X -f dx y-^-dy z -{-dz

X + 2dx + d«x y + 2di/ + d*y z + 2dz + d^z,

le plan osculateur dont Téquation est évidemment de la forme

devra satisfaire aux conditions

On en déduit

dz = mdx + ndy^ d*z = md*x + nd^y.

__ dz d*y — dy d^z ^ dxd^y — dyd^x*

dz d*x — dx d*z n =

dy d'x — dxd'y'

en portant ces valeurs dans Téquation du plan, on trouve :

(1) (X-x) [dz d^y — dyd^z] -h \Y -y) [dx d^z-^dzd^x]

+ (Z — z) [dyd^x — dxd^y] =: 0 ;

c'est Téquation du plan osculateur en quantités infiniment pe-

CALCUL DIFFERENTIEL

tites(*). Pour l'obtenir en quantités finies, on n'a plus qu'à faire une hypothèse consistant, par exemple, à traiter z en variable indépendante, à supprimer les termes en d*5, à diviser par ds* et

à remplacer les coefficients différentiels-;-, -7-i,-r,-r( parleurs '^ dz dz* dz dz*'^

valeurs obtenues par la différentiation des équations de la

courbe. Si Ton suppose ces équations mises sous la forme

les coefficients différentiels cherchés sont les dérivées des fonctions ^ et ^

Remarque. — Si l'on considère deux tangentes infiniment voisines et qu'on mène par l'une d'elles un plan parallèle à l'autre, ce plan a évidemment pour limite le plan osculateur; car deux tangentes infiniment voisines sont à la limite deux tangentes consécutives.

On reconnaîtra de même que le plan osculateur est la limite du plan mené par une tangente et par un point infiniment voisin.

La normale nui à la courbe située dans le plan osculateur, s'appelle normale principale. On a donné le nom de binormale à la normale }y}p perpendiculaire au plan oscula. teur. En chaque point d'une courbe gauche, sa tangente, sa normale principale et sa binormale, forment un trièdre trirectangle dont la considération nous sera souvent utile.

0 Remarquons que les coefficienls de Téquation (I) se déduisent très facilement les uns des autres par une permutation tournante en x, y el z.

1S3. Ck^iirbure et cercle oscillateur. — Trois points consécutifs d une courbe gauche étant toujours dans un même plan, tout ce qui, dans Tétude des courbes planes, ne se rapporte qu'à trois points consécutifs, est immédiatement applicable à une courbe gauche, en substituant son plan osculateur au plan de la courbé plane.

Ainsi, le rayon de courbure d une courbe gauche sera égal.

ds comme celui d'une courbe plane, à -=-, ds étant la différentielle

de lare et da, Tangle de contingence, c est-à-dire l'angle de deux

tangentes consécutives ; le cercle osculateur ou de courbure sera

un cercle situé dans le plan osculateur, tangent à la courbe et

, ds

de rayon — .

1S4I. Surflice enveloppe des plans osculateur»: seconde courbure. — Deux plans osculateurs consécutifs,

les plans 1,2,3, 2,3,4, par t .- exemple, se coupent évidemment suivant une tangente à la courbe gauche, la tangente

Cette tangente est donc la caractéristique du plan osculateur, et l'on voit ainsi que la surface enveloppe des plans osculateurs est le lieu des tangentes à la courbe.

La rotation du plan osculateur autour de la tangente lorsqu'on se déplace sur la courbe, nous conduit à la notion de seconde courbure, comme la rotation de la tangente nous a conduit à la notion de première courbure dans les courbes planes.

Ainsi, si l'on rapporte les deux plans osculateurs que nous venons de considérer aux points 2 et 3, on voit que lorsqu'on se déplace de l'élément 2,3 ou ds sur la courbe, le plan osculateur tourne autour de 2,3 d'un certain angle infinitésimal d^. Le rapport

rfO

s'appelle la seconde courbure, ou la cambrure, ou encore la tor^

sion de la courbe gauche (*). Nous adopterons la dénomination

de cambrure dans la suite.

La cambrure est nulle évidemment dans la courbe plane,

comme la courbure est nulle dans la ligne droite.

ds ,

L'inverse de la cambrure -tt représente une longueur que, par

analogie avec la courbure, on appelle rayon de cambrure de la courbe gauche. On obtient le centre de cambinire en portant le rayon de cambrure sur la binormale.

1S5. Axe de courbure. Sphère <Miculatrlce. •— On

appelle axe de courbure d une courbe gauche en Tun de ses points, Taxe du cercle osculateur correspondant à ce point.

Quatre points appartenant toujours à une même sphère, on peut mener une sphère passant par quatre points consécutifs 1, 2. 3 et 4 d'une courbe. Cette sphère, qui a, avec la courbe, ^ au point considéré, le contact le plus intime, est dite sphère osculatrice. Elle contient évidemment les deux cercles osculateurs consécutifs 1,2,3 et 2,3,4,

et par conséquent son centre (d se trouve à Tintersection des deux axes de courbure consécutifs Xj,X„ qui sont les axes de ces cercles. Cette remarque prouve que deux axes de courbure consécutifs se rencontrent.

Le lieu de ces axes de courbure forme une surface intéressante à considérer et qu'on appelle surface polaire de la courbe gauche; nous reviendrons sur ce sujet à propos de l'étude des développables.

0 De là le nom de courbes à double courbure souvent donné aux courbes gauches.

ISO. Plus courte distanee de deux tangentes infiniment voisines* Titéoréme de Bouquet. — Deux points peuvent être infiniment voisins sur une courbe sans être deux points consécutifs.

Ainsi, par exemple, les points 1 et 4 de la figure ci-contre

sont évidemment dans ce cas.

De même, les tangentes 1,2 et 4,5 sont infiniment voisines san?* être consécutives. Deux tangentes infiniment voisines ne deviennent consécutives que dans une dernière approximation on tous les infiniment petits d'ordre supérieur sont négligés.

On conçoit ainsi que la plus courte distance entre deux tangentes infiniment voisines, distance nulle si les tangentes sont considérées comme consécutives, puisse être évaluée, de même que nous avons évalué (§ "78) la différence nulle également à la

limite entre j^ et /^ {x).

On doit à M. Bouquet cette remarque très curieuse, que la plus courte distance en question est du troisième ordre lorsque

la distance des points de con-

'? * / tact est du premier.

/ On peut le démontrer par

le raisonnement suivant :

Soient 1, 2 et 3, 4 les

deux tangentes infiniment

voisines. Menons par 2 la

• parallèle 2,q à 3,4; la plus

courte distance cherchée S sera la distance d'un point quelconque

de la tangente 3, 4, le point 3, par exemple, au planP, de 1, 2

et 2, q. On a donc :

S = 3p.-=2.3 sine. .

CALCUL DIFFERENTIEL

Mais 2, 3 est infiniment petit du premier ordre; pour démontrer que 8 est du troisième ordre, il suffit donc de prouver que e est du second. Or, si nous considérons d'une façon générale Tangle 9 que fait une tangente quelconque à la courbe gauche avec le plan fixe P, cet angle varie évidemment d'une manière continue quand la tangente se déplace sur la courbe; il devient nul pour la tangente 1,2, prend la valeur e pour la tangente 2, 3, et redevient nul pour la tangente 3,4; il en résulte visiblement que e (distance d'un point de la courbe figurative de 9 à la corde infiniment voisine oo') doit être du deuxième ordre de petitesse, ce qu'il fallait démontrer.