Complément de Pétude des courbes s^achefl

— L'étude que nous venons de faire des surfaces développables, nous permet actuellement de revenir pour la compléter sur celle des courbes gauches.

Il résulte de ce que nous avons vu au S 185 que les axes de courbure d*une courbe gauche forment une surface développable, el que Tarête de rebroussement de cette surface est le lieu des centres des sphères osculatrices à la courbe.

Désignons par (P) cette surface développable, par (û) son arête de rebroussement, et par (M) la courbe donnée.

Il est facile de voir que les plans normaux à la courbe (M) sont tangents à la développable (F).

Précisons en effet la définition du plan

normal à une courbe gauche, ainsi que

nous Tavons fait pour la normale à une

courbe plane, en remplaçant la courbe

gauche par le polygone infinitésimal

dont elle est la limite et considérant

comme plans normaux consécutifs les

plans perpendiculaires aux côtés de ce

polygone en leurs milieux.

Le plan normal mené par le milieu

de m' m" par exemple étant le lieu des points équidistants de m'

et de m" y les axes de courbure X et X' devront lui appartenir.

jii^

puisque ce sont les axes des cercles qui passent respectivement par les points mm/ m" ^ m'm^m"'. Donc ce plan normal coïncide avec la facette XwX' de la développable (r), ce qui démontre la proposition énoncée.

Si le plan normal (P) à la courbe (M) roule sur la développable, le point m de ce plan entraîné dans son mouvement se déplace à chaque instant normalement au plan, puisque son déplacement élémentaire est dû à une rotation autour d'une droite X du plan(*) : il décrit donc précisément la courbe (M). Une droite quelconque telle que mn tracée par le point m dans le plan, peut

être considérée comme le développement sur le plan P d'une ligne géodésique (N) de la surface développable ; cette courbe (N) et toutes les courbes semblables (N) (N"), etc., qu'on peut obtenir de la môme manière, sont dites les cfeie-

loppécs de la courbe (M). Cette dénomination est bien en rapport d'ailleurs avec celle que nous avons déjà employée pour les courbes planes. En effet, la courbe (M) peut être décrite, ainsi qu'on vient de le voir, par l'extrémité d'un fil inextensible qui se déroulerait en restant constamment tendu sur l'une de ces développées de manière à ne pas sortir du plan osculateur de cette courbe.

(•) Pour une démonstration plus rigoureuse de ce résultat, voir le Cours de Mécanique {cinémaiiique).

Une courbe gauche possède ainsi une infinité de développées dont la développable (P) est le lieu.

Mais le lieu de ses centres de courbure principaux [l [t! [l", bien qu'appartenant à la développable (F), ne coïncide pas avec Tune de ces courbes.

Pour s'en assurer, il suffit de remarquer que ce lieu s'obtient en abaissant à chaque instant du point m une perpendiculaire m[L sur l'axe de courbure X. Dans le développement de la développable, cette courbe se réduira donc à la podaire relative au point m de l'arête de rebroussement (û) développée ; donc elle ne peut être en général une ligne géodésique de (P) comme le sont les développées (N).

200. Développable asymptote d'une sorAuse gauche. — On appelle développable asymptote d'une surface gauche, la surface développable enveloppe des plans asymptotiques à cette surface gauche ; dans le cas de l'hyperboloïde, cette développable est le cône asymptote de la surface.

20 i . Applleation des théories préeédentes A Pétade dea hélleoides réglés. — Les hélicoïdes réglés jouent un rôle très important en mécanique. On peut les définir de la manière suivante {*} :

Un hélicoïde réglé est la surface lieu géométrique d'une droite dont un point décrit une hélice, dont la distance à l'axe de l'hélice est constante, et qui fait un angle constant avec cet axe.

D'après cette définition, la génératrice G (projetée en G^ surun plan perpendiculaire à l'axe) reste constamment tangente à

0 On verra dans Tétude de la cinématique qu'une définition plus simple peut être donnée pour la génération des hélicoïdes.

un cylindre concentrique à celui de Thélice directrice, et il est facile de voir que le lieu de ses points de contact ta avec ce cylindre est une seconde hélice.

Le plan tangent à Thélicoïde en co est donc le plan de G et de la tangente à Thélice &> , c'est-à-dire le plan tangent au cylindre de Cette hélice, à moins toutefois que cette hélice ne soit elle-même tangente à la droite G, cas particulier que nous examinerons plus loin.

Le cône directeur de la surface est un cône de révolution autour de Taxe X du cylindre; le plan asyraptotique le long de G est donc perpendiculaire au plan des directions G et X. qui est par conséquent le plan central. Donc enfin Thélice u est la ligne de striction de Thélicoïde.

La connaissance du plan tangent en h , qui est déterminé par G et la tangente ht à l'hélice A, permet de construire facilement le point représentatif et d'obtenir ainsi la valeur du paramètre.

D'ailleurs, ce paramètre est évidemment le même pour toutes les génératrices, car la surface est identique à elle-même dans toutes ses génératrices.

Dans le cas où la génératrice rencontre l'axe X, c'est cet axe lui-même qui est la ligne de striction de la surface. L'hélicolde prend alors le nom de su/rfacc de vis à filet triangulaire {fig. 1).

Il devient la surface devis à filet carré dans le cas plus parti-

CALCUL DIFFERENTIEL

culier encore où la génératrice, qui rencontre Taxe, lui est perpendiculaire {Jig. 2).

La trace de la surface de vis à filet triangulaire sur un plan perpendiculaire à Taxe est une spirale d'Archimède.

Fig. «.

Si la génératrice de l'hélicoïde est tangente à l'hélice (a*); la surface devient Yhélicoïde développable .

Son plan tangent parallèle à celui du cône directeur est le plan mené par la génératrice G et la perpendiculaire wn abaissée du point de contact b> sur Taxe X. On vérifie ainsi que le plan oscu* lateurà Thélice, arête de rebroussement de la surface, est le plan Gw^i.

Dans le développement de la surface, cette arête de rebroussement, dont le

rayon de courbure est constant, doit se transformer en un cercle.

La trace de Thélicoïde développable sur un plan perpendiculaire à Taxe est une développante ëe cercle.