D'UNE FONCTION

2341. — On ne connaît pas de méthode générale pour résoudre le problème de la quadrature ; en d'autres termes, étant donnée la dérivée d'une fonction de a-, on ne possède pas de règle certaine pour en retrouver dans tous les cas possibles la fonction pri^ tnitive.

Mais on connaît une série de procédés d'intégration applicables à des cas particuliers fort nombreux : ce sont ces procédés que nous allons exposer succinctement.

i'* Intésrattoii tmitiécltate. — Si la fonction proposée se

308; COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTÉGRAi.

trouve être précisément identique ou identifiable avec la dérivée d'une fonction connue, le problème est en quelque sorte tout résolu. Ainsi :

/Ax"*+' Xx^dx = + c.

» » Z.x* » - « I — = Lx + c.

» » e' » e* » / e*dx = c* + c.

» » sinx » cosx » / cosxdx = sinx + c.

» » cos.v a — sinx »> 1 sinxdx = — cosx+c.

» » ta X » — j— » / — j- = M X + c.

cos*x j cos^x "^

i /^ dx

« arcsinx . ^^=3=^ *' j ^^====arcsinx+c.

« arc /(7 X » -j-j-^j » J j-^— 5 = arc /gx + c

235. — 2** Intégration |»ar 0ab8tltution« — Quelquefois la substitution d'une variable nouvelle transforme la quantité à intégrer en une expression plus simple immédiatement intégrable. Ainsi soit à intégrer

j(ax + 6)" dx.

On pose

(ax 4. b) = z,

d'où

dx = — , a

et alors

/ (ox -f 6 " dx = / = + c = ^ — , ' , 1- c.

De même si l'on avait

r dx

J x^+px+q'

CALCUL INTÊCRAL 309

on pourrait poser

1» > ou

dX=: dz V/q-Ç-

et l'intégrale proposée deviendrait :

+ c = — T==r arc/r; j , ) + c.

23G. — 30 Rèsle de la •omnie* — Supposons que Ton ait à intégrer une fonction /"(x), qui soit la somme de plusieurs fonctions que nous désignerons par u, v^xv... on aura

/ f[x)dx = / (u -f u -f- w + ...)d.v,

et si U, V, W sont les fonctions primitives de ti, v, w^

Jf(x)dx=.V

car en dérivant les deux membres, on trouve une identité.

Par Tapplication de cette règle on intégrera sans difficulté tout polynôme algébrique entier. Ainsi

/ (x« + PiX"»-« H-p,x"»-* -f ... + p»-,x + />«)dx

t63Tf. — 4I<> Intégration des fractions rattonnelles

par leur décomposition en fk^actions simpiefli» — Soit

à intégrer la fraction rationnelle v< , P et 0 étant deux polynômes entiers en x que Ton peut toujours supposer ramenés à être premiers entre eux.

Nous commencerons par établir le théorème suivant : Si a désigne une racine de l'équation f\^x) = o et a son do^ré de multiplicité, en sorte que Ton ait :

f^{x) étant un polynôme non divisible par (.r — a), la fraction rationnelle

F jx)

supposée irréductible pourra toujours être décomposée en deux parties de la manière suivante :

¥{x) A fix) " ^x—ai'

Ft {X)

[X — af ■' /■, ix)

k étant une constante et F, (.r) un polynôme entier. En effet, on a identiquement quel que soit A :

Vix)^ F(x) ^

A^)""(x a) Vi (A') ~ 1^ — a)* ' (.x— a)Vt<»^)

A Vx]-\r,{x)

et pour que le dernier terme du second membre ne contienne à son dénominateur que la puissance (a — 1) du facteur {x — a , il faut et il suffit que le numérateur Y[x) — A/*j(a') s^annule pour X = a,

Déterminons A par la condition

F(a)-AA(a) = 0, d'od

Cette valeur de A sera finie et différente de zéro, puisque f^ia) et F (a) ne sont pas nuls par hypothèse (*). Posons doue :

F(x)-AA(x) = (x-a)F,(.T), il viendra :

L'application répétée de cette transformation conduira ain.si à remplacer la fraction rationnelle donnée par une somme telle que :

On opérera de même sur les autres facteurs (.r — ft), (or — c) de f(ir) cpii entrent dans f^{jr), et Ton arrivera finalement à une expression telle que :

oùA.p,B,, C^ sont des constantes et H (a™) une fonction entière.

(*) Dans le cas où réquation f{x) = o n^admet que des racines simples, on a, en désignant par a Tune de ces racines :

(X— a) d'où, pourx = a:

^\ par conséquent :

r(fl)

Appliquant alors à la fonction proposée la règle de la somme. on aura .

P dx = ^ • ^ ... +A„,/. {x—a\,

+ / H(x)dx + constante.

i. — Remarques. — 1® Si Tune des racines a par exemple était supérieure à^r, Tintégrale L{x — a) se présenterait sous la forme du logarithme d'une quantité négative, c'est-à-dire d'un logarithme imaginaire; pour éluder cette difficulté, il suffira de remarquer que

L(o — x) et L{x — a) ont même dérivée

dx

ce qui tient à ce que ces deux fonctions ne diffèrent que par la constante imaginaire l. ( — I). On pourra donc remplacer sans inconvénient L [x — a) par L {a — x)^

2** Si Tune des racines, a par exemple, était imaginaire, de la forme p + qi^ la fonction f{x) étant supposée réelle, l'équation f{x) = 0 renfermerait la racine conjuguée/? — qi. On aurait alors à intégrer des couples de termes de la forme

et

\x—p — qi x — p-\-qxJ

/ P + Qi P-Qi \^^

Si l'on veut pour cette intégration éviter l'emploi des imaginaires, on peut le faire de la manière suivante :

CALCUL INTÉGRAL 3i3

En les réduisant au même dénominateur, les deux expressions précédentes deviennent

2M]x--p)--2N2 dx et

ÎM dx.

* {x) étant un polynôme réel du n* degré en cr. Si Ton pose

d'où

dx = d.",

la première intégrale devient

et donne par intégration immédiate :

M /.(z* + (?«)— 2Narcfg - + c.

cest-à-dire

M L [(x — p')« + q«] - 2N arc tg ^I^JEÏ + c,

résultat que l'on peut retrouver par l'emploi du calcul géométrique.

La seconde intégrale est

4> {x) dx

En divisant le polynôme du 7i* degré ^{x) par {x — pY + 7*, ou obtiendra un quotient ^^ (x) de degré {n — 2) et un reste du premier degré de la forme A.r + B , On aura ainsi

<l>(x) __ 4^ ix] AeX + Bq

En opérant à son tour sur la fraction

4>, ix\

comme on vient de le faire sur la précédente, on arrivera i\ substituer en définitive à l'intégrale proposée une somme d'intégrales de la forme :

En posant comme précédemment x — p = ^j il vient

/• (A.x + Brf)d.v /' A. z dz nXiP -h B,) dz

La première intégrale du second membre s'obtient immédiatement ; elle est égale à

Ia

La seconde intégrale est le produit d'une constante par :

dz

(^* H- fi^}

On peut l'intégrer de différentes manières ; nous indiqueronsi un artifice de calcul assez élégant qui conduit très rapidement à cette intégration.

On a :

r dz 1 ^ z

I T-i — i = - arc tg -»

d'où, en posant ?• = K

Différentions //* — 1 fois cette identité par rapport à la lettre K, nous aurons :

Maison sait (S 31) que si l'on dififérentie une expression par rapport à différentes lettres qu*elle renferme, l'ordre des différentiations n'influe pas sur le résultat final. Par conséquent

,„ J.2.3... (m — 1) d r d"-* ( i , z XI

(i'où, en intégrant et remplaçant K par q^ dans le premier membre,

J (ï* + <!•)» "1.2.3... (m -1) LdK«-« Wk" ^V^r/J

Appliquons cette méthode à un exemple simple. Soit à intégrer

r <lz • J (i* + !)'■

Nous partirons de l'équation

«loù, par une différentiation relative à la lettre K,

et par suite

\ Il »'