Plan tancent et normale. — Soit

l'équation d'une surface, 7n{œ^y,z) un de ses points, cherchons le lieu des tangentes à la surface menées par m .

Pour cela, soit une courbe quelconque G tracée à partir du point m sur la surface, m' un point de cette courbe infiniment

r^yz)

voisin de m, a? + dx, y + dy, s + ds les coordonnées de ce point.

Un point quelconque M (X, Y, Z) -pris sur la tangente mm* satisfait évidemment à la condition

dx dy dz

D'ailleurs, les deux points m et w! appartenant à la surface, les différentielles dx, dy, dz sont liées par

(3) F, dx + T\ dy + F', dz = 0.

Substituant dans cette relation à dx, dy, dz les différences

X — X. Y — y, Z — s qui leur sont proportionnelles d'après (2;, on a l'équation

qui représente le lieu du point M: c'est un plan mené par m; c'est l.e plan tangent à la surface.

Soit maintenant un point N (X, Y, Z) pris sur la normale à la surface, c'est-à-dire sur la perpendiculaire en m au plan tangent. Pour exprimer la perpendicularité de Nm avec un segment mm' mené de m à un point infiniment voisin sur la surface, on a la condition

(5) (X— x)dx + (Y— y)dy-f (Z-z;dz=0, .\\X.YZJ

et cette condition doit être vérifiée quels que soient dx^ dy et dz, pourvu qu'ils satisfassent à la condition (3) du paragraphe précédent, qui exprime que le point m' est sur la surface.

Supposons d'abord que dy soit nul, il reste :

(X-x)dx + (Y-y)5idx = 0,

-T^ dx représentant, selon l'usage, la différentielle partielle de s

par rapport à x.

Cette équation revient à :

On aura de même, en faisant varier y eiz seulement :

FV

en sorte que le système des deux équations

/fil X-JC Y-v Z-z

auxquelles les coordonnées du point N doivent satisfaire, représente la normale à la surface.