R^ = R. COS
Cette relation simple, due à Meusnier, exprime que les centres de courbure /, jjL*, ijl'", etc., des différentes sections obliques obtenues dans une surface par des plans passant par une même tangente mt, sont les projections sur les
plans sécants du centime de courbure jx de la section normale coi'respondante.
Il suit de là que le lieu de ces centres de courbure est la circonférence décrite sur m^ comme diamètre dans le plan perpendiculaire kmt (*).
(*) Comme cas particulier, il est à remarquer que la relation de Meusnier doDDe un rayon de courbure tendant vers zéro lorsque le plan sécant sMncli- QADt de plus en plus finit par se confondre avec le plan tangent lui-même.
Or, ce résultat, qui est conforme à la réalité pour les surfaces convexes^ avec lesquelles le plan tangent n'a qu'un point commun, cesse d'être exact en apparence pour les surfaces à courbures opposées qui traversent leur
S04I. Autre démonst ration de la relation de
Mensnier. — Le théorème que nous venons de démontrer
ayant une grande importance, nous ne croyons pas inutile d'en
donner une seconde démonstration.
Décrivons une sphère tangente à la surface donnée au point m.
la position du centre u» de cette sphère sur la normale mn restant arbitraire, nous pouvons profiter de cette indétermination pour faire encore passer la sphère par un point quelcDUque m' de la surface.
Si nous coupons alors par des plans passant par mm'.
nous obtiendrons dans la surface une série de sections planes et dans la sphère une série de cercles tangents en m aux sections de la surface et ayant encore en commun avec elles le point m\ Suppo
Fig. I.
Fig. 2.
plan tangent et sont renconti'ées par lui suivant une courbe (exemplpsile
l'hyperboloTde et du paraboloïde : deux droites^ du tore, section bitangente, deux cercles, etc.). Pour expliquer cette contradiction , remarquons qu'une surfa«e traversée par son plai
langent le coupe nécessairement suivant une courbe à point double ou multiple présentant au moins deux branches séparant les portions ombrées de la surface situées en dessous du plan tangent de celles non ombrées qui
sont au-dessus de ce plan. Si donc le plan sécant, s'inrlinani de plus en plus, tend à se confondre avec le plan langent, la section présentera une forme analogue à celle de la figure;2', et Ton voit que le rayon de courbure de la branche qm passe en m tendra vers zéro.
Dans le cas de Thyperboloïde, par exemple, le syslèffl^î de deux droites s'obtiendra comme limite d'une hyperbole qui, se courbant de plus en plus rapidement au voisina^^ de m, finira par présenter en ce point un brusque changement de direction, c'est-à-dire une courbure infinie.
sons actuellement que le point m' se rapproche indéfiniment du point m ; les sections planes de la surface seront conduites à la limite par une même tangente mt limite de mm\ et les cercles sections de la sphère leur seront osculateurs comme ayant trois points infiniment voisins communs avec elles.
Mais ces cercles ont pour centres les projections jx du centre 0) de la sphère sur leurs plans respectifs; donc les centres de courbure [a des sections planes de la surface
menées par une même tangente mt, sont les projections sur les plans de ces sections d'un point o) de la normale qui par cela même est le centre de courbure de la section normale correspondante.
20S. MAedmowk ewktre les courbures des sections nor^ maies t relation d'Buler. — L'étude de la courbure d'une surface en l'un de ses points se trouve, par la relation de Meusnier, considérablement simplifiée, car on peut se borner à déterminer la courbure de ses sections normales.
Pour cette détermination, nous rapporterons la surface à trois axes choisis de façon à simplifier les résultats : ce seront la normale wZ au point considéré et deux droites rectangulaires mX, mY situées dans le plan tangent.
Nous supposerons de plus que l'équation étant mise sous la forme
la fonction f soit développable suivant la formule de Maclaurin. Nous aurons alors :
-? = /'(o, 0) + j r. (0,0) + ^ rv (0,0) + ... + f r.(0,o) + ^rxw(o,o)
Mais la surface passant à l*origine et ayant le plan XmY pour plan tangent en ce point, /"(OjO) ^.(0,0) et ^,(0,0) doivent être nuls, en sorte que Téquation précédente, si Ton s*arrête aux termes du deuxième ordre en supposant x et y infiniment petits^ se réduira simplement à
ou (i)
^ = I [rV (0.0) x« + 2 r^y (0,0) xy + Tw» (0,0) y%
z = i (rx«+ 2 Rxy +<!/»).
en désignant parr, ^ et /, suivant une notation usuelle, les valeurs des dérivées secondes de s
-7-jî -; — T-' -i-i au pomt m con-
dx dxdy dy^ *
sidéré.
La relation (1) donne la hauteur z ou m'p d'un point quelconque m' de la surface infiniment voisin dem, et dont in ç ouxeipqoviy ^ sont les deux autres coordonnées.
Mais si Ton mène par mZ et in la section normale à la surface, le rayon de courbure de cette section sera la limite de l'expression
mp 2 m'p"
Désignons par a Tangle pmX qui définit la direction de la section normale considérée, par R son rayon de courbure et par /la longueur mp, on aura d'après (1)
et d'après (2)
-^ r= (r CCS* « -j- 2 « sin a ces a+ i sin* a),
CALCUL DIFFÉRENTIEL i»}^
en sorte que
(3} g = rcos*a + S8sinacosa+t8in'ct
r, s et t étant des constantes au point considéré.
L'équation (3) fait voir comment varie le rayon de courbure de la section normale lorsque son plan pivote autour de la normale mZ. C'est cette équation qu'on désigne sous le nom de relation d'Etder, du nom de l'illustre géomètre qui l'a signalée.
]Sous transformerons actuellement la relation d'Euler afin de la présenter sous une forme encore plus simple.
20B. Indleatrlee. — Si l'on coupe la surface par un plan parallèle au plan tangent XmY et infiniment voisin de ce plan, on obtient une courbe dont une portion du moins doit être infiniment voisine de m. La relation (1) sera donc satisfaite par les points de cette courbe dans la région considérée, et si l'on désigne par h la distance infiniment petite mh qui sépare le plan sécant du plan tangent auquel il est parallèle, la relation du second degré
(4) 2h = rx* + 2»xi/ + ty^
sera l'équation de cette courbe ou portion de courbe infiniment petite.
Mais, au fur et à mesure que, h tendant vers zéro, les dimensions de la courbe (4) se réduisent, on peut ampli- ]
fier ces dimensions et con- . \ i
stmire ainsi une courbe \ >..../
qui soit semblable à la ^^^'^^^V * k ..y^"^^
courbe infinitésimale, sec- f ^^>'^~>^^ ^\
tion de la surface, et qui l ^x^^J>i<r^ '"j ^
conserve des dimensions Jy'^^^^^^y^ ^\.^^^"'^^^^
finies. Il suffit pour cela ^^^\x^^^ "^
de multiplier par un coefficient convenablement choisi les deux membres de l'équation (4) Ainsi, si l'on pose :
le facteur X restant encore arbitraire, on trouve :
(5) X« = rX« + 2«XY + /Y*,
et la courbe ainsi obtenue est bien semblable à la courbe infinitésimale (4). Elle a reçu le nom d'indicatrice.
On la suppose en général tracée dans le plan tangent, mais il est important de se rappeler que sa forme et son orientation sont seules déterminées, et que ses dimensions peuvent être à volonté amplifiées ou réduites.
L'équation (5) montre que Tindicatrice est toujours une section conique ayant le point m pour centre. Rapportée à des coordonnées polaires telles que
X=spcosa Y = psina,
cette équation devient :
(5') -; = rcos'a + 2«sin«cosa4- /sin*a»
et de sa comparaison avec la relation (3) on déduit:
Ainsi : le rayon de courbure d'une section normale est proporlionnel au carré du demi-diamètre correspondant de V indicatrice.
SOT. Directions principalesy sections princiimlech rayons de courbure principaux. — L'indicatrice étant une section conique rapportée à son centre, elle admet toujours un système d'axes rectangulaires; ces axes définissent deux directions sur le plan tangent à la surface, c'est-à-dire sur la surface elle-même, et ces directions ont reçu le nom de directions principales. Les sections normales Ihenées par ces directions s'appellent sections principales^ et les rayons de courbure correspondants sont dits rayons de courbure principaux.
CALCUL DIFFERENTIEL
Si Ton suppose que les deux axes OX et OY, dont Tun a été pris arbitrairement dans le plan tangent, soient amenés à coïncider avec les directions principales, le terme en xy devant disparaitre dans Téquation de Tindicatrice la nouvelle valeur de la constante s relative à ces axes devra être nulle.
En désignant par r, et t^ les nouvelles valeurs des constantes r et t^ la relation d'Euler se réduira donc à :
ou :
- = Tj C09* « + /| sin' a,
\ cos*(x sin'g R" Ri "^ R, '
si Ton représente par R, et R, les rayons de courbure principaux au point ni ; Téquation de l'indicatrice deviendra d'ailleurs :
(7) X« = rjX« + ^Y».
208. DUrérentes formes de Plndleatriee. — Trois cas peuvent se présenter; nous allons les examiner successivement.
i"^ Les deux constantes r^ et t, sont de même signe. — La direction de Taxe m Z ayant été choisie de sens convenable, on peut toujours supposer que ce signe est le signe +; rindicatrice est alors elliptique et la grandeur du rayon de courbure R restera toujours comprise entre celles des rayons de courbure principaux Rj et R, qui sont les maximum et minimum de R.
Les sections normales ayant leurs centres de courbure sur le segment Y, Y, de m Z compris entre les centres de courbure principaux y, et y,, elles se courbent toutes du même côté du plan tangent XOY. La surface est donc située tout entière du même côté de son plan tangent : elle est dite convexe.
En particulier, si r^ = f , , on aura :
Ri =R^ = R,
toutes les sections normales ont alors même courbure, Tindicatrice est un cercle et le point est dit un ombilic. Cette particularité se présente pour tous les points d'une surface sphérique. 2*^ Les deux constantes r^ et t, sont de signes contraires, ~ L'équation (1)
OÙ Ton a mis le signe de t^ en évidence, montre que la surface
est traversée par son plan tangent, et les tangentes 7?îS, TnS' aux deux branches de la courbe suivant laquelle le plan tangent coupe la surface sont données par
ce sont les asymptotes de l'indicatrice, ou plus exactement des indicatrices qui %o\ii hyperboliques dans ce cas ; car, selon qu'on mène le plan de section parallèle au plan tangent de part ou d'autre de ce dernier, on obtient deux hyperboles différentes (*).
(*) Il est facile de Toir que les asymptotes de Tindicatrice sont osculatrices à la surface, c*est-à-dire qu'elles ont trois points infiniment Toisins communs
avec elle. En effet, si nous considérons dans le plan tangent en m la courbe à point double qui représente la (race de la
'" -^ surface sur ce plan, une sécante wi m' à
cette courbe, étant tangente à la surface en m par ce fait qu'elle appartient au plan tangent, a en ce point in deux points infiniment voisins communs avec la surface. Elle la rencontre en un troisième point m'. Or, m! vient se confondre avec m lorsque la sécante mm' devient la tangente rw5, c'est-à-dire l'asymplole à l'indicatrice, donc, etc.
CALCUL DIFFERENTIEL
La surface est dite à courbures opposées.
Les rayons de courbure principaux R, et R, étant de signes contraires, les centres principaux y^ et Yj sont situés de part et d'autre du point m.
Pour les sections normales dont la trace sur le plan tangent tombe dans Tangle ombré SmS', l'indicatrice est Thyperbole
et le rayon de courbure, donné par la formule
4 ^ CCS* g sin'g R~ Rj R, '
varie depuis R, jusqu'à + co.
Pour les sections dont la trace tombe dans la partie non
ombrée SmS/, l'indicatrice est l'hyperbole complémentaire de la
précédente
et le rayon de courbure
cos'ot sln*a
Ri • R.
varie entre — <^ et R,.
Les sections normales ZwS, ZmS' à rayons de courbure infinis sont dites sections asympto tiques.
3* Vune des co7istantes est nulle, la constante t^, par exemple. — L'indicatrice se réduit à deux droites parallèles à mY : elle est du genre parabolique.
Le rayon de courbure des sections normales varie depuis l'infini, valeur correspondant à la section principale
ZmY, jusqu'à my, ou Rj = —» valeur
relative à la section principale ZwiX.
209. La nature de Tindicatrice et la liaison entre cette courbe et la courbure des sections normales, permet d'établir entre les cour-
bures de ces sections un certain nombre de relations remarquables qui résultent immédiatement des théorèmes connus sur les diamètres des sections coniques. Ainsi, par exemple :
La somme des courbures de deux sections normales rectangulaire est constante et égale à la somme des courbures des sections principales.
La somme des rayons de courbure de deux sections conjuguées (dont les traces sur le plan tangent sont coi^uguées dans l'indicatrice) est constante et égale à la somme des rayons de courbure principaux.
31 0. Llflpnefl de eourbure. — Si Ton se déplace sur une surface en suivant à chaque instant Tune des deux directions
principales relative au point où Ton se trouve et si l'on choisit constamment la direction analogue à celle qu'on vient déjà de suivre, on obtiendra par raison de con- ^ *"" — * — * ^ ^ ^ tinuité une courbe continue
telle que 1, 2, 3, 4, 5, fc ..U courbe ainsi tracée s'appelle ligne de courbure.
Partant du même point initial, on aurait pu adopter l'autre direction principale et Ton aurait obtenu de cette] manière une seconde ligne de courbure telle que 1, 2'. 3', 4', 5', 6'... Le point 1 étant d'ailleurs un point quelconque de la surface, on voit que par chaque point d'une surface donnée passent deux lignes de courbure qui sont orthogonales entre elles. Les lignes de courbure forment ainsi un réseau orthogonal couvrant toute la surface (*)•
(*) 11 est important de remarquer que les lignes de courbure n^ont pas, en général, leur plan osculateur normal & la surface, ainsi qu'on pourrait être tenté de le croire; elles sont tangentes aux sections normales principales, mais elles ne leur sont pas osculatrices.
811. Usnes asymptotlque». — Si, sur une surface à courbures opposées, on suit en chaque point, au lieu des directions principales, les directions asymptotiques, on obtient ainsi les lignes dites asymptotiques. Ces lignes forment un réseau comme les lignes de courbure, mais elles ne sont généralement ni orthogonales ni isogonales entre elles.
Dans une même surface, les régions convexes à indicatrices elliptiques sont séparées des régions à courbures opposées où l'indicatrice est hyperbolique, par une ligne continue pour laquelle l'indicatrice doit être parabolique et se réduire conséquemment à deux droites . Cette courbe continue est évidemment l'enveloppe des lignes asymptotiques de la surface. Exemple du tore.
212. IJipiies géodéfllques. — I*4ous avons déjà défini les^ lignes géodésiques. On désigne ainsi les lignes tracées sur une surface donnée qui jouissent de la propriété d'être les plus courtes possibles entre deux quelconques de leurs points.
Il est facile de recon naître qu'une pareille ligne doit avoir en chacun de ses points son plan osculateur normal à la surface. En effet, étant la plus courte entre deux quelconques de ses points, elle doit l'être évidemment aussi entre deux points infiniment voisins m et m'; or, entre ces deux points, on peut confondre la courbe avec son cercle osculateur.
Si nous supposons actuellement que le plan de ce cercle
osculateur prenne différentes inclinaisons sur le plan tangent à la surface, le rayon de courbure, d'après la relation de Meusnier, sera d'autant plus grand que cette inclinaison sera
plus grande, et la longueur P* de Tare de cercle correspondant à une corde donnée m m' étant en raison inverse du rayon, la longueur minimum de cet arc correspondra, comme l'on voit au cas où son plan osculateur sera normal, à la surface.
Ce résultat général concorde bien avec celui que nous avions déjà obtenu (198) dans le cas des surfaces développables.
