Solution du problème de la dérivation

Proposons-nous actuellement de calculer les fonctions dérivées qui résultent d'une liaison donnée entre deux variables x et y.

D'après ce qui précède, ces dérivées sont au nombre de deux, et la connaissance de l'une d'elles entraîne immédiatement celle de l'autre (règle des fonctions inverses) ; nous nous bornerons donc à rechercher l'une de ces dérivées, celle de y par exemple.

14. Cas d'une fonction explicite. — Règles préliminaires. — Supposons d'abord que la fonction y soit explicite, c'est-à-dire que de la relation

on sache tirer la valeur de y

l""* règle ou règle des fonctions de fonctions, — Soit y fonction explicite de u^ et ti fonction explicite de t,

y se trouve alors fonction de x par l'intermédiaire de la fonction w, ce que Ton exprime en disant que y est fonction de fonction.

Donnons à x Taccroissement différentiel dx : il en résultera pour u l'accroissement du et pour y l'accroissement correspondant dy, et l'on a l'identité

dx du dx'

Ce résultat s'exprime en disant que la dérivée de y par rapport à X s'obtient en faisant le produit de la dérivée de y par rapport à u, par la dérivée de u par rapport à x.

C'est la règle dite des fonctions de fonctions : elle s'étend évidemment sans aucune diflSculté au cas où l'on aurait entre y et X un plus grand nombre de fonctions intermédiaires. Si par exemple on avait

!/=/•(«) u=9(u) t? = tKx),

la dérivée de x serait donnée par

dy dy du dv dx du dv dx*

etc.

2* règle ou règle de la somme. — Supposons que l'expression explicite de y en fonction de x se décompose en une somme de plusieurs termes, u, v, w, qui soient chacun des fonctions de x,

Donnons à x l'accroissement différentiel dx, il en résulte des accroissements du, dv, dw pour u, v, w, et l'accroissement dy de y sera évidemment leur somme

dy =i du -^ dv -\- dw;

divisant par dx :

dy ^ du^ A. — M — dx "" dx dx dx '

Ainsi, la dérivée d'une somme s obtient en faisant la somme des dérivées des termes qui la composent.

Conséquence : dev^ fonctions qui ne diffèrent que par une constante ont même dérivée, la dérivée d'une constante étant évidemment nulle.

3* règle ou règle du produit. — Supposons que la fonction y de X soit formée par le produit de deux autres fonctions, u et v, de x^

y = uv.

Donnons k xnn accroissement dx, il en résulte pour u et v les accroissements du et dv, et l'on a :

y + dy = {u + du) {v + dv) = uu + udv + vdu + dudv,

ou, en retranchant de cette équation la précédente,

dy = udv + vdu + dudv.

Mais le terme dudv, qui est du deuxième ordre, est négligeable à côté d'infiniment petits du premier ordre d'après le principe

fondamental, et Ton a, en divisant par dx Véquation ainsi simplifiée :

dy du . dx>

dx dx dx

Ainsi, la dérivée d'un produit de deux fonctions s'obtient en multipliant par lu seconde fonction la dérivée de la première et en ajoutant à ce terme le produit de la première fonction par la dérivée de la seconde.

Ce résultat peut se mettre sous une autre forme. En divisant les deux membres par y ou uv, on trouve

dy du dv

dx dx dx

Cette simple transformation permet Textension immédiate de la règle précédente au cas d'un nombre quelconque de facteurs. Si, par exemple,

y = UVWy

on a, en considérant d*abord vw comme une seule fonction et appliquant la loi de dérivation démontrée :

dy du d(vw)

^ — l£ i. ^^ y "" u vw '

Mais le dernier terme se calcule à son tour par la même règle, et Ton a :

d\vw) dv dw

dx __ dx dx

vw V w

Donc, enfin,

dy du dv dw

dx ^* , ^-^ dx

y "■ "û" IT 'w'*

et ainsi de suite.

CALCUL DIFFERENTIEL L>

On simplifie assez souvent récriture de ce résultat en y laissant en place des dérivées les différentielles ; on écrit alors :

dy du dv dw y u V w

4* règle ou règle de la puissance. — Supposons que y soit une puissance d'une autre fonction de x :

Si m est entier et positif, ce cas rentre dans le précédent, car

y =:uxuxux u...

d*où

dy du

OU

dy y du « t du

dx u dx dx

Si Texposant est entier et négatif,

on peut écrire

en posant

Alors

or

dy « «c?i?

dx dx

uv= ij

d'où, par la règle du produit,

udv + t?du = 0,

c*est-à dire :

du = du = — -5 du,

etj par suite,

dy -. du

Enfin, si m est fractionnaire et égal à ^ par exemple, posons

D'après les règles précédentes :

dz ^ t du

égalant ces deux valeurs, on trouve

dx g dx

On peut donc énoncer cette règle générale :

La dérivée de la puissance d'une fonction s^obtient en multipliant la dérivée de cette fonction par Vexposant de sa puissance et pa/i^ la fonction elle-même élevée à une puissance d'une unité moindre.

5° règle ou règle du quotient. — Soit une fonction y formée par le quotient de deux autres fonctions u ei v :

On a alors

d'où, par la règle du produit :

do . dy du

et, par suite,

ou, si Ton préfère,

dy du dv dx ^ dx dx

du dv dy dx dx

dx ~" t3« '

résultat qui s* énonce sans difficulté.

15. Applieatlon des rèsles précédenteti A la déri< vation des ffonctlonfli simples.

1* Fonctions algébriques :

y = œ; la dérivée s'obtient directement: on a évidemment

dx ^' ij^=af"^ la règle de la puissance donne

— — =r mx"* ', dx

y = 00?" ; la règle du produit donne

--2 = amx"»-*, dx

y = un polynôme entier de la forme a^a?* + a^^"*" + . . . ;

la règle de la somme donne sans difficulté

^ = a^mx*-* +a^(m — l)x"«-« +...

y = le quotient de deux polynômes entiers = ??;

la règle du quotient donne

dy ^ dx dx

dx" Q* *

et Ton sait former les dérivées des polynômes entiers P et Q.

j/= la puissance entière ou fractionnaire, positive ou négative d'un polynôme entier = (P)* ; la dérivée s'obtiendra par la règle de la puissance,

La question de la dérivation se trouve ainsi complètement résolue pour toute fonction algébrique, car une pareille fonction se ramènera toujours sans difficulté à l'un des types précédents.

2** Fonctions transcendantes :

a. Fonctions trigonométriques directes.

y = sinx\ la dérivée s'obtient directement : on a

dy = sin (x + dx) — sin x,

= sin X cos dx -h sin dx cos x — sin x, dy sîndx

dx dx

cosx

/\ — cosdxX

sind^uT Mais, ainsi qu'on l'a vu en trigonométrie, — ^ — tend vers

l'unité.

1 ~"~ oo^dûP

D'autre part, d'après une remarque faite (3), -z '- tend

aci/

vers zéro.

Donc

dy 5;-C08x,

y=iCOSX; on a :

C08X = sin (- — xj

On applique la règle de fonctions de fonctions : on pose

d'où

et comme