ÉTUDE DE LA LIAISON A DEUX VARIABLES

O. Déflnltlon des différentielles.— Occupons-nous d'étudier cette liaison à deux variables F{x, y) = 0.

D'après ce qui vient d'être dit, les deux variables qui, par le fait de cette liaison, sont fonctions Tune de Tautre, ne peuvent se mouvoir Tune sans l'autre , ainsi que les deux pièces solidaires du mécanisme auxquelles nous les comparions dans le paragraphe précédent.

A une variation \x de Tune correspond obligatoirement une variation déterminée Ay de Tautre, et réciproquement (*).

Si lune de ces variations devient infiniment petite, l'autre en général doit aussi le devenir, et ces deux variations infiniment petites, qu'on désigne alors sous le nom de différentielles et qu'on note par la lettre d, sont évidemment liées Tune à l'autre; c'est cette liaison que nous nous proposerons d'abord d'établir.

lO. Déflnitioii des dérivées. — * Règle des fonettoiis inverses. — Cherchons, pour arriver au résultat qui nous occupe, le rapport des infiniment petits dx et dy. Ce rapport, d'après ce qui vient d'être dit, doit être déterminé lorsqu'on part d'une situation donnée des variables, et l'on peut se proposer de l'exprimer en fonction des valeurs de a? et de t/ qui définissent cette situation. Mais comme rr et y sont liés par la relation (0 F(.T,î/) = 0,

qui permet toujours, théoriquement du moins, de trouver la valeur dey en fonction dej',ou celle de x en fonction de y, une fois le rapport de dx à dy exprimé en or et j/, on pourra remplacer dans son expression Tune des deux lettres x o\x y par sa valeur formée avec l'autre, et Ton obtiendra ainsi des fonctions de x ou de y seulement.

Si l'on exprime ainsi le rapport -p- en fonction de x^ la fonction

(*) Remarquons qa^à partir de certaines valeurs de y cette variable pourra prendre plusieurs aecroissonients différents, mais toujours déterminés pour un même accroissement attribué à x. Ces valeurs singulières, dans la représentation de Téquation donnée par une courbe, correspondent, comme on sait, aux points multiples où différentes branches de courbe se croisent.

iO

de œ qu'on obtiendra sera dite dérivée de y par rapport à x.

Si, prenant au contraire le rapport des différentielles en sens

dx inverse, on exprime — en fonction de i/, la fonction de y

ainsi obtenue sera la dérivée de xpar rapport à y.

Il ne faut jamais oublier que ces dérivées sont des fonctions finies égales à des rapports d'infiniment petits qui servent à les définir, mais qu'on ne doit pas confondre avec ces expressions infinitésimales.

On voit, d'ailleurs, par la manière même dont on les a définies, que la fonction de x représentant la dérivée de y et la fonction de y représentant la dérivée de x doivent prendre des valeurs inverses l'une de l'autre toutes les fois qu'on donne aux variables respectives des valeurs satisfaisant à la liaison :

Cette simple remarque fait voir que si l'une de ces deux fonctions, la dérivée de y, par exemple, est connue, la connaissance de l'autre dérivée en résulte; il suffira, en effet, de prendre l'inverse de la fonction donnée et d'y remplacer la variable x par sa valeur en y tirée de la liaison (1). C'est là la règle dite des fonctions iîiverses que nous aurons fréquemment à appliquer.

1 1 . Interprétation s^ométrlque. » La liaison à deux variables Y{x, t/) = 0 peut se représenter en général au moyen d'une courbe, en prenant x pour abscisse et y pour ordonnée.

Supposons cette courbe tracée, et soit m un de ses points correspondant à des valeurs x et y des coordonnées ; soit m' un point voisin ayant (>-!- A^r), (y + Ay) pour coordonnées, on aura sur la figure :

Al/ = m'q

Ay

en sorte que le rappport -~- est égal

au coefficient angulaire de la sécante mm!. Si le point m' se

rapproche indéfiniment de m, ce coefficient devient celui de la tangente mt, et Ton voit ainsi que la dérivée de y par rapport à X représente pour chaque point de la courbe le coefficient angulaire de la tangente en ce point.

La dérivée de t par rapport à y représente semblablement la tangente trigonométrique de Tangle que la tangente à la courbe fait avec Taxe des y.

Cette représentation géométrique montre bien qu'en général les infiniment petits dxet dy doivent être du même ordre.

i 2. Cas d^une fonctton inflnlnieiit petite. — Supposons que dans la figure précédente on multiplie les ordonnées y par un même facteur arbitraire a; il est clair que Taccroissement fini Ay et aussi Taccroissement différentiel dy se trouveront multipliés par ce même facteur. Si ce facteur devient infiniment petit du même ordre que dx, la différentielle a dy de la fonction y ainsi réduite sera infiniment petite du deuxième ordre relativement à dx.

Ainsi, si Ton considère une fonction infiniment petite, sa différentielle sera infiniment petite d'ordre supérieur au premier, et égal en général à celui de la fonction augmenté d'une unité.