APPLICATION DES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS A L'HÉLICE

18TP. Déflnltlon. — L'hélice est une courbe tracée sur un cylindre de révolution et décrite par un point qui s'élève le long des génératrices de quantités proportionnelles à celles dont il tourne autour de l'axe du cylindre.

C'est, si l'on préfère, la courbe résultant de l'enroulement d'une droite sur le cylindre.

Si Ton prend pour axes coordonnés l'axe OZ du cylindre et deux droites perpendiculaires à OZ, dont l'une, OX par exemple, passe par un point de l'hélice, les coordonnées d'un point m seront données par les relations

X = oq=z op. ces poq =a ces ci>,

y z=zpq = a sin co,

z = mp= K arc ap = K ata,

en désignant par a le rayon du cylindre, par <i> Tangle aop^ et par K un coefficient constant.

L'élimination de w entre les trois équations (1) conduirait aux deux équations de l'hélice; mais il y a avantage, comme dans le cas de la cycloïde, à conserver la variable auxiliaire o) et à exprimer en fonction de cette variable prise comme variable indépendante les éléments caractéristiques de la courbe.

On trouve ainsi :

dx = — a sin co db>, dy = a cosci) dci>, dz = K adb>,

La tangente à la courbe est

d*x = — a cos CD da>*, d^y = — a sin cù dw*, d'z = 0.

c'est-à-dire

SlQu>

X — a cosw sin (o

COScjJ

Y — a Rin u) Z — Racu

COSOJ

elle fait un angle constant avec le plan horizontal. Le plan osculateur a pour équation

Ksinw(X — x) — Kcosw(Y — y) + (Z — z) = 0,

il fait également un angle constant avec le plan horizontal et

renferme la perpendiculaire mr à l'axe.

Ces propriétés de la tangente et du plan osculateur résultent

d'ailleurs immédiatement de cette remarque que la courbe,

d'après sa définition, est superposable à ellemême en toutes ses parties. De cette particularité remarquable de l'hélice, qui en fait dans l'espace l'analogue du cercle dans le plan, il résulte immédiatement que les rayons de courbure et de cambrure doivent être les mêmes pour tout point de la courbe, — que le lieu des centres des sphères osculatricesdoit être une hélice, etc.

Ajoutons encore qu'on appelle spire dhèlice la portion de courbe comprise entre deux points tels que

CALCUL DIFFERENTIEL 241

a et a' où rhélice rencontre une même génératrice du cylindre.

La hauteur aa de la spire s'appelle pas de t hélice.