constante
Nous aurons :
COSX= ^1
2u sin X = J-: — - »
2 du dx = -- — •• 1 + u"
La substitution de ces valeurs dans
/ /'(sin X, cos X, Ig x) dx,
donnera une fonction algébrique et rationnelle en u multipliée par dUj donc, etc.
#î4IO. — S"" Intégration des Irrationnelles Algébriques.— Si la différentielle algébrique à intégrer ne renferme pa? d'autres irrationnelles que les puissances fractionnaires de la variable, elle peut être ramenée à la forme rationnelle par un simple changement de variable
:h6 cours de calcul différentiel et intégral
faisant K= 1, on trouve
formule dont on vérifie aisément l'exactitude.
230. — Actuellement, sachant intégrer toute fonction algébrique et rationnelle de x, nous pouvons, par une simple substitution, rendre également intégrable toute fonction algébrique et rationnelle de sin a?, cosa^ et tga?*
Posons en effet
^Vînsi, soit f[x) une fonction de x renfermant des puissances fractionnaires de la variable, on choisira un nombre entier m divisible par tous les dénominateurs des exposants de x dans /"(jr), et Ton posera
d'où
dx = înf*-* (il
la substitution donnera une fonction rationnelle en t.
Si f{ar) est une fonction rationnelle de x et des puissances fractionnaires d'un seul binôme du premier degré (ax + fc), on posera de même
ox 4- & = /*
ra étant un entier divisible par les dénominateurs des exposants de (jaœ -|- &)•
Si f(x) ne renferme comme quantité irrationnelle qu'un seul radical carré portant sur un trinôme du second degré, tel que ;
u = v^ax* + 6x + c,
on pourra encore rendre la différentielle f{x) dx rationnelle par la transformation suivante ; on posera :
tt = V^â(z — x),
crx* + 6x + c = a (2* — 2 zx + x«),
et après réduction
:M8 cours de calcul DIFFERENTIEL ET INTÉGRAL
il en résulte :
et
(6 + 2 az)*
En substituant ces valeurs dans f{x) dx, on obtient une différentielle rationnelle en s.
La méthode que nous venons d'indiquer s'applique à tous les cas possibles, mais à la condition d'introduire, si a est négatif, des imaginaires dans les calculs.
Si Ton veut en éviter l'emploi, on peut y parvenir dans la plupart des cas au moyen des méthodes suivantes :
a étant supposé négatif égal à — a' on divisera par y' a' et il
restera, en faisant - = b\ -, = d
V^— jc* + 6'x + c'.
Si les racines de l'équation
sont réelles, en les désignant par a et g, on posera
et par cette substitution l'expression proposée deviendra rationnelle.
Si les racines du trinôme ax^ '\- hx -\- c sont imaginaires (ce
«|iii suppose c de même signe que a, c'est-à-dire négatif), remploi des imaginaires ne peut être évité; dans ce cas d'ailleurs, le radical proposé est constamment imaginaire. Application à Tintégration de
/' dx
J s/TiH^*
On pose :
d'où
et
en substituant l'intégrale, devient :
J ^ ♦file s'intègre immédiatement, et Ton trouve ainsi :
/dx /\i- ,
^== = J ^ =u + c=i. ,v + ,'^nr^\+ c.
Dans certains cas on arrive plus rapidement au résultat par une transformation spéciale.
Supposons, par exemple, que Ton ait à intégrer :
fv^S^^
X* dx ;
posant
X =a cos ?
d'où
dx = — a sin f d 7,
on a :
V a* — X» ='a sin <?, et par suite
1 ^ a" — 3c* dx = / — a*sin*9d9 = — a* i sin' 9 ci ^>
expression dont nous donnerons plus loin l'intégration ; mais il faut que x soit inférieur à a pour que le cosinus et le sinus de Tangle 9 soient réels.
24 i . — Dlflérentlelles blnômeflu — On désigne sous le nom de différentielles binômes les expressions différentielles de la forme :
x"» {a + bx")'' dx,
où a et 6 désignent des constantes et p un exposant fractionnaire.
Quant aux exposants m et n on peut les considérer comme entiers, car s'ils étaient fractionnaires, en les réduisant à un dénominateur commun g, on poserait :
d'où
dx = qfz«~*dz
et, en substituant, la différentielle proposée deviendrait :
expression de même forme que la proposée et où les exposants de z sont entiers.
On peut, en outre, supposer 7i positif, car s'il était négatif et égal à — n', par exemple, on pourrait écrire
x« (a + 6x-*')J» dx = X"»-"' (ax*' + 6)' d.r,
expression qui est encore de même forme que la proposée et où l'exposaDt de x est positif dans la parenthèse.
En général, les différentielles binômes ne rentrent pas dans les types de fonctions irrationnelles que Ton sait intégrer. Mais il y a deux cas remarquables où l'intégration peut se faire par une substitution simple.
Posons
d'où
et
'^ = Tt, (nr ) " ''-'■
il vient par substitution :
x" (a + bxoy dx=^ C-r) " **'''
TfV ~V~ 1
et si — -î— est entier, il suffira de poser z = f,r étant le déno-
minateur de p pour transformer cette dernière différentielle en une expression rationnelle.
ou
D autre part, la différentielle proposée peut s'écrire en diviî>aiit par J"" dans la parenthèse
et en effectuant sur cette nouvelle différentielle binôme la substitution qui nous a précédemment réussi, on arrive à la condition
^]L±^1E±A^ = un entier,
f 1- p ) = un entier,
qui répond au second cas d'intégrabilité des différentielles binômes.
#Î4I2. Observation générale sur les tranaforamatlons qui ont pour elTet de rendre rationnelles les intégnpales irrationnelles. — Soit
(1) jF(x,y)dx
une intégrale dans laquelle ¥[ir,y) représente une fonction rationnelle de x et de y, et y une expression irrationnelle en jdéterminée par Téquation :
^<>^ fiXf y) = 0.
L'expression soumise à l'intégration pourra être rendue rationnelle par la substitution d'une nouvelle variable /, si Ton parvient à choisir cette variable de manière à avoir
« et t)^ étant deux fonctions rationnelles.
CALCUL INTKGRAL 323
Mais si cette transformation est possible, la courbe représentée par Téquation (2) où l'on considère x et y comme deux coordonnées, appartient à la classe des courbes dites unictir^ sales, c'est-à-dire telles qu'on peut déterminer individuellement tous leurs points en fonction d'un même paramètre. Or, on démontre qu'une courbe unicursale de degré n admet toujours
p()ints doubles, et que réciproquement toute courbe de degré
/i admettant g (n — 1) (n — 2) points doubles est unicursale {*}.
IV autre part, on a vu (§ i©8'; que les points doubles d'une (uurbe
tétaient donnés par les équations
dy
jointes à l'équation de la courbe.
La condition nécessaire et suffisante pour que la transformation soit possible consiste donc dans Texistence de
:Jn — l){n — 2) systèmes de valeurs de x et de j/ satisfaisant
î'imultanément aux équations (2) et (4), ou, si Ton préfère, dans
l'existence de ^(n — l)(n — 2) points communs aux trois courbes
représentées par ces équations.
0 Ces propriélés remarquables des courbes unicursales ont été démontrées par MM. Clebsch et Ghasles.
Lorsque cette condition est satisfaite, on peut obtenir l'expression de la variable auxiliaire t qui permet de rendre Tintcgrale donnée rationnelle. (Voir Hermite, Cours d'analyse df l' École polytechnique^ I, pages 240 et suiv.)
243. — Inténnrales eUlptiques. — Si la différentielle n intégrer est formée par une fonction algébrique et rationnelle
de X et d'un radical carré ^/X , portant sur une exprcbsioii rationnelle, on peut remarquer d'abord que cette fonction, ordonnée par rapport aux puissances du radical après avoir fait disparaître le radical du dénominateur, se réduira à deux termes, tels que :
dont le premier sera rationnel et dont le second sera le produit du radical par une fonction rationnelle de x. Ce binôme pourra encore s^écrire :
en désignant par P la fonction rationnelle NX.
La recherche de l'intégrale proposée se trouvera donc rame née à celle de :
Pdx
puisque /Mda? est toujours facile à obtenir.
Dans le cas particuUer où X est un polynôme du troisième ou du quatrième degré, on peut, par une transformation simple, le ramener à la forme bicarrée et Ton est conduit finalement (Voir
Jordan, Cours d'analyse^ II, S 32 et suivants) aux trois intégrales :
J v^(i-x«)(l-ft*i«) ' W= f ^^^
J (i +rt X«J ^(1— x*j (1— /l«X»)
qui définissent trois transcendantes nouvelles et auxquelles Legendre a donné les noms d'intégrales elliptiques de première, seconde et troisième espèce (*). La constante A, qui est réelle, positive et inférieure à 1 lorsque les coefficients de X sont réels, s'appelle le module des intégrales, la constante n en est le paramètre* Par un changement de variables, en posant :
X = sin 0, on ramène les intégrales elliptiques aux expressions suivantes :
J VI— /i«sin*ç>' V = E (?) = / V' 1 — /i« sin« o d?.
J(l + nsiii»9) v^ 1 — A» sin* <?' que l'on peut écrire plus simplement encore :
(*) La dénomination dHntégrales elliptiques provient de ce qu*on rencontre, comme nous le verrons plus loin, la seconde de ces intégrales dans le problème de la rectification de Tellipse.
s;* COliRS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
J (4 +nsin«9)Ao
En désignant par A9, suivant une notation usuelle, le radical
V 1 — k* sin* ç. Mais il convient d'observer qu'à moins de limiter entre + 1 et — 1 les variations de ar, cette transformation conduit pour 9 à des valeurs imaginaires, ou autrement dit géométriquevS, et nécessite Temploi des sinus géométriques que nou> définirons plus loin.
SÎ4I4. — 6*> Intésratlon par partie». — La règle du produit a donné (Calcul différentiel, S ^^4).
duv := udv + vdu; il en résulte
= 1 udv + / vdiff
et par conséquent
/ udv = uu — / vdu (*).
Ainsi, une intégrale I ydx étant proposée, on pourra toujourj»
substituer à sa recherche celle d'une autre intégrale, si Ton décompose la différentielle ydx en un produit tel que udv formé d'une fonction u et d'une différentielle dv dont l'intégrale v soit connue.
Cette décomposition pourra se faire d'aileurs d'une infinité
uv
(•) Les intégrales sont supposées renfermer leurs constantes arbitraires.
CALCUI. INTÉGRAL 327
lie iiinnîères : ou adoptera celle qui fournira pour la nouvelle iriir'j,Tale 1 vdu le résultat le plus simple (').
IiUerprétation géométrique. — Les fonctions « et v étant liées lune à l'autre par l'intermédiaire de r, si l'on trace la courbe figurative de V^ i-ctte liaison, on sait {^ 233) que
/ iid" = surfftce A,
/ «lin ^ surface R,
y» J~ '■I lorsque u et y varient, on a :
surface A f surfoce R = rectangle opmq — rectangle op, m^q^. (■'{■st-à-dire, aux constantes près, la relatiou
/ u((ii +■ / vdu = uo pi-i'oédemment établie.
,~) Par exemple, «oit ( xsinxrfx; on pourrail poser : .vsin*= u et ilx — di-, J'oii (.tcosa: + sini)(l* = du x = v,
-1 fvdu --. I {x'coax + * xin X) ,ix,
ou bien sin x =: u el xdx = dr,
ifoù ros.tdx = du -ît = 'S
328 COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET LNTÉGRAL
La méthode d'intégration par parties peut conduire au résultat de différentes manières :
Premier cas, — Il peut se faire que Tintégrale 1 vdu soit inv
médiatement intégrable.
Exemple :
/xsi
sînx dX'
Si Ton pose :
X = u sîn xdx = dt',
on trouve
alors
dx = du — cos X = i\
X cosx -f / cos X dx = — X cos X + sin X 4- constaole.
/xsinxdx = — xcosx -f /<
Second cas. — Si Tintégrale / vdu peut, par certaines trans-
formations, reproduire Tintégrale donnée ludv, la relation cons-
titue alors une équation en quantités finies où Tintégrale I luiv est Tinconnue et d*où Ton peut tirer sa valeur.
Exemple :
/ sin'xdx.
On pose
sin X = u sin X dx = dv,
d'où
cos xdx= du — cosx = u,
il en résulte
/ sin' X dx = — sin X cos x + / cos* x dx,
mais
lcos*xdx= I (1 — sin*x)dx=- j dx -- / sin*xdx
= x — / sin*
xdx,
et en substituant dans la relation précédente, il vient 2 1 8În* X dx =r ^ sin X cos x + x + constante
on
sin' X dx = T h ô + constante.
Troisième cas. — Un troisième cas enfin peut se présenter :
l'intégrale / vdu peut être de même nature que Tintégrale / ndv .
mais plus simple : dans ce cas, Tapplication réitérée de la méthode conduit en général au résultat cherché. Exemple :
f(l- *)- dx,
m étant un exposant entier.
Soit d'abord m positif, on pose :
(U x)* = u dx^=^dv,
d^où
ma.x)*»-»
= du X = r,
alors
/ (/. .v)" dx = X {L .v)"» — m M/, x) "• - * dx«
En répétant la même transformation, on abaissera chaque fois d'une unité la puissance de Lx. et Ton arrivera finalement à ;
/ (/. x) dx = X L X — / dx = X /. X — x + constante •
Si Texposant était négatif, la même relation, prise en sens inverse, pourrait encore servir, car elle donne :
f(l. x)"» - > dx = ïi^ - ^ /(' •^)"' ^-^^ (roù, on posant m — 1 = — /i,
li'application réitérée de cette relation conduira finalement à :
A/.x)-' dx = — x(/.x)-* -f A/.x) -« dx.
fdx On démontre que cette dernière intégrale, j-. — , estimpo^-
sible à exprimer au moyen des fonctions connues : ello définit donc
rdx une nouvelle transcendante^ comme l'intégrale f — pourrait servir à définir le logarithme népérien, si cette transcendante n'ét-ait pas connue déjà.
r dx La transcendante / -j^ peut être exprimée par une série in-
j Lx
définie, ainsi que nous le ferons voir plus loin; on lui a donné
le nom de logarithme intégral (*).
(*) CeUc transcendante jouit d'une propriété très remarquable que nous nous bornerons à énoncer : prise entre deux limites a et 6 elle donm* approximativement le nombre des nombres premiers compris entre ces deux limites et l'approximation est d'autant plus grande que b est plus grand par rapport à a.
CALCUL INTÉCRAL 33 J
24S. Application de la règle d^ntégratlon par partiefli à qiielqaes Intégrales remarquables.
1* Soient, par exemple, les intéj^rales
X = / e** C08 bx dx 1
et
bxdx.
= / e**sin
Si Ton applique la règle d*intégratioii par parties à la première lie ces deux intégrales, en posant:
COS bx dx=- dv,
il'où
ae" = ciit
sin bx
on trouve
1 e** cos hx dx =
sin bx a C ^,
et Ton est ainsi ramené à la seconde intégrale Y.
Mais en appliquant à son tour à cette dernière le même procédé de transformation, on retombe, comme il était facile de le prévoir, sur la première intégrale X. On trouve en effet :
j e^ sm iijc dx = — 1" K / ^ ^^® ^^ ^^'
Le système des équations (1) et (2), où Ton peut considérer les deux intégrales comme deux inconnues, se résoud sans diflBculté fit fournit les valeurs cherchées de X et Y. On a, d'après (1) et (2) :
6X + aY = €•* sin 5x, aX — 6Y = e** cos bx,
(loù
h sin bx + a cos bx
^ ' ^ „ ., a sin bx — b cos 6x
Ces deux intégrales pourraient slobtenir immédiatement par l'emploi du calcul géométrique. Remarquons, en efTet, que:
X + Yi = je*' (cos bx + i sin bx) dx = re<«+*'>cl.x,
donc
„ .. c<«+*'>* ^, cos bx 4- i sin bx
X + Yl =r --TT = e** —r^
a -H bi a -f bi
Multipliant dans le second membre haut et bas par a — 6/, il vient
Y ^,. ., (cos bx 4- i sin bx) (a — bi)
— •« '^ cos bx + b sin bx) + i (a sin bx — b cos 6x)
équation qui se décompose dans les deux équations (3) (*). 2** Soit en second lieu l'intégrale
V = f sin"* X cos" X dx •
avec m et n entiers.
Cette intégrale rentre dans le type pour lequel nous avons donné au § S30 une solution générale, mais on peut la traiter directement au moyen de l'intégration par parties.
Le cas où Tun des deux exposants serait impair peut être d'abord écarté, car il se ramène par une simple substitution à l'intégration d'une fonction entière. Ainsi, si n = 2;?-f l,en posant
(•) Dans le cas actuel, Tintégration de Texponentielle géométrique est évidemment légitime, diaprés la dé6nition même de cette exponentielle ; mais Tapplication générale des règles ordinaires de Tintégration aux fonctions géométriques ne se trouvera complètement justifiée qu'après Tétude de Tintégration géométrique que nous ferons un peu plus loin.
sin X = r d'où cos jcdx = dr.
on a :
V = / sÎD ".x cos''x cosxdx = / z'*(l — z^fdz,
et si m était impair et égal à 2<7 + 1> on aurait de même, en posant
COS.X =■ u, d'où tin x dx = — du, Y = 1 8ln»« X C08" X sinx dx = — / u»(l — u'^fdu.
Les deux exposants étant supposés pairs, on peut toujours remplacer une puissance paire du cosinus par le développement de i — sin*a? élevé à une certaine puissance : l'intégrale proposée s'écrira donc
/ 8in*x(i — sin'xj'dx
et se décomposera en une somme d'intégrales de la forme p'm^xdxj et Ton peut même remarquer que Texpogant q sera
toujours pair.
Occupons-nous donc exclusivement de cette dernière intégrale. La règle d'intégration par parties va nous permettre de l'obtenir, quel que soit d'ailleurs g, pair ou impair, positif ou négatif.
Supposons d'abord q positif. En posant :
8in«"'x = u sinxdx = du
d'où
(g — IJ sin'"*x cosxdx = du — cos. x = r,
on a:
/ 8in« xdx= — cosx 8in«-* x -H (g — i) / sin« -'xco8*xd.v,
OU, en remplaçant cos*j^ par 1 — sin'x et réunissant les intégrales semblables
q I sin^xdx = — cos x sin« -* x + [q — 1) i sia« -* x dx.
répétant Topération le nombre de fois nécessaire, on arrivera finalement à :
sin 2jc
/ sin'xcijc = h g +
conslaDte.
<3omme on Ta vu au S ou à:
sin xdx = cos x + constante.
Si l'exposant q était négatif, la même relation (1), appliquée en sens inverse, conduirait encore au résultat, puisqu'elle permettrait de passer de l'exposant g — 2 = — q à lexposaiif
On arriverait finalement par son application réitérée à
J. , = — cot.x + constante, ou à
= '• ^9 T. + constante.
Remarque. — L'intégration de / sin"* a? cte et / cos"* irdir pourrait se faire également au moyen des formules démontrées au S 114. En effet, par la simple application de la règle de la somme, ces formules permettent de substituer aux intégrale? proposées une somme d'intégrales de la forme
/ sin px dx, / cos(7xdx,
CALCUL LNTÉCRAL 33.;
immédiatement intégrables et donnant respectivement :
COSp»V)
-\ — smax,
q comme résultat de leur intégration.
24:G. 'T* Intéf^ration par les séries. — Il existe enfin un dernier moyen d'effectuer une quadrature pour laquelle les procédés précédents n'auraient pas réussi. Nous voulons parler (lu développement en séries.
Supposons que l'on ait à trouver
)dx
H que 9 (j-) soit développable en série par la formule de Maclaurin par exemple, en lui substituant son développement, Tiniêgrale proposée prendra la forme
Y = j{a + bx + ex:* + .,.)dx,
<^t l'on pourra écrire en intégrant séparément chaque terme :
Y = ax + -«- + -T- + ... + conslante.
Nous justifierons plus loin (S SSO) la légitimité de cette opénition par la démonstration d'un théorème sur l'intégration des i^me^ : toutefois cette démonstration comporte certaines restrictions importantes.
On doit observer d'ailleurs que l'intégrale cherchée Y est obteîiue sous forme d'un développement en série, dont on ne pourra vas, en général, reconstituer la somme.
Gomme application de cette méthode, nous avons déjà vu li 79) que le développement
pouvait conduire par intégration au développement de /.(l +j*)
Ce développement intégré à son tour donne :
J.(l + x)dx = c + - — + -
On a d'ailleurs directement au moyen de l'intégration par parties :
j'm + x)dx^xl.{i+x)-J'^.
= (i + x) L (1 4- x) — X + constante.
et Ton vérifie aisément l'identité de ce résultat avec le précédent en substituant à Z.(l + x) sa valeur développée.
L'intégration par séries nous fournira encore l'expression
/dœ — qui définit, comme on a vu plus
haut, une transcendante nouvelle. En posant
d'où
Lx = z
on a
= constante +'•- + ^+20*'" 3 TU "^ '"
-c 4. /Z X 4- Z X 4.* (i-^)' , 1 M» iJLf)î ,
(iCtte série est en général convergente, car
CALOUI. INTÉGRAI. 337
l[inîii±l= lim |(..t) îî-=^ = 0,
saur pour jr=o,
Seulement la fraction ■,— devenant infinie pour t= 1, l'inté-
?;i;ition ne peut être faite qu'entre des valeurs de x ne compreiiiint pas l'unité {Voir plus loin S S5i\
