SURFACES RÉGLÉES
180. On appelle surfaces réglées les surfaces lieu géométrique d une droite qui est dite génératrice.
La génératrice, pour engendrer la surface réglée, peut être astreinte soit à glisser sur trois courbes données qui sont dites directrices, soit à rester tangente à trois surfaces fixes qu'on nomme surfaces directrices, soit encore à s'appuyer sur deux directrices et à rester parallèle à un plan fixe dit plan directeur. En un mot, la génératrice devra être assujettie à trois conditions qui définissent une série de droites.
Il est facile de voir comment se construiraient en général les génératrices d'une surface ainsi déterminée; dans le cas, par exemple, où trois directrices D, D' et D'' sont données, en prenant un point arbitraire a sur Tune d'elles et menant de ce point comme sommet deux cônes ayant les deux autres directrices
pour bases, les générat^rices telles que abc communes à ces deux cônes appartiendraient à la surface.
Comme exemples de surface réglées, nous citerons: Les cônes : les génératrices passent par un point fixe appelé sommet.
Les cylindres : les génératrices sont parallèles à une droite fixe.
Les conoïdes : les génératrices s'appuient sur une droite fixe et sont parallèles à un plan fixe.
Si la surface réglée est engendrée par une droite s*appuyant sur trois droites fixes, on a Vhyperboloîde à une nappe, surface
du second degré, c est-à-dire coupée par un plan quelconque suivant une section conique.
Si la surface est engendrée par une droite s'appuyant sur deux droites et restant parallèle à un plan fixe, on a le paraboloïde hyperbolique, surface du second degré également.
Ces deux surfaces jouissent de la propriété très remarquable d*être biréglées, c'est-à-dire d'admettre deux systèmes de génératrices rectilignes.
lOO. Variation du plan tancent a une surflitee réglée le Ions d'une sénératrlee. — Soit 6 une génératrice d'une surface réglée, G' une génératrice infiniment voisine, 00, la plus courte distance de ces deux droites.
Menons par 0^ une parallèle OjE à G, et coupons par un plan quelconque perpendiculaire à G qui rencontre en m [jl in ces trois droites. Les deux points ni et in de la surface étant infiniment voisins (puisque G et G' sont des droites infiniment voisines), la droite mm' est une tangente à la surface; et par suite le plan tangent en m se trouve déterminé par la génératrice G et la droite mm\
Cherchons actuellement à nous rendre compte de la manière dont varie ce plan tangent lorsque le point m se déplace sur la
génératrice.
Il est évident d abord que le plan en question tourne autour de la droite G qu'il contient toujours. Pour définir sa rotation, nous évaluerons l'angle mm[L ou 0, mesure de l'angle dièdre qu*il fait avec le plan fixe GOO^.
En désignant par p la distance infiniment petite 00, des deux
génératrices infiniment voisines et par 9 l'angle infinitésimal qu elles font entre elles, enfin par x la distance otn, on a
c'est-à-dire, en négligeant la différence de l'angle infiniment petit z avec sa tangente :
Le rapport - de deux infiniment petits généralement de même
ordre, s'appelle le paramètre de distribution des plans tangents à la surface réglée le long de la génératrice G.
En général, ce paramètre, que nous désignerons par A, a une valeur finie.
Le point 0 est dit le point central de la génératrice, et le plan tangent en 0 s'appelle plan central. Ce plan n'est autre, évidemment, que celui des deux droites parallèles G et E. L'angle ^ est donc l'angle du plan tangent en m avec le plan central.
191. Pour donner une image géométrique qui rende bien visible la loi de rotation du plan tangent, nous construirons dans
un plan quelconque mené par la génératrice une perpendiculaire à cette génératrice en son point central, et sur cette perpendiculaire nous porterons une longueur OK égale au paramètre.
L'angle ;iîKO étant égal à 6 d'après la relation précédente, il est aisé de voir que le point K jouit de cette propriété que l'angle
mom^ sous lequel on voit de ce point un segment quelconque mm de la génératrice, est précisément Tangle que font entre eux les plans tangents aux extrémités de ce segment.
En d'autres termes, le faisceau des droites K(n,n',o,m,w'...) allant du point K aux différents points de la génératrice, représente précisément la section faite dans le faisceau des plans tangents en ^i, n',o,w,m', par un plan perpendiculaire à Tarête G de ce faisceau.
La considération de ce point K (qu'on nomme quelquefois point représentatif en raison de cette propriété) fait bien voir comment tourne le plan tangent lorsque le point de contact parcourt de — oo à 4" ^=^ la génératrice.
De — oo au point central le plan tangent tourne de 90®, et du point central à + co il tourne encore de 90°, de manière à prendre des inclinaisons égales de côté et d'autre du plan central pour des positions du point de contact symétriques par rapport au point central 0. Le plan tangent à — qo et à + oo est le même, et ce plan est dit plan asymptotique : le plan asymptotique est perpendiculaire au plan central et parallèle à deux génératrices consécutives.
Supposons maintenant que le paramètre tende vers zén» Les
plaiv astjmpMuiue
iumpMta
ut
deux rotations de 90** qui s'effectuent comme on vient de le voir
CALCUL DIFFERENTIEL 247
symétriquement de part et d'autre du point 0, se concentreront de plus en plus dans le voisinage de ce point, et à la limite la rotation de 180® tout entière s'effectuera en 0; le plan tangent sera le plan asymptotique tout le long de la génératrice; au point central 0 il sera indéterminé.
Si, au contraire, le paramètre devient infini, les deux rotations s'éloignant de plus en plus du point central finissent par être rejetées à l'infini, et dans toute la région située à distance finie le plan tangent est parallèle au plan central*
102. MAgne de stHctloii. — Le lieu des points centraux sur les diverses génératrices s'appelle ligne de striction. On doit observer que pour la détermination du point central sur une génératrice G, nous avons pris sa plus courte distance avec la génératrice suivante G'; on aurait pu évidemment, au lieu de la génératrice suivante, choisir la génératrice infiniment voisine précédente. Seulement, une fois qu'on a adopté l'une ou l'autre de ces génératrices infiniment voisines, il faut évidemment continuer à opérer de même pour les génératrices consécutives.
Ainsi, si le point central de G est déterminé par sa distance 00^ à G', celui de G' sera donné par sa distance 0'0\ à G'', et ainsi de suite. On voit ainsi que la ligne de striction lieu des points 00'... n'est pas tangente à OOj , comme on aurait pu être tenté de le croire à priori, et qu'elle ne coupe pas orthogonalement les génératrices.
193. (3ôiie directeur. — Si l'on mène par un point fixe de l'espace des parallèles aux génératrices d'une surface réglée, on forme ainsi un cône qui est dit cône directeur de la surface. Le plan tangent au cône directeur est évidemment parallèle au plan asymptotique de la surface réglée.
1041. Raeeordemeiit des 0urfaee« réglées. — Deux surfaces réglées qui ont une génératrice commime et même plan
tangent en trois points de cette génératrice, se raccordent tout le long de cette génératrice.
Cela résulte immédiatement de la loi de variation des plans tangents qu'on vient d'établir. En effet, étant connus les plans tangents en trois points a, b, c, on connaît les angles qu'ils font entre eux ; décrivant alors sur ab et bc des segments capables
des angles compris entre les plans tangents correspondants, on obtient toujours par leur intersection un point unique K qui est le point représentatif de la génératrice G; abaissant de Kune perpendiculaire KO sur G, on a le point central, et OK est le paramètre.
Le plan tangent en un point quelconque m est alors déterminé, et comme cette détermination se fait de la même manière dans les deux surfaces, on en conclut que les deux surfaces ont bien même plan tangent tout le long de G, ce qu'il fallait démontrer.
lOS. PaFalM>loï<le« et hyperboloïdes deraceordeinent À une surfnee réglée le long d'une de ses génératrices. — Si Ton prend les plans tangents en trois points a, 6, et c d'une génératrice et qu'on choisisse arbitrairement trois droites A, B et C menées par a, 6 et c dans ces trois plans, d'après ce qui vient d'être dit,rhyperboloïde défini par ces trois droites sera de raccordement avec la surface réglée tout le long de la génératrice G.
CALCUL DIFFERENTIEL
Si les trois droites sont prises parallèles à un même plan quelconque P, rhyperboloïde deviendra un paraboloïde de raccordement ayant le ^ plan P pour plan directeur.
Il existe donc une infinité d'hyperboloïdes et
de paraboloïdes de raccordement à une surface réglée, le long d'une de ses génératrices.
On peut arriver à la même conclusion en partant d'un autre point de vue.
Deux génératrices quelconques G et G' d'une surface réglée peuvent être prises évidemment pour directrices d'un paraboloïde dont le plan directeur P peut être arbitrairement choisi. Si les génératrices G et G' deviennent infiniment voisines, ce paraboloïde est de raccordement, car en coupant par un plan quelconque 0, la section faite dans le paraboloïde et celle que donne la surface sont tangentes entre elles puisqu'elles ont en commun les deux points infiniment voisins m et w', où les génératrices G et G' percent le plan
sécant.
Prenons ces mêmes génératrices comme directrices d'un hyperboloïde en leur adjoignant une troisième directrice arbitraire, nous aurons un hyperboloïde qui sera encore de raccordement pour une raison analogue.
106. PaFalM>loide des normales, hyperboloïde OMulateur. — Parmi les paraboloïdes de raccordement que Ton peut ainsi définir, il y en a un qui offre un intérêt particulier, c'est celui dont le plan directeur est perpendiculaire à G :
ce paraboloïde a ses plans directeurs rectangulaires ; il est le lieu géométrique de la tangente m m' {fig, du S lOO). Si Ton fait tourner ce paraboloïde de 90® autour de G, toutes ses génératrices perpendiculaires à G viennent coïncider avec les normales à la surface et Ton reconnaît ainsi que les normales à une surface réglée le long d'une génératrice forment unparaboloïde hyperbolique; c'est ce paraboloïde qu'on désigne sous le nom de paraboloïde des normales.
Parmi les hyperboloïdes de raccordement, il y en a un également qui offre un intérêt particulier: c'est celui qui a pour directrices trois génératrices consécutives G, G' et G*" de la surface. Si l'on fait une
section par un plan quelconque 0 ? la courbe section obtenue dans l'hyperboloïde et celle que donne la surface réglée ont trois points consécutifs m m' in communs ; ces courbes sont donc osculatrices,et pour cette raison l'hyperboloïde ainsi défini a reçu le nom à'hyperboloïde osculateur. Nous aurons occasion de revenir sur ce sujet à propos de la courbure des surfaces.
SURFACES DEVELOPPABLES
lOT. Si le paramètre d'une surface réglée est nul ou infini, nous avons reconnu que la surface admettait le même plan tangent le long de la génératrice. Si cette particularité se reproduit pour toutes les génératrices de la surface réglée, cette surface est dite développable ; on réserve le nom de surfaces gauches pour les surfaces réglées dans lesquelles le paramètre a des valeurs différentes de l'infini ou de zéro.
Dans le cas où le paramètre est infini, cela signifie que Tangle de deux génératrices consécutives est infiniment petit par rapport à leur distance: c'est le cas des cylindres.
CALCUL DIFFERENTIEL
Dans le cas où le paramètre est nul, c'est la distance de deux génératrices consécutives qui est infiniment petite par rapport à leur angle : c'est le cas des cônes où cette distance est nulle ; c'est aussi le cas des surfaces engendrées par les tangentes à une courbe gauche où cette distance est du troisième ordre de petitesse (186).
D'ailleurs, dans l'un et l'autre de ces cas, la surface peut être évidemment considérée comme Venveloppe des plans tangents le long de ses génératrices, c'est-à-dire comme l'enveloppe d'un plan mobile qui ne peut occuper dans l'espace qu'une série de positions, ou, si l'on préfère, qui ne renferme dans son équation qu'un paramètre arbitraire.
En écartant le cas où ce plan reste parallèle à une direction fixe et enveloppe par conséquent un cylindre, et en prenant la série des caractéristiques infiniment voi- 0" sines G, G', G'^... on voit que deux caractéristiques consécutives, G et G' par exemple, se rencontrent, puisqu'elles appartiennent à un même plan P'. Ces caractéristiques sont donc les côtés d'un
même polygone gauche infinitésimal, ou en d'autres termes les tangentes à une courbe gauche, à moins cependant qu'elles ne passent par un point fixe, ce qui serait le cas des cônes.
Ainsi, toute développable qui ii* est pas un cylindre ou un cône peut être considérée comme le lieu des tangentes à une courbe à double courbure.
Cette courbe s'appelle Yarête de rebroussement de la surface (*), et ce nom lui a été donné parce que toute section plane
I*) LWéte de rebroussement représente visiblement ce que devient la ligne de BtricUon quand la surface réglée devient développable.
faite dans la surface présente un rebroussement de première espèce au point où elle rencontre Taré te.
On peut s'en rendre compte très simplement de la manière suivante :
Soient aft, bc et cd trois côtés consécutifs du polygone infinitésimal qui forme Taréte de rebroussement et P un plan sécant rencontrant ces trois arêtes en w, ni et m". Menons par b une parallèle à cd ; cette droite coupera le plan P en m''^, et à cause de la
continuité, les trois droites bm. bm\ bm^" étant trois génératrices consécutives . du cône directeur de la développable mené par b comme sommet, leurs intersections m^m^ m^" avec le plan P seront trois points consécutifs d'une courbe continue; mais le point vf étant, comme Tindique la figure, à Topposé de m" par rapport à m, les trois points m, m' et m" présenteront la disposition du rebroussement [m et m' d'un même côté de la normale en tn') et le rebroussement sera de première espèce, parce que la tangente continue à tourner dans le même sens de part et d'autre de m'.
lOS. Développement des snrfeees développablee.
— Une surface développable, d'après ce qu'on vient de voir, peut toujours être considérée comme la limite du polyèdre infinitésimal formé par ses génératrices consécutives.
Ce polyèdre (qui se réduit à un prisme dans le cas des cylindres) peut être développé sur un plan. Prenant, par exemple, pour plan de développement le plan de la facette G a G', on pourra, en faisant tourner la surface autour de G', appliquer sur ce plan la facette G' a' G", puis la facette G" a" G'" viendra s'y
appliquer à son tour par une rotation autour de G", et ainsi de suite. C'est ce qu'on appelle développer la surface développable. Dans ce développement, les longueurs des courbes ne changent évidemment pas et les angles finis que font entre elles les courbes tracées sur la surface restent invariables ; ainsi, par exemple, les angles m' mni"^ m' m ni" que font entre elles les directions m Wr', m m" y m m"\ restent évidemment les mêmes après développement ; le premier parce qu'il est dans le plan même d'une facette, et le second parce que la rotation infinitésimale de mm'" autour de G' ne peut modifier sa grandeur finie.
Mais il n'en est pas de même des angles infiniment petits, et notamment de
l'angle de contingence d'une courbe.
Soient, par exemple, m^mm^ trois
points consécutifs d une courbe tracée
sur la développable. Lorsque la facette
G, a G viendra s'appliquer sur le plan
G a G,, par le fait de la rotation autour
de G, le point m^ décrira le petit arc de
cercle m^ ^ qu'on peut confondre avec
la perpendiculaire abaissée de m^ sur
le plan G a' G,. Si du pied |jl de cette
perpendiculaire on abaisse |jl K perpendiculaire sur 7?i, m prolongé, d'après
le théorème des trois perpendiculaires,
»ï, K sera également perpendiculaire à
mK et l'angle \klLm^ ou 6 mesurera l'angle dièdre que font entre
eux le plan G a' G, tangent à la développable et le plan m, mm, osculateur à la courbe considérée.
Mais Kmmj et Km j* sont les angles de contingence e et e' de cette courbe avant et après développement, et ces angles infiniment petits pouvant être confondus avec leurs tangentes trîgonométriques, leur rapport sera celui de ces tangentes ou encore des longueurs m^ K et [x K qui sont proportionnelles à ces tangentes trigonométriques. Donc, enfin,
e;^ jxK
OU, à cause du triangle rectangle ^m^ K,
- = cos 0 ;
en divisant haut et bas par Tare infinitésimal correspondant mm^j on a le rapport des rayons de courbure
