COURBURE DES SURFACES

SOS. Pour se rendre compte de la forme d'une surface au voisinage de Tun de ses points, on est naturellement conduit à étudier la courbure des différentes lignes que Ton peut tracer autour de ce point sur la surface.

Nous nous bornerons à étudier les sections playies, puisque, au point de vue de la courbure, toute ligne gauche peut être assimilée à une ligne plane située dans le plan osculateur à cette ligne au point considéré.

Sfi03. Liaison entre les courbures des sectfoBs obliques et celles des sections normales! relation de Meusnier. — Considérons d'abord en un point d'une surface les différentes sections planes que Ton peut obtenir en conduisant des plans sécants par

^* ' ""~^ - une même tangente mt, et

en leur donnant des inclinaisons différentes sur le plan tangent à la surface.

Soient par exemple un premier plan N passant par la tangente mtet par la normale mn à la surface, et un second plan P faisant avec le premier un angle 6 (mesuré par l'angle plan pvDi) : soient aussi mm' et vim'' les sections faites par ces plans dans la surface.

Coupons la figure par un plan perpendiculaire à m* et infiniment voisin de 7?i. Nous obtiendrons ainsi le triangle m'm'k formé par les intersections du plan avec la tangente mt et les deux courbes mm' et mm''] et si l'on appelle R^ et R^ les rayons de courbure de ces deux courbes, on a, d'après une expression connue,

CALCUL DIFFERENTIEL

m k TrnTk"

en sorte que

Rp = R.

Mais le triangle infinitésimal mvi^k est rectangle en m' à la limite, car m' m' devient une tangente à la surface et km! est parallèle à la normale mn^ et comme d'ailleurs Tangle en k de ce triangle est égal à 6, on a en définitive w

= C08 Oy

doù