce il change de

d\i signe par Tinfini, -r-i s'annulanten ces points, aux inflexions de

d^\i seconde espèce il change de signe par zéro, j4 devenant infini.

*— .--^îiL \»

Remarquons à ce sujet que si nous n'avons pas rencontré ces points d'inflexion de seconde espèce dans Tétude des maxiraa et minima (52), c'est parce que nous avons supposé dans cette étude.

que la dérivée seconde y^, restait finie dans l'intervalle considéré.

Aux points d'inflexion les deux branches de la courbe sont de part et d'autre de la tangente et de part et d'autre de la normale.

Si quatre points consécutifs appartiennent à un même cercle, on a un sommet : deux rayons de courbure consécutifs sont égaux, et par suite la différentielle du rayon de courbure est nulle, ce qui exprime que ce rayon passe par une valeur maximum ou minimum.

ITO. ObservationuBi sur la valeur de la courbure et du rayon de courbure aunL points slnsullers et aux points remarquables. — Aux points doubles, la détermination du rayon de courbure se fait, pour chaque branche, séparément, et ne donne lieu à aucune remarque intéressante Aux points isolés, la courbure n'existe évidemment pas.

Aux points de rebroussement, au contraire, nous avons deux remarques assez importantes à faire.

Si le rebroussement est de première espèce, aux deux branches qui arrivent en m correspondent des centres de courbure, tels que [l et /, respectivement situés du côté de la concavité de chaque branche, c'est-àdire de part et d'autre de la tangente m. Les deux branches de la développée ne peuvent donc se rejoindre qu'à la seule condition pour le rayon de courbure de passer par une valeur nulle ou infinie, et il est indispensable qu'il en soit ainsi, au moins dans les courbes algébriques, car la

CALCUL DIFFERENTIEL

développée, qui est alors une courbe algébrique également (*),

ne peut présenter do

points d'arrêt. Ainsi, /\

le rayon de courbure

est infini ou ?m/, la

développée admet mn

comme asymptote ,

ou rencontre en m sa

développante.

Si le rebroussement est de seconde espèce , il n'en est plus ainsi, mais alors la rotation de la normale change de sens lorsque, venant de m' en m, on continue à suivre la courbe de m en m'. Ainsi, le rayon de courbure a une valeur quelconque, mais la développée doit présenter soit une inflexion, soit un rebroussement de seconde espèce.

Aux points où la développée est rencontrée par une développante, celle-ci doit présenter en général un rebroussement de première espèce, car ses deux branches sont évidemment d'un même côté de la normale, et la situation des centres de courbure jx', [if' fait bien voir que ces branches se courbent de part et d'autre de leur tangente commune mt.

Mais les choses peuvent se passer différemment si la développée présente elle-même un point singulier ou remarquable.

n AiDsi qu'il est facile de s'en assurer par la manière dont son équation se déduit de celle de la courbe donnée.

Supposons, par exemple, que la développée ait un point d'inflexion en \L.

Les développantes qui rencontreront la développée en un point m, voisin de \l offriront la disposition indiquée sur la figure

ci-contre ; en m, elles auront un rebroussement de première espèce, et en m, correspondant à jjL, un rebroussement de seconde espèce, car la développante ne traverse pas sa normale mjjL, et la situation des centres de courbure fait voir que ses deux branches sont du même côté de sa tangente mL

Si maintenant le point m, se rapproche indéfiniment de [JL, les deux rebroussements m et in^ finissent par se superposer et la développante présente finalement en iJL un point d'inflexion de seconde espèce, comme l'indique la figure.

A un sommet de la développante correspond un rebroussement de première espèce de la développée. En eflfet, le rayon de courbure passant par un maximum ou un minimum puisque sa différentielle est nulle, et trois normales consécutives devant se couper au même point [l, il est visible que les trois points infiniment voisins ji., [L et [ff de la développée présenteront une disposition semblable à celle de la figure, ce qui montre bien qu'il doit y avoir rebroussement de première espèce en ce point.

CALCUL DIFFERENTIEL

ITl. Cas des courbes transeendantes d'arrêt» points anguleux.

— Dans le cas des courbes transcendantes, des circonstances différentes de celles que nous venons d^examiner peuvent se présenter. En effet, ces courbes peuvent être discontinues et présenter des points dC arrêt.

Nous citerons comme exemple simple la courbe

2iS

Points

, tL

qui présente un point d'arrêt à

l'origine. .^""^

Si les deux branches de V

courbe qui se croisent en un

point double i présentent chacune en ce point un point d*arrêt, le point double se transforme en un point anguleux.

APPLICATION DES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS A L'ÉTUDE DE QUELQUES COURBES PLANES REMARQUABLES

a. — Sections coniques.

178. L'équation générale des sections coniques rapportée à des axes rectangulaires peut toujours être ramenée à la forme

On en déduit, par différentiation, en traitant x comme variable indépendante :

Multipliant les équations (I) et (3) membre à membre, on trouve :

Mais, à cause de la relation (2),

y* (si) * = P* + 2p^ X + 9«.x«,

donc

^ dx*

La valeur du rayon de courbure

MS)'r

dx*

qui peut s'écrire, en général, en posant :

dy ,

COS'a

dx*

devient donc, dans le cas actuel (en valeur absolue) :

p" COS'a p'

en désignant par n la normale mn.

Ainsi, dans les sections coniques^ le rayon de courbure est proportionnel au cube de la normale.

1*73. Cette propriété peut conduire, par une transformation géométrique, à une construction simple du rayon de courbure.

Soit une ellipse, par exemple. On sait qu'en abaissant des foyers des perpendiculaires sur une tangente mt, les pieds p et p' de ces perpendiculaires sont situés sur le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre.

Projetons la normale mn en mq sur Tun des rayons vecteurs fm du point tn.

Les triangles semblables rtuiq, mfp^ '^^^f'p'^ nous donneront :

mn mf rtif

mq fp f'p

c'est-à-dire, en désignant par r et r' les rayons vecteurs mf, mf\ et par n la normale mnj

d'où

^Q fp f'p'

îi* ri^

• fp-rp'

fp.rp'=^rp.rp,=fa.ra^=b\

Donc

n-=mq x^

D'autre part, on a dans les triangles semblables mnf\ sff\ à cause de f'$ = f'm + mf=2a :

c'est-à-dire

de même, on aura, par analogie,

d'où

rr" h*rr'

égalant les deux valeurs de n', il vient

mq =jî,

Ainsi, la projection de la normale sur l'un quelconque des rayons vecteurs est constante et égale au paramètre p de la conique.

Mais, si Ton désigne par i les angles égaux que cette normale

forme avec les rayons vecteurs :

ncost = p,

et par suite l'expression trouvée du rayon de courbure se ramène ^ à celle-ci :

R ^ - . i cos'i

d'où la construction suivante :

Aupoi7it n oie la normale rencontre le grand axe, on élève une perpendiculaire à cette normale jusqu'à sa rencontre en k avec Vun des rayons vecteurs^ et la perpe^idiculaire en kà ce rayon vecteur coupe la normale au centre de courbure.

Remarque. —

formule

P cos'i

donne immédiatement, en y faisant cos i successivement égal à l'unité et à-ï les valeurs des rayons de courbure aux sommets a et 6

d'où une construction simple et

utile à connaître des centres de

courbure a et 3 correspondants :

on forme le rectangle a ob d sur les axes et de d on abaisse la

perpendiculaire sur a b : elle coupe en a et 3 les deux axes.

1741. €a0 de la parabole. — La construction à laquelle nous venons d'arriver s'applique à toutes les sections coniques, mais on peut l'établir directement dune façon très simple dans le cas de la parabole par des considérations de géométrie infinitésimale.

Soient m et m' deux points de la courbe ; les normales mn, min étant bissectrices des angles que font les diamètres riid^ m' d' avec les rayons vecteurs mf m' /*, il en résulte évidemment que l'angle

n des deux normales est moitié de Tangle f des deux rayons vecteurs.

Donc, le cercle des trois points m, m' et f coupe la normale

mn en un point i, qui \èi cause de i = 2n) forme avec m' et n un triangle isocèle.

Supposons actuellement que le point m' se rapproche indéfiniment du point m, le cercle m 77tY devient le cercle tangent à la courbe en m, et, passant au foyer, le point n devient le centre de courbure \l et le point f, intersection de la normale 7nn avec le cercle qu'on vient de définir, est le milieu du rayon de courbure.

Il est facile de constater Tidentité de cette construction avec

la précédente. En effet, si Ton élève la perpendiculaire à la normale au point q où elle rencontre Taxe, et qu'on la prolonge jusqu'en sa rencontre en 9 avec le rayon vecteur mf, dans le triangle rectangle m^/ç, la droite fr/, qui forme avec mq le triangle isocèle mfq, passe au milieu de Thypothénuse mç ; le point f est donc le milieu de m 5 comme i est le milieu de m (a, et par suite 9 jx, parallèle à /"ï,

est perpendiculaire à /" m ; on retrouve donc bien la construction

précédente.

1*75. Équation de courbure de la parabole. — La

construction du rayon de courbure conduit simplement à l'équation de courbure de la parabole.

En effet, si du foyer on abaisse la perpendiculaire fp sur la tangente, on sait que le lieu du point p est la tangente au sommet a s,

D*ailleurs, dans les triangles rectangles mfp et m/*î, on a:

CALCUL DIFFERENTIEL

angle w t/' = angle /*mp = angle tmd=%', en sorte que:

af = pf sin a = m/" 8in*« = mi sin* a»

c'est-à-dire

sin'a sin'a

C'est Téquation différentielle de courbure de la parabole (*).

176. Cette équation peut aussi s obtenir par l'application directe des formules établies au S i 67 pour lexpression du rayon de courbure en coordonnées podaires.

En effet, la tangente au sommet de la parabole étant la podaire de la courbe relative à son foyer, l'équation de la parabole en coordonnées podaires sera :

ScosO

et la formule

donne pour la valeur du rayon de courbure :

(') CeUe équation résulte d'ailleurs, comme cas particulier de Texpression générale trouvée plus haut pour le rayon de courbure des sections coniques.

cos'O expression conforme au résultat précédent, puisque ô = a + ^.

l'y*?. I>éveloppée0 des sectioiis coniques. — Les

développées des courbes du second degré peuvent s'obtenir de différentes manières.

Nous nous bornerons à traiter le cas de Tellipse et à déterminer la développée comme enveloppe des normales à la courbe.

Soit

Téquation de l'ellipse.

La normale au point ^r, y est

et renferme deux paramètres arbitraires x ei y liés par l'équation (1).

Appliquons la règle ordinaire et différentions l'équation (2) en

y traitant y et -j^ comme des fonctions de x variable indépendante. Nous trouverons :

D'ailleurs, -j^ et -t4 sont donnés par les liaisons différen-

tielles déduites de l'équation (1), en traitant toujours x en varia

ble indépendante.

On trouve ainsi :

dy __ 5*x dx "" a*y '

La relation (3) où l'on porte ces valeurs devient:

et Téquation (2), où Ton remplace Y — y par cette expression, donne à son tour :

De ces deux équations combinées avec réquation(I)de la courbe, on déduit, en désignant par 2c la distance focale :

et ces valeurs portées dans l'équation de l'ellipse donnent Téquation de la développée

Cette courbe présente la forme ci-contre, avec quatre points de rebroussement de première espèce correspondant aux quatre sommets de l'ellipse (*).

ÏÏyperholi

Tarahole^

(*) Il est évident d'ailleurs que lorsqu'une courbe rencontre un axe de symétrie en un point qui n'est pas point multiple, ce point doit être un sommet ou un rebroussement de première espèce.

La développée de Thyperbole et celle de la parabole peuvent s'obtenir par des calculs analogues et présentent les formes indiquées aux figures ci-dessus.

b. — Cycloïde.

ITS. Définition et éqn^ation de la eyeloîde. — La

cycloïde est la courbe décrite par un point m de la circonférence d*un cercle qui roule sans glisser sur une droite OX.

Choisissons pour axes OX et la perpendiculaire OY à OX menée par le point 0 correspondant à la position initiale qu'occupait le cercle lorsque le point m était sur l'axe OX, et désignons par u l'angle mcn dont a tourné le cercle depuis cette position initiale. La condition du roulement exige que

arc mn = on.

En désignant par r le rayon du cercle générateur, on a pour les coordonnées du point m de la cycloïde

X = op =i on — pn =^ r(u — sin u), y = mp = en — c(ï = r (1 — cos w).

L'équation en ^r et y s'obtiendrait sans difficulté par l'élimination de w, mais il est préférable de conserver le système des équations (1), et la variable auxiliaire u se prête commodément,

CALCUL DIFFERENTIEL

oomme on va le voir, à l'expression des différentes quantités dont on peut se proposer le calcul.

Tangente, — Le coefficient angulaire de la tangente est :

dy dx

i — COS U