COS
* « 2 u = cot - = cot mtn ;
il s'ensuit que mt est la tangente et que mn est la normale à la courbe.
La connaissance de la tangente permet de compléter la déter^ mination de la forme de la courbe; elle fait voir, en particulier, qu'au point 0 la courbe est normale àOX et présente un rebroussement de première espèce.
Rayon de courbure. — On peut déterminer le rayon de courbure par les considérations de géométrie infinitésimale suivantes :
Soient m et m! deux points consécutifs de la cyclolde mn, m'n' les deux normales correspondantes, \k leur point de rencontre, c'est-à-dire le centre de courbure.
L angle mno de la normale
u avec l'axe des x étant ^, l'angle
en |i., qui est la différentielle de
. , du •
cet angle, sera-^.
On aura donc, en désignant par l la longueur [i.n, et en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur (n'K étant indifféremment l'arc de cercle de centre [x ou la perpendiculaire abaissée de n' sur pin) :
du , ' u
-^ = n'K = nn' sm -•
Mais
nn' = rdu.
Donc enfin
Z = 2r sin - =mn.
Ainsi : dans la cycloïde, le rayon de courbure est double de h , normale. !
L'expression de ce rayon de courbure est donc :
R=:4r sin -•
Développée. — Imaginons, tandis que le cercle c roule sur OX, un autre cercle c' égal au premier roulant sur une droite (/X' obtenue en abaissant OX parallèlement à lui-même d'une hauteur égale au diamètre 2 r.
Supposons, déplus, que le cercle d accompagne le cercle c dans son roulement, de telle manière que les centres c et c' soient constamment sur une même verticale.
Considérons le point jx, où la normale à la cyclolde du point m rencontre le cercle c'. D'après ce qu'on vient de voir, (jl est le
centre de courbure de la cycloïde om. Mais, d'autre part, ce point tjt, diamétralement opposé au point m' homologue de m dans le cercle c', est un point invariablement lié à ce cercle c dans son roulement. Donc, le point \l décrit une cycloïde égale à la première, et située, comme Imdique la figure, de manière h avoir en o son point le plus élevé.
Ainsi : la cycloïde a pour développée une cycloïde égale.
Il est à remarquer que, conformément à la théorie générale, le rebroussement de la développée correspond au sommet de la développante, et réciproquement; ces deux points sont d'ailleurs sur un axe de symétrie commun aux deux courbes.
Équation de courbure. — L'expression du rayon de courbure précédemment trouvée fournit aisément l'équation de courbure de la cycloïde : en effet, l'angle a que fait la tangente avec la direction fixe OX étant ^ — -^ , on a :
•r- = — 4rcosa; )
c'est l'équation différentielle de courbure. On en déduit, en prenant l'origine des arcs au point 0,
a=:4r(i — sina);
cette équation permet de constater l'identité de la courbe avec sa développée.
179. Arc de cycloïde et aire comprise entre la cycloïde et Paxe des x. •— L'équation que nous venons d'établir fournit immédiatement la mesure d'un arc de cycloïde ; elle montre notamment que la longueur totale de l'arc OmO,est égale à 8r.
D'autre part, l'identité de la cycloïde avec sa développée permet, par des considérations de géométrie infinitésimale très
ds {*) La valeur de -=- doit être évidemment alTectée du signe — si Ton
dcL
suppose Tare croissant de 0 vers h, puisque a décrott dans le même intervalle.
simples, d'évaluer l'aire ombrée comprise entre l'axe des t ei l.i courbe.
Désignons, en effet, par A cette aire inconnue, et parB l'aire oio^i'. Cette dernière étant égale à la somme des aires iiioA,w,o,'i on a évidemment :
A + B = rectangleouo,(.j, = 4nr'.
Mais, d'autre part, l'aire comprise entre' deux normales infiniment voisines m^, m'ii., est égale, en négligeant les infinimem petits d'ordre supérieur, à l'aire du triangle otçijl limité par la parallèle inq à l'axe des x, et comme n est le milieu de niji :
triangle iin'ji =: - trapëse mq nn'.
Donc, l'aire B, qui est la somme des triangles tels que nn'[i, est le tiers de l'aire A qui est la somme des trapèzes correspondants, et en combinant la relation
avec celle précédemment écrite, on trouve
A = 3nr».
Ainsi, l'aire totale ombrée de la cycloïdeest le triple de l'ai^ du cercle générateur.
CALCUL DIFFERENTIEL
c. — Chainelte.
180. La chaînette^ que nous retrouverons dans le cours de mécanique avec une définition différente, est la courbe représentée par l'équation :
Cette courbe présente la forme indiquée par la figure cidessus.
Elle a pour ordonnée à Torigine oa^=a.
Elle est évidemment symétrique par rapport à Taxe des y, et va en s*élevant d'une manière continue de part et d autre du point a, en tournant sa convexité vers l'axe des x ainsi que nous allons le vérifier.
Tangente. — Le coefficient angulaire de la tangente est
dit 1 / f -i\
Ce coefficient angulaire s'annule pour x=0, et pour a? > 0 il est constamment positif; car <?• est toujours plus grand quee ' ou —, puisque toute puissance d'un nombre supérieur à 1 est plus
grande que Tunité.
L'examen de la dérivée seconde
qui est toujours positive prouve d'ailleurs que la courbe a sa convexité constamment tournée vers Taxe des x.
Propriété remarquable de la chauiette. — L'équation (2) donne:
3) cosa = , , -= = -.
On en conclut que la perpendiculaire pq abaissée du pied de r ordonnée sur la tangente à la courbe, a une longueur comlantt égale au paramètre de la chaînette.
Rayon de courbure, — De la relation (3) on tire par différentiation :
cosa dy — y sina da = 0,
c'est-à-dire
(4) da = ^1^£2L« « îif ,
d'ailleurs
„ ds dx
da cosx da
donc, à cause de (4) :
(5) Rz=z-^=z7^i.
cosa
Ainsi, le rayon de courbure est égal en grandeur à la normale.
CALCUL DIFFERENTIEL
Il est évident, d'ailleurs, d'après la forme de la courbe, qu'il doit être porté sur la normale du côté opposé au point n.
Arc de chaînette, — La relation
COSa
peut s'écrire, à cause de y cos a = a :
cos* a'
d'où
ada cos* a'
et par suite
8 = atgcL + c.
Si l'on convient de compter l'arc de chaînette à partir du sommet a, la constante c devra être nulle, et l'on voit que l'arec ou ma sera précisément égal à Tny, puisque, dans le triangle mpqy
mq =s pq tga.
le point q décrit donc une développante de la chaînette, et cette développante jouit de la remarquable propriété d'avoir une tangente pq de longueur constante ; elle a reçu pour cette raison le nom de tractoire.
d. — Spirale logarithmique.
181. Comme exemple de courbe rapportée à des coordonnées polaires, nous citerons la spirale logarithmique dont réquatiou est :
La courbe se compose d'une infinité de spires toumant autour de l'origine , point asymptote que la spirale n'atteint que pour Cl) = — Qo .
Tangente. — La formule
. -- dta
tgV = p-,
donne pour la spirale
tgV = T = conslanlc.
La courbe coupe donc sous un angle constant tous ses rayons vecteurs.
Courbure^ développée. — La propriété géométrique que nous venons de démontrer conduit facilement à l'expression du rayon de courbure.
En effet, si m et ni' sont deux points de la spirale, wjx et m\i les normales en ces points, les angles ^mo, ^m-o étant égaux comme compléments d'un même angle V, les quatre points o, ïîi? m\ \k appartiennent à un même cercle.
A la limite, ce cercle devient le cercle tangent à la spirale en m et passant par l'origine ; par son intersection avec la normale m[jL, ce cercle donne le centre de courbure.
On en conclut
*^ sin V ^ ^
Il résulte aussi de h\ que la développée^ lieu des points ii, est une spirale égale à la pi^emière, car
0|A ss: om cot V = hp
nu
La développée s'obtient donc en faisant tourner de 90 degrés le rayon vecteur de la courbe et en le multipliant par un facteur numérique constant.
La courbe ainsi obtenue est donc semblable à la première, mais par cela même elle lui est égale ; car si Ton multiplie par un facteur constant h les rayons d'une spirale, on a
^ = /ip = /lae**.
et en posant /i=e*\ ce qui définit une autre constante 6 :
On voit que la nouvelle courbe n'est autre que la spirale qu'on aurait fait tourner de l'angle — 0,
Tous ces résultats, d'ailleurs, se vérifient sans peine par l'application des formules générales.
3^ ÉLÉMENTS RELATIFS A PLUS DE DEUX POINTS CONSÉCUTIFS DANS UNE COURBE GAUCHE
1S2. Nous avons déterminé (S 1418) la tangente et le plan normal à une courbe gauche. Occupons-nous actuellement des
éléments géométriques qui sont déjP finis par plus de deux points consécutifs.
Plan osculateur. Normale principale et binormale, — Trois points consécutifs déterminent un plan :
c'est le plan osculateur^ celui qui, au point considéré, a le contact le plus intime avec la courbe.
Passant par les points
