oiirbiire géodéfllque. — Nous avons vu
que la courbure d'une ligne plane en l'un de ses points m pouvait s'exprimer par le rapport
np
mp
np étant la distance d'un point n infiniment voisin de m à la tangente m ^ à la courbe.
On appelle cimrbure géodésique d'une ligne tracée sur une surface l'expression analogue à la précédente, obtenue en substituant à la droite m f la ligne géodésique tangente en m à la courbe. La considération de la courbure géodésique conduit à des résultats très intéressants et qui offrent une grande analogie avec ceux qu'on a obtenus dans l'étude des courbes planes.
CALCUL DIFFERENTIEL
2141. NonnaUes. — On a donné le nom de normalies aux surfaces réglées que Ton obtient en menant les normales à une surface donnée le long d*une courbe directrice tracée sur cette
surface. La directrice D est évidemment trajectoire orthogonale des génératrices de la normalie.
Les normalies sont donc toujours des surfaces réglées ; elles sont gauches en général et nous démontrerons que la condition nécessaire et suffisante pour qu une normalie soit développable, c'est que sa directrice soit une ligne de courbure de la surface donnée.
Reprenons, en effet, la figure du paragraphe 300, et considérons les normales à la surface tout le long de la courbe infiniment petite, section de la surface par le plan parallèle au plan tangent. Ces normales, telles que rn 7i\ m'' rv^, se projetteront sur le plan de section suivant les normales m'n\,7n"n", à la courbe infinitésimale, et comme cette courbe infinitésimale est une conique ayant son centre en (i> sur mZ, il s'ensuit que la normale m n\
ne passera au centre u> que si le point w' est placé à l'un des sommets de laconique, c'est-à-dire si la direction m West celle d'une ligne de courbure. Mais la condition de passer au centre co pour la normale m n\ équivaut à Tobligation pour la normale m' n' de rencontrer la normale mZ.
Donc, si à partir du point m on se déplace d'une quantité infiniment petite m m' sur la surface, la nouvelle normale ne rencontrera la normale primitive que si le déplacement s'effectue suivant la direction m a o\x m b d'une ligne de courbure.
Donc enfin, les normalies ayant les lignes de courbure pour directrices sont seules développables, comme nous l'avions annoncé.
Si Ton imagine actuellement la double série de lignes de courbure qui couvre la surface et le double système de normalies développables qui ont ces lignes de courbure pour directrices, on voit que ces développables seront orthogonales entre elles et que toutes les normales de la surface donnée pourront être considérées comme appartenant à l'un et à l'autre de ces deux systèmes de développables.
Considérons une des sections normales principales, la section a m Z par exemple ; elle renferme I z les deux normales en m et en a à la su^
face : ces deux normales, qui sont évi- Tt demment deux normales infiniment voi-
^^2 sines à la section, doivent se rencontrer
au centre de courbure principal correspondant Yi •
Ainsi les arêtes de rebroussement des deux systèmes de ^wi^malies développables sont les lieuœ géométriques des centres de courbure principaux de la surface donnée.
CALCUL DIFFERENTIEL
21 S. Surftfcces S et S| auxquelles les normales A une surihice donnée sont tangentes. — Les arêtes de rebroussement F^ du premier système de normalies développableSj forment, par continuité, une certaine surface Sj et celles F,, du second système forment pareillement une seconde surface 2,. Une normale quelconque mZ étant tangente à une arête F^ et à une arête F„ courbes appartenant respectivement aux surfaces Sj et S„ est par cela même tangente à ces deux surfaces.
Ainsi, toute normale à une surface S est tangente à deux autres surfaces 2j, 2,.
Autrement :
Si Ton porte sur les normales ^nZ à une surface en chaque point des longueurs m y, /^Yi égales aux rayons de courbure principaux relatifs à ce point, les lieux des points ainsi obtenus sont deux surfaces auxquelles la normale mZ est tangente.
On remarquera Tanalogie frappante qui existe entre ces propriétés des surfaces et celles démontrées pour les courbes planes et leurs développées.
21 0. Reeherclte de la condition analytique né<ses0alre pour qu'un système de droites soit nor^ mal à une surikee. — Il résulte de ce qu'on vient de voir qu'un système de droites arbitrairement menées par chaque point de l'espace n'est pas généralement normal à une même surface. La condition nécessaire pour qu'il existe une surface coupant orthogonalement toutes ces droites, peut se traduire par une condition analytique correspondant à la propriété géométrique que nous venons d'établii*.
Supposons que les droites étant menées par les différents points mm! m",., d'une surface fixe arbitraire (S)
leurs directions soient défîmes par les cosinus X, Y, Z qu'elles font avec les axes.
Ces cosinus seront fonctions des coordonnées s:, y, s du point 7n, c'est-à-dire de x et de y^ puisque z [ est lui-même fonction de x et y par Téquation (1). Us ^satisferont,! d'ailleurs, fà la condition
ainsi qu'à la relation
(3) XdX-f YdY +ZdZ = 0,
qui s'en déduit par différentiation.
Gela posé, s'il existe une surface (i:)'normale à toutes cc-^ droites, on doit pouvoir l'obtenir en portant sur^^chaque droite à partir de son pied m une longueur convenable 7n [i. ou /. dont l'expression doit être une fonction de x et de y.
Les coordonnées d'un point tel que ji. sont d'ailleurs :
x + lX, V + iY, z -h /Z,
et la condition d'orthogonalité imposée à la surface (S) s'exprimera par la relation :
(5) XdÇ-hXdT) + ZciC=0,
c^est-à-dire, à cause des valeurs de Ç, y;, Ç ;et des équations;!; et (3),
(6) XdJC-f Ydy-i-Zdz-|-d^=0.
CALCUI. DIFFT:RENTIEL 277
Mais, d*après l'équation (1), en désignant comme à Tordinaîro par/> et q les dérivées partielles de s,
(7) dz^^pâx^ qdy\
donc, en définitive,
(8) di = — (X + pZ] dx — (Y + ql)dy.
Ainsi, la fonction / de x et de y, si elle existe, aura pour dérivées partielles
et par conséquent les quantités . , J ^''"^ repré-
senteront toutes deux, au signe près, sa dérivée seconde , , ;
devront être égales entre elles.
La condition qui en résulte se réduit à
.0. d\ , dZ ciY , dZ
*'' Ty+^dy^Tx + '^dx'
dp dq parce que -/- = —.
dij dx
Elle est, d'ailleurs, nécessaire et suffisante, car nous démontrerons plus loin que Ton peut déterminer la fonction l lorsqu'elle est satisfaite {Calcul intégral: recherche des multiplicateurs).
Nous mentionnerons à ce sujet, mais sans le démontrer, le remarquable théorème de Malus et de Dupin. d'après lequel des rayons normaux à une surface sont encore normaux à une surface cyprès avoir subi une réfraction à leur rencontre avec une surface quelconque {S ,}i{w[iïi\ie\m^ Cours de géométrie descriptive, page 253).
217. Propriétéfl reiiiarq[uaMe0 des normalles et des sorfAces S, Tj. — Si l'on considère une normalie quel-
conque ayant une courbe C pour directrice et deux génératrices
infiniment voisines mn.m'n* de cette normalie, ces deux droites touchent les surfaces 2j et 2, en v^ Yi? ï'i T ii ^t Ton voit'que la normalie se raccorde avecla surface 2, en Yi» puisque son plan tangent est déterminé par les deux directions Y, y'i 5 ^^ ïi ^'^ > toutes deux tangentes à la surface Sj. De même et pour une raison analogue la normalie se raccordera avec la surface S, en Y,. Ainsi, toutes les nom\alies que ïon peut imaginer à partir d'un point m d'une surface se raccordent entre elles aux deux points Yi y, Q^i sont les centres de courbure principaux sur ta normale en m, et en ces points elles sont tangentes aux surfaces Sj S, enveloppes des normales.
Il n'y a d'exception au raisonnement précédent que poui* les normalies développables. En effet, pour Tune d'elles la direction Yt y'i se confond avec m Yj et ne définit plus le plan tangent au point Yi ^^ pour Tautre c'est au point Yi que le plan tangent est mal défini.
Le raisonnement n'est donc applicable en ce qui concerne la normalie F, que pour prouver son raccordement avec la surface S,, et de même il servira à démontrer seulement que la normalie développable d'arête F, est tangente à la surface 2,. Il suit de là que les plans tangents aux surfaces 2j et S, aux points y^ et y, sont rectangulaires (*).
JIZ/
nv
n Le plan tangent à iinesnrfece développable au point central étant (fail- .,«- :»«iA*A»m:nA /c M€hM\ #^w «VA»* „i v^n -trAn* '•'^«isidérer encore la déveiop'
e F, comme tangente A £«•
leurs indéterminé (§ 191)» on peut, si Ton veut, considérer encore la déveiop pable F| comme se raccordant à S^, et la développabi
Comme conséquence de ce qui vient d être démontré, nous remarquerons d abord que les arêtes de rebroussement F, et F, sont des lignes géodésiques des surfaces 2, S, auxquelles elles appartiennent. En effet, le plan osculateur de chaque arête, qui est le plan tangent à la développable correspondante (S 198), est normal à la surface sur laquelle cette
arête est située.
Nous remarquerons encore qu'une normalie quelconque qui
passe par m ayant en y, ï, ses plans tangents rectangulaires >
son point représentatif y relatif à la
génératrice mn doit se trouver sur le
cercle décrit sur y, y» comme diamètre.
Ce cercle est donc le lieu des points
représentatifs de toutes les normalies
passant au point m.
D'ailleurs, lorsque la directrice de la
normalie est déterminée, connaissant
la direction de la tangente 7nt à cette
directrice et l'angle <p qu'elle fait avec la section principale ma, les plans tangents à la normalie en m et en y, étant tmn, amn et comprenant entre eux l'angle <p, le segment y,^ doit être vu du point y sous cet angle ; de là une détermination facile de ce point pour chaque normalie et par suite la connaissance de son point central c et de son paramètre c-^. On vérifie bien ainsi que les normalies ayant les lignes de courbure pour directrices ont un paramètre nul et sont par conséquent développables.
2i9. Bqvatton dMIérentlelIe des lignes de cour-^
bare. — La propriété caractéristique des lignes de courbure d'être directrices de normalies développables fournit un " moyen très simple d'obtenir l'équation différentielle à laquelle les coordonnées doivent satisfaire pour qu'on se déplace sur une de ces
lignes.
L'équation de la surface étant résolue par rapport as, si Ton désigne par joet q les dérivées partielles -i-,-t-, les équations d'une normale peuvent se mettre sous la forme
X = — pZ + x +p^i Y =. — qZ + y + ^z,
et la condition imposée aux variations de x^ y^p et q pour deux normales infiniment voisines se rencontrent, s'exprimera, d'après une formule de géométrie analytique, par l'équation
dp. d(y + qz) = dq d{x + pz),
OU en simplifiant
dp, (dy + qdz) = dq. {dx + pdz).
En tenant compte des relations
dz =:pdx + qdy.
dp]= rdx + sdy, dq = sdx + tdy,
cette équation se réduit à :
rdx + sdy sdx 4- tdy
(\ + p*)dx + pq dy ■" (1 -f q*) dy +pqdx
c'est l'équation différentielle des lignes de courbure de la surface considérée, en projection sur le plan XOY.
2ifiO. Théorème des tangentes conjuguées. — Si
Von considère une série de plans tangents à une même surface^ tout le long d*une ligne G, pour chaque point de contact m te tangente mt à la courbe des contacts G et la caractéristique ms (i« plan tangent sont deux directions conjuguées par rapport à Hndicatrice du point m (*).
(*) On doit observer que les plans considérés enveloppent une surface développable circonscrite à la surface donnée le long de la ligne G el dont les caractéristiques du plan mobile sont les génératrices.
Reprenons en effet la figure du S 300 représentant la section de la surface par un plan parallèle au plan tangent en m et infiniment voisin de ce dernier. Soit mm' un élément Z de la courbe des contacts C ; le plan tangent en m' aura pour trace sur le plan de la courbe infinitésimale la tangente mV en vi' à cette courbe. La trace |jlœ de ce plan sur le plan XmY tangent en m sera donc une parallèle à mV, et c\ la limite cette
parallèle deviendra la caractéristique ms du plan tangent ; mais la droite mV tangente à la conique infinitésimale est conjuguée dans cette conique de la direction du diamètre hm' qui se confond à la limite avec la tangente mt à la courbe mm'\ le théorème énoncé se trouve donc démontré.
Ce théorème a une grande importance pour le tracé des courbes d'ombres sur les surfaces.
Il est à peine besoin de démontrer que la caractéristique du plan tangent passe par le point de contact de ce plan avec la surface, ainsi que nous Tavons admis dans le raisonnement çidessus.
Si l'on en veut cependant une démonstration, on peut remarquer que m et m' étant deux points de contact successifs, si Ton coupe la surface et ses deux plans tangents par un plan sécant quelconque mené par m et m', les traces sur ce plan sécant des deux plans tangents seront deux tangentes infiniment voisines mt
wY à la courbe de section mm' ; elles se couperont donc en un point i qui sera le point où la caractéristique perce le plan sécant, et ce point i situé entre les points m et m' se confond évidemment avec eux à la limite*
331. Siurikees orthasoiiato0. — Si deux surfaces sont orthogonales entre elles et que leu/r courbe d'intersection soit une ligne de cou/rbure dans Vune d'elles, elle sera également ligne de courbure dans Vautra,
En effet, la courbe d'intersection G étant par hypothèse ligne de courbure de Tune des deux surfaces, la surface S par exemple,
les normales à S le long de C forment une surface développable ; mais cette développable est circonscrite à la surface S' le long de cette même courbe G, et comme ses génératrices sont conjuguées dans les indicatrices de la surface S de la dii'ectionde la courbe G, deux directions rectangulaires ne pouvant être conjuguées dans une conique qu'à la condition de coïncider avec les directions des axes, on voit que la courbe G est aussi ligne de courbure de la surface S', ce qu'il fallait démontrer.
333. TBiéorème de Charles Du|iin. — Si trois séries de surfaces sont orthogonales entre elles, leurs courbes dHnterseC' tion sont nécessairement pour chacune d'elles des lignes de courbure.
Soient
trois séries de surfaces renfermant chacune un paramètre arbitraire et dont les équations sont supposées résolues par rapport à ces paramètres. Les conditions pour que ces surfaces soient orthogonales sont données par les trois équations suivantes exprimant que leurs normales sont perpendiculaires entre elles :
CALCUL DIFFERENTIEL
ssa
dx dx dy dy dz dz dx dx dy dy dz dz dx dx '^ dy dy dz dz
Comme ces équations doivent être vérifiées en tout point m de Tespace, on peut les différentier par rapport aux variables Xy yetz qu'elles renferment.
Différentions la première par rapport à Xy la seconde par rapport à y et la troisième par rapport à 5, ce qui revient à déplacer successivement suivant chacun des trois axes le point d'intersection m que nous avions d'abord considéré, nous trouverons :
d9, d«9, I ^ î[!?i , ^ ^9% , ^?t rf*?i
dx dx* dx dx* ' dy dx dy dy dx dy dz dx dz j d9, d»9, ^
dz dx dz
dx dxdy ^ dx dxdy "^ dy dy* dy dy* "^ dz dy dz
d?i <=ï*?3 j. d?» rf*?i
d95 d*^ ^ ^ dz dy dz
d?s ^Vi
, d?i rf'Çs
dx dxdz dx dxdz dy dy dz dy dy dz dz dz* d9» d^, ^ dz dz* " "•
Si l'on suppose actuellement qu'on transporte les axes au point d'intersection considéré m et qu'on les fasse coïncider avec le trièdre trirectangle formé par les tangentes aux courbes d'intersections m\, 7?iB, mC des trois surfaces, de manière que mY, mZ et mX soient les normales respectives aux surfaces 9,, 9, et 9,, on aura en ce point particulier :
38^ COURS DE CALCLf. DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
dx dz ^ ' ^ dy dx
et les équations (3) se réduiront à :
d?t ^'?i . ^hi f^'?t ^
dy dxdy dz dx dz
(5) / ^ JËÎ?iL + £?! iî!?l- = 0
^ ' * dx dxdy dr dydz
dx dx dz dy dy dz
La première et La troisième de ces relations donnent par élimination de -p-
dy
dz dy dz dx dxdy
et la comparaison de ce résultat avec la seconde des équations (5) conduit à
dz dy dz
dx dxdy '
c'est-à-dire
dx dy dy dz
puisque -^ et —^ ne sont pas nuls.
On trouverait de même
dz dx
Ces trois dernières égalités démontrent le théorème, car elles équivalent pour chaque surface à la condition s = 0 exprimant (ÎSOTT) que les axes situés dans le plan tangent à cette surface coïncident avec ses directions principales, et comme le point m est quelconque, il en résulte que les courbes d'intersection mA, mB, mC, sont bien des lignes de courbure.
Gomme application de ce beau théorème, nous signalerons celle qu'on en peut faire au système triplement orthogonal des -surfaces homofocales du second degré :
ji* "^ ji* — b« jx* — c* ~
fc« y^ z^ . .
la considération de ce système peut servir à déterminer les lignes (le courbure de ces surfaces et à reconnaître quelques-unes de leurs propriétés les plus remarquables.
223. Surfaces tansentes entre elles. — Si deux surfaces sont tangentes entre elles en un point m et si elles se traversent, leur courbe d'intersection doit présenter au moins deux branches se croisant en m (*).
En coupant les deux surfaces par un même plan parallèle au
(*) Par une raison tout analogue à celle donnée plus haut pour le plan tangent
plan tangent et infiniment voisin de ce plan, on obtiendra deux
coniques infinitésimales concentriques dont les intersections t, l\ s, s appartiendront aux deux branches de la courbe d'intersection des surfaces.
Les indicatrices des deux surfaces, qui ne sont que ces coniques infinitésimales amplifiées , pourront donc être construites de manière à avoir pour diamètres communs les droites mT et 7nS, limites des directions tt\ ss\ c'est-à-dire tangentes aux deux branches de la courbe suivant laquelle se coupent les deux surfaces.
Si les deux surfaces sont tangentes entre elles tout le long
d'une ligne G, c'est à cette ligne considérée comme ligne double que se réduit en chaque point la courbe d'intersection des deux surfaces ; les coniques indicatrices de la figure précédente deviendront alors bitangentes suivant TT', qui sera la tangente à la courbe de contact G. Il suit
de là que la direction mT aura même direction conjuguée mK
dans les deux surfaces.
Si Tune des surfaces est une développable, son indicatrice est parabolique, puisque sa génératrice, qui donne une normalie développable et qui est par conséquent une ligne de courbure, est en même temps aussi une ligne asymptotique de la surface. Cette indicatrice se réduit donc à deux droites qui seront les tangentes en TT' à Tautre indicatrice. Ges deux droites sont d'ailleurs parallèles à la génératrice G de la développable. On re-
CALCUL DIFFERENTIEL
trouve ainsi le théorème des tangentes conjuguées déjà démontré d'une autre manière et d'après lequel la génératrice mG de
la développable circonscrite est conjuguée de la tangente mT à la courbe des contacts.
éta^k. Snrraeef» o«eulatrIeefl entre elles. — Si deux surfaces tangentes entre elles en un point m ont en ce point mêmes rayons de courbure principaux et mêmes directions principales, les relations de Meusnier et d'Euler font voir que les sections faites dans les deux surfaces par un plan sécant quelconque auront au point m même courbure. On dit alors que ces surfaces sont osculatrices en ce point. Elles ont évidemment au point considéré la même indicatrice, et par suite les mêmes asymptotes de Tindicatrice si elles sont à courbures opposées.
Si l'une des deux surfaces est du second degré, les asymptotes de son indicatrice sont évidemment ses génératrices. Ainsi les génératrices d'une surface du second degré osculatrice à une surface donnée en l'un de ses points, sont les asymptotes de l'indicatrice de cette surface.
L'hyperboloïde osculateur à une surface réglée que nous avons défini au S 196, remplit évidemment les conditions de
Tosculation en chaque point de la génératrice G ; cette génératrice étant d'ailleurs Tune des asymptotes de l'indicatrice en chacun de ses points, Thyperboloïde osculateur pourra être considéré comme le lieu géométrique de la deuxième asymptote.
225. Supfaees parallèles. — Si Ton porte sur les normales à une surface S une longueur arbitraire, mais constante, le lieu des points ainsi obtenus forme une nouvelle surface w qui est dite parallèle à la première.
Considérons autour de la normale m7v les deux normales infiniment voisines appartenant aux normalies développables.
Ces normales rencontrent en y, , Yi la normale mn, et dans les plans principaux m^ja, w^ji, a a, ép étant pris égaux à m|A, il est facile d'en conclure que les tangentes [l% et ijl? à la surface (S) sont parallèles aux tangentes ma, mb à la surface (S).
Les deux surfaces parallèles ont donc des plans tangents parallèles aux points correspondants, et par suite elles ont le même système de normales (*).
Leurs normalies développables sont donc communes et leurs directions principales parallèles.
Leurs centres de courbure principaux y^ et y, sont les mêmes, et leurs rayons de courbure principaux différent par une même constante m [x ou /.
(•) Cette démonstration résultera d'une manière immédiate et simple de h théorie du déplacement que nous exposerons en cinématique.
CALCUL IMKKKRENTIKL iS'.i
Par suite encore, la différence des carrés des axes de Tindicatriée est la même aux points correspondants [n et jn de deux surfaces parallèles, et les indicatrices en ces deux points, si on les projette sur un même plan perpendiculaire à la normale commune mn, sont deux coniques concentriques et homofocales.
Ces indicatrices seront d'ailleurs elliptiques pour les surfaces coupant la normale en dehors du segment Yi Tj ; ^'l^s seront hyperboliques lorsque le point [i tombera à rintérieur de ce segment.
Le systèiue de toutes les surfaces parallèles à une surface donnée forme, avec les normalies développables de cette surface, une triple série de surfaces orthogonales entre elles qui se coupent bien, conformément au théorème de Dupin, suivant leurs lignes de courbure.
226. Quelques eonséquences remarquables de la théorie des surfaces. — La propriété caractéristique dos lignes de courbure de déterminer les seules normalies développables d'une surface, peut servir dans bien des cas à la détermination de ces lignes.
Par exemple, dans les surfaces développables, nous avons déjà fait observer que les génératrices étaient lignes de courbure parce que les normalies correspondantes étaient des plans ; les lignes de courbure du second système seront alors les trajectoires orthogonales des génératrices.
Lorsqu'une surface touche une sphère le long d'une ligne quelconque, cette ligne est nécessairement ligne de courbure pour cette surface, puisque la normalie correspondant est' un cône. De plus, le rayon de courbure principal R^ relatif à cette ligne (le courbure est constant et égal au rayon de la sphère.
Application aux surfaces canaux (enveloppes d'une sphère d<* rayon constant) : les lignes de courbure sont les grands cerch s caractéristiques de la sphère mobile, et leurs trajectoires orthogonales.
VJ
En général, quand une surface peut être considérée coimk^ Tenveloppe d'une sphère, les cercles de contact forment Fun de ses systèmes de lignes de courbure-
Les surfaces de révolution, sur lesquelles nous reviendrons un peu plus loin, rentrent dans ce cas, et par suite leurs parallèles sont des lignes de courbure ; les autres lignes de courbure sont donc les méridiens. En effet, les normalies correspondantes (plans et cônes) sont développables.
L'un des centres de courbure principaux est le centre v^ de la courbe méridienne, qui est une section normale principale de la surface en m.
L'autre centre de courbure principal y^ est le sommet du cône. normalie relative au parallèle. Ce centre Yt donne bien — conformément à la relation de Meusnier — le centre de courbure w du parallèle par sa projection sur le plan de ce parallèle.
Lorsqu'une courbe C est l'intersection de deux surfaces, si l'on connaît dans chacune des deux surfaces le rayon de cour-
CALCUL DIFFERENTIEL
bure de la section normale tangente à C et si l'on désigne par mi«>, mta ces rayons de courbure, le centre de courbure V de la courbe G devant pouvoir s'obtenir, d'après le théo-
rèiue de Meusnier, par la projection orthogonale de tù ou de ^' sur son plan osculateur, la trace de ce plan osculateur sur 1^ plan miùtù sera la perpendiculaire my menée de m sur <»> w'. Le plan osculateur tmy de la courbe G se trouve ainsi (léterminé.
3' RECHERCHE DES RELATIONS DIFFÉRENTIELLES AUX- QUELLES DOIVENT SATISFAIRE LES VARIABLES LIÉES PAR LA RELATION F(x,y.K) = o POUR QUE LA SUR- FACE QUE CETTE ÉQUATION REPRÉSENTE APPARTIENNE A L'UNE DES ESPECES SIMPLES TELLES QUE CYLINDRES, CÔNES, SURFACES DÉVELOPPABLES, ETC.
tltty. i« SurAiees cylindriques. — Si la surface repréî^entée par F {x. y, 5) = o est cylindrique, son équation doit pouvoir s'obtenir en prenant une certaine directrice définie par les équations
292 COURS DK CALCUL DIFFERENTIEL ET INTÉGRAL
par exemple, et en assujettissant une droite dite génératrice et dont la direction constante est déterminée par des coefficients invariables m et n, à rencontrer dans toutes ses positions cette directrice.
Les équations de cette droite seront alors
.T'j, î/j, et 5j, satisfaisant aux équations (1) et (2).
Eliminant Tj, \j^ et z^ entre ces quatre équations, on obtiendra une relation entre t, y et 5 qui devra être identique à Téquation de la surface.
Or, les équations (3) çt (4) peuvent s'écrire :
(.V — mr) = (.V, — mz,) = 9(jj) — ^n^j, ( y — 71Z ) = (î/j — nz^ = •} (^,) — nz, .
L*élimination de 5, entre ces relations conduira donc à une liaison entre [x- — mz) et (y- — ni) de la forme
(x — mr) = *([/— nz),
ou, en posant
1/— nz = tJ, (5) it = * (u),
la fonction * dépendant de la nature de la directrice choisie.
Cette équation devra pouvoir s'identifier avec l'équation proposée
Pour obtenir une relation différentielle indépendante de la forme $, nous appliquerons ce qui a été dit au S iOO sur l'éli-
mination des fonctions arbitraires, et en posant, selon l'habitude,
dx=^'^
nous trouverons par différentiation
i — mp = — np 4>' (u), — mq= (i — nq)*'(i?),
d'où
i — ïii/) np
inq 1 — nq
et, en simplifiant,
(6) mp + nq = i.
Cette condition entre les dérivées partielles de :; doit être satisfaite par toute liaison F (^r, y, :;) = o représentant une surface cylindrique dont les génératrices seraient parallèles à la direction
.Y = mj,
et, en général, toute équation de cylindre devra satisfaire à une équation différentielle de cette forme où les constantes m et n peuvent être d'ailleurs quelconques.
Il est facile de reconnaître la signification géométrique de cette équation différentielle.
Elle exprime que le plan tangent
p(X — jc)+ q(Y — i/) = Z — r,
est parallèle à la direction fixe
X = mz y = nz.
Donc, réciproquement, toutes les fois qu'une condition de la forme (6) sera satisfaite, la surface sera un cylindre.
22S. Remarque. — On pourrait chercher à éliminer les constantes arbitraires m et n qui entrent dans la condition trouvée.
En posant
= *^ wTl=''
dx« ' dx.dy ' dy^
on serait conduit par différentiation à
?nr + na =s Of ms + ni = 0,
d'où
(7) ri = .s».
Mais, ainsi que nous le reconnaîtrons plus loin, cette dernière condition exprimant seulement que la surface est développabk conviendrait à une famille de surfaces beaucoup plus nombreuse et dont les surfaces cylindriques ne forment qu'un cas très particulier.
230. 2"* Surfl)EU5e«i coniques. — Une surface conique doit pouvoir s*obtenir en établissant une liaison telle que
entre les coefficients m et n d*une droite
passant par un point fixe (a, p, y).
Son équation, par conséquent, doit pouvoir se mettre sous la forme
ou, en posant
CALCUL DIFFERENTIEL 21Ki
Éliminant la fonction arbitraire 9, diaprés la règle ordinaire, un trouve
c'est-à-dire
ou. en simplifiant :
c'est Téquation différentielle cherchée.
Elle exprime que le plan tangent
passe constamment par le point a ^ y-
En cherchant à éliminer les constantes arbitraires a, p, v qui subsistent dans Téquation trouvée, on retomberait sur Téquation
au sujet de laquelle nous aurions à répéter la remarque précédemment faite.
230. 3* Surface» développables. — Une surface développable doit pouvoir s'obtenir en cherchant Tenveloppe d'un plan mobile qui ne peut occuper qu'une seule série de positions, ou en d'autres termes, qui ne renferme dans son équation qu'un seul paramètre variable.
I/équatioii d'un pareil plan sera de la forme
en désignant par a ce paramètre variable.
Une génératrice sera donnée par Tintersection du plan ^1) avec le plan infiniment voisin. On aura donc à joindre, d'après la théorie générale des enveloppes, Téquation
(2) o = rWx+9'(«)y+f(.|
à la précédente, pour obtenir le système des deux équations figurant une génératrice, celle qui correspond à la valeur a du paramètre.
Eliminant a entre les équations (1) et (2), on aura le lieu des {génératrices, c'est-à-dire la surface, et Ton obtiendra ainsi un système d'équations telles que
(Mjuivalant au système (1) et (2), et dont la première représente la surface développable tandis que la seconde donne la valeur du paramètre a en chaque point de cette surface. Sous cette dernière forme, on voit que a est fonction des coordonnées x, y et : d'un point pris sur la surface, et si Ton revient au système des (équations (1) et (2) considérées comme représentant la surface I)ar leur ensemble, en y regardant a comme fonction des coordonnées et dérivant la première successivement par rapport à / ot à //. on trouve
'/ = ?(») + j^ [rW.x- + ?'(«) y + •/(*)!.
c'est-à-dire, à cause de (2),
CALCUL DIFFERENTIEL 297
L'élimination de x entre ces deux relations conduit à une liaison entre p et q telle que
Actuellement, il ne reste plus, pour obtenir la relation dififéreiitielle cherchée, qu'à éliminer la fonction arbitraire $, ce que Ton fait par le procédé habituel.
On arrive ainsi à Téquation
(7; rt = «»,
à laquelle doivent satisfaire les variables liées entre elles par toute équation représentant une surface développable.
Il est facile d'interpréter cette équation différentielle comme nous l'avons fait dans les cas précédents. Le plan tancent étant
r>i Ton déplace le point de contact infiniment peu de m en m' sur la surface, le plan tangent en ce nouveau point aura pour équation
iZ-.;-.dz) = p(X-x — dx) + 9(Y — y — ciy)+ dp{X x) +d(î(Y — î/), ou
iZ— 2) = p(X — x) + g(Y — y) + dz— pdA:-qdi/-hdp(X-.x)+d(/(Y-i/),
ffr. dy, dz représentant les accroissements des coordonnées du point de contact.
Mais le déplacement du point de contact s'effectuant sur la surfiice, on aura :
dz =z pdx + iidij,
et si de plus la direction de ce déplacement a été choisie de manière à annuler rdx + sdy^ c'est-à-dire dp^ rt — 5* étant nul- ^l'après l'équation différentielle, on aura aussi
« djc -h t dy =^ o,
c'est-à-dire
dq = o,
et l'équation du plan tangent se réduira finalement à
c'est-à-dire qu'elle sera identique avec celle du plan tangent en//*. En d'autres termes, quand on se déplace sur la surface suivant
la direction que nous avons définie, le plan tangent reste invariable. Ou bien encore, un même plan tangent touche la surface en une infinité de points.
On en conclut aisément que la surface est l'enveloppe de son plan tangent. et que c'est bien par conséquent uno surface développable.
Soient, en effet, deux plans tangents consécutifs, touchant la surface suivant les deux courbes C et C qui, à cause de la continuité, doivent être infiniment voisines. Coupons par un plan sécant quelconque : nous obtiendrons dans la surface la courbe de section (M) rencontrant en w w/ les courbes G et C et dans les deux plans tangents les droites mt, TYit qui seront les tangentes en m et m' à la courbe (M) et qui se couperont en un point t situé entre m et m'.
Le lieu de ce point t lorsque le plan sécant se déplace est d'ailleurs la caractéristique du plan tangent, et l'on voit ainsi que la caractéristique, comprise entre les deux courbes de contact infiniment voisines C et C, doit se confondre avec elles.
231 . A^ Surface de révolatioii. — Une surface de révolution est engendrée par une ligne plane ou gauche qui tourne autour d'un axe fixe.
Les sections de la surface par des plans conduits par l'ax»' sont dites méridiens Aq la surface; tous les méridiens sont évidemment identiques.
CALCUL DIFFERENTIEL
Les sections par des plans perpendiculaires à Taxe sont dites parallèles; tous les parallèles sont évidemment des cercles.
Toute surface de révolution pourra donc être obtenue comnio lieu géométrique d'un cercle intersection d'un plan mobile perpendiculaire à Taxe et d'une sphère de rayon variable ayant son
centre fixe, mais arbitrairement choisi sur Taxe, avec la condition d'une liaison entre le rayon variable de la sphère et la position variable du plan mobile.
Soient
x=z az -\- c y szzbz +d
les équations de l'axe. Prenons le point E{x = c^ij = d^ z = o] où l'axe perce le plan XOY pour centre de la sphère, l'équation de cette sphère sera alors
Les équations du parallèle seront donc de la forme
ax' + 6j/ + z= K,
avec une condition entre R* et K telle que
qui fait qu'à chaque sphère correspond un nombre de plans déterminé.
Éliminant K et R*, on arrive à
(4) ax + by + r = ?[(x — c)« + (y — d)« + -r"],
équation qui doit pouvoir être identifiée, au moyen des constantes a, b, c et d et de la fonction ^ dont on dispose, avec toute surface de révolution donnée.
L'élimination de la fonction arbitraire ç, effectuée d'après la règle ordinaire, conduit à la liaison différentielle
C'est l'équation différentielle des surfaces de révolution ayant la droite donnée pour axe ; en éliminant à leur tour les constantes arbitraires a, b, c et d, on obtiendrait une équation plus générale encore qui serait satisfaite par toutes les surfaces de révolution.
L'équation différentielle obtenue exprime, comme on peut aisément le vérifier, que la normale à la surface rencontre constamment l'axe A.
Or, il est visible qu'une surface jouis-
in>^^^^^ — /^ ^ sant de cette propriété est de révolution.
En effet, si on la coupe par un plan quelconque perpendiculaire à l'axe et mené par un point o) de cet axe, toutes les normales à la section plane ainsi obtenue passent évidemment par le point w, et, par
suite, cette section plane est un cercle ayant ce point « pour
centre, donc, etc..
CALCUL DIFFERENTIEL 301
si, on peut dire que, réciproquement, toute surface satisfaisstnt à une équation différentielle de forme (5) est une surface* de révolution.
Nous nous bornerons aux cas simples qui viennent d'être traités, en signalant seulement Texistence de relations différentielles analogues pour les surfaces réglées, les surfaces conoldes, etc., etc.
I. — Le problème que nous avons résolu dans la première partie du cours consiste, étant donné une relation ou un système de relations entre plusieurs variables, à rechercher les liaisons qui en résultent entre les accroissements différentiels de res mêmes variables.
C'est la solution de ce problème qui constitue le calcul dilJv' rcntiel.
La question que nous nous proposons actuellement de résou- «Ire est Tinverse exactement de la précédente.
Etant données certaines relations entre les accroissements «lifférentiels de plusieurs variables, on demande de retrouver les liaisons dites intégrales qui, établies entre ces variables, ont pu «obliger leurs différentielles à satisfaire aux relations données.
Enoncé avec toute cette généralité, le problème du calcul intégral est, on le conçoit, infiniment plus difficile à résoudre que celui du calcul différentiel. Pour nous servir encore une fois d une comparaison que nous avons déjà employée, dans le premier cas, on connaît le mécanisme d'une machine et Ton étudie la manière dont fonctionnent ses différents organes, ce que Ton peut faire facilement, puisqu'il n'y a qu'à mettre en mouvement la machine pour se rendre compte de ce fonctionnement ; dans le second cas, au contraire, on donne le déplacement de certains organes et l'on demande de restituer le mécanisme inconnu qui peut provoquer ces déplacements.
Cette comparaison fait bien comprendre à quel point le prol»lènie peut se compliquer ; de même qu'en mécanique plusieurs
304 COURS DK CALCl f. DIFFERENTIEL ET INTEGRAL
niécanismes peuvent souvent produire le même mouvement, il arrive que plusieurs relations entre les variables donnée^ peuvent conduire aux mêmes liaisons entre leurs variation^ différentielles.
Il y a donc une indétermination dans la solution qui en rend la solution souvent impraticable.
Aussi ne donnerons-nous que des solutions très incomplètes du problème de l'intégration, tandis que celui de la différentiation a été complètement résolu.
r" PARTIE. — THÉORIE DES QUADRATURES
Sfi33. — Considérons d'abord le cas le plus simple de tous, celui où la relation différentielle donnée ne renferme que deux variables x et i/, et est du premier ordre.
D'après le principe fondamental sur les infiniment petits, cette relation sera alors homogène en dx et dy ; en divisant par la puissance la plus élevée de dx^ et résolvant Téquation algf'*-
brique en \-f-) ainsi obtenue, on pourra toujours ramener cetteéquation à la forme simple
Supposons, pour simplifier encore, que le second membre ne renferme que la lettre x.
Il reste
Telle est la relation différentielle dont nous allons nous occu* per d'abord.
Le problème que nous avons actuellement à résoudre consista
CAIXUI. INTÉGRAL 30:>
donc à trouver la liaison la plus générale entre rr et y qui conduise à la relation :
entre les différentielles.
Si nous connaissions une fonction de a?, $ (rr), ayant ç {x) pour dérivée, nous satisferions évidemment à la question en posant :
cette relation nous fournirait ainsi une intégrale de Téquation donnée.
Nous démontrerons que cette intégrale renferme toutes les solutions possibles.
En effet, s'il existait une autre liaison entre x et y satisfaisant à la condition donnée, on pourrait mettre cette liaison sous la forme :
pn la résolvant par rapport à y; et de cette relation on déduirait :
dy=:W(x)dx, c'est-à-dire
Mais les deux fonctions ^ et * ayant même dérivée ne pourraient différer que par une constante (S 1-4), c'est-à-dire que Y [x] rentrerait dans la forme * (j?) + c.
La question sera donc complètement résolue si nous découvrons une fonction * {x) ayant ^ {x) pour dérivée : cette fonction est dite fonction primitive de <p {x).
Pour démontrer qu'une pareille fonction existe on peut raisonner de la manière suivante .
300 COURS DE CALCUL DIFFÉBKNTiEL ET INTÉGRAI.
Ktaot donnée la dérivée <f{x) ('}, noua pouvons toujours ^ fonstmire une courbe dont
" ' m, 3- soit l'abscisse et ç 'x
ou : l'ordonnée, et nouisavons que dans une pareille courbe , l'aire oiiibr(*e A comprise entre l'axe des x et la courbe, et limitée aux deux ordonnées aa' et mj-, e>i une fonction de l'abscisse O-c satisfaisant & la relation diflcroiitielle
donc A est une fonction de x dont ç {x} est la dérivée et l'un voit ainsi que le problème d'intégration qui nous occupe revient i\ 1.1 quadrature de la surface en question. De là le nom iJe quadralurc fréquemment donne à ce problème.
Remarquons d'ailleurs que si l'on fait varier l'ordonnée aa! à partir de la- ((uelle on compte l'aire, de manière à la transporter en
o, o'„ ou o, .o'„ on auff- a, a- a.^ x
mente ou diminue d'une
quantité indépendante de j-, c'est-à-dire constante par rapport à X, la valeur de cette aire, que l'intégrale générale
OÙ c figure une constante arbitraire, représente ainsi avec l'indétermination qu'elle comporte.
l'j En admettant, bien entendu, qu'il s'agisse d'une variable réellç et d'unf fwction réelle également. Nous examineront» plus loin le cas des tonttiont'
K^n métriques, ...
CALCUL INTÊGIIAL 307
La relation entre l'intégrale * (.r) + ^ et la fonction ç (x) s'exprime par le signe / on écrivant
L'emploi de ce signe, qu'on appelle signe somnie^ se rattache à l'interprétation géométrique précédente : en effet, Taire A, représentée par 4>(j') + c, est la somme des aires différentielles d.V ou ^[x)dx qui la composent.
Il est essentiel d'observer que par cette dernière interprétaticjn on attribue à la lettre x un sens différent dans les deux membres. Dans le premier membre, en effet, elle représente l'abcisse, limite à laquelle on arrête Taire A ; dans le second, au contraire, elle reçoit toutes les valeurs intermédiaires entre une abscisse initiale a arbitrairement choisie et Tabscisse limite or. Il serait donc plus logique de remplacer x par une lettre différente dans le second membre et d'écrire par exemple :
cI)(a:)+c= /'«(ï)dÇ,
en rappelant par Tindice attribué au signe d'intégration quelle est la limite à laquelle la sommation s'arrête. Nous reviendrons sur ce sujet à propos des intégrales définies.
