Intégrales déflnlea. — Si l'on veut que l'intégrale
supposée réelle représente l'aire de la courbe y = ^{x) à partir J'une ordonnée aa', elle doit s'annuler pour x = a, ce qui détermine la constante c par la condition
J'ofi
Si l'on veut arrêter l'aire ^'
■i une autre ordonnée bb', on 'levra faire x ^ b dans la valeur générale, et l'on trouvera
pour l'expression de l'aire ombrée aa'bb'.
L'intégrale ainsi limitée prend le nom d'intégrale définii : on lii note de la manière suivante :
J^ 9{x] dx = [*(ïi]; = * (6) - * (a)
L'intervalle ab s'appelle le champ d'intégration.
338 COURS DK CALCUL DlFl ERKNTIEL ET LMÉCRAL
S4S. Ob«ervatlon«i s^néralcs «lur les iotégrale» définies et non déflnleei. — D'après ce que Ton vient de voir. les seules différences entre une intégrale définie et une intégral^ qui ne Test pas sont les suivantes :
1** Dans Tintégrale non définie, la limite inférieure d'intégration n'étant pas précisée, on représente par une corhtante arbitraire les variations dans la valeur de l'intégrale qm peuvent résulter du changement de l'ordonnée initiale.
2** Dans l'intégrale non définie, en désigne par une même lettre. X par exemple, la limite supérieure de l'intégration et la variable' qui se meut dans le champ d'intégration jusqu'à cette liniit'' supérieure et relativement à laquelle on intègre.
L'intégrale non définie n'est donc, à proprement parler, qu'un cas particulier de l'intégrale définie, et elle peut toujours mramener à cette dernière forme. Ainsi, par exemple, au lieu df
on peut écrire :
en laissant la limite a arbitraire, ou bien encore
*(x) + c=j^%(Ç)dÇ,
en fixant la limite inférieure et conservant la constante arbitraire» . Gela posé, une intégrale définie telle que
Ja ^W
dx
est une fonction des limites a et ôd'abord, de la fonction ç ensuite. et en particulier des paramètres arbitraires que peut renfermer cette fonction <p. On conçoit ainsi que le problème de l'intégration puisse conduire à la définition de fonctions nouvelles.
Par exemple, si lès transcendantes élémentaires n'étaient pa^ connues, les intégrales
CALCUL IXTECHAL 339
pourraient servir i\ la définition des fonctions de x :
V = arc sin x.
Dans ces deux exemples, la fonction ainsi déterminée dépend lie la limite supérieure de l'intégration.
Au contraire, l'intégrale
que nous étudierons plus loin et qui sert à définir une transcendante nouvelle fournit cette transcendante comme fonction du
paramètre n qui entre dans la fonction sous le signe
Il est à remarquer d'ailleurs que ces deux cas peuvent aisément se ramener Tun à l'autre et qu'une intégrale renfermant •les variables dans ses limites peut toujours être remplacée par une intégrale égale où ces variables ont disparu des limites pour se retrouver comme paramètres dans la différentielle à intégrer.
Soit, par exemple, l'intégrale
jy{x)dx.
Si Ton pose
d'où
^t si Ton substitue à a? et à dx ces valeurs, les limites nouvelles
3» œiJUS UK CALCUL UIKKKKKXTIEL ET LNThXKAL i
lie l'intégration seront zéro et l'unité, et l'intégrale proposée liourra être remplacée par la suivante ;
(P—)/Vi' + 0-")!/]rfy.
dont les limites sont constantes.
Appliquons par exemple une transformation de cq genre : l'intégrale
ï=i+(i-iiï,
nous trouverons :
" j, l+(Jt-lli
240. Valeur approchée d'une Intégrale définie. Théorème de la moyenne* — Considi^rons l'inté^'i'ale dcjjliif
et désignons par M et par m la plus grande et In plus peiil'' valeur que pitnu''
JT <f{x) dans le clianip
d'intégration. Il est visible que si l'un substitue à e (j-) son maximum M, l'iuiégrale se trouve auf nientée, puisque chacun de ses élénaenls est agrandi : donc
f\9{x)dx< f^i
Hdx,
CAI.CUf, INTKGRAr, 3H
j\(x)dx<yt(b-a).
Cette inégalité exprime que l'aire ombrt'o est plus petite que le rectangle aVQb.
On reconnaît de mùme sans difficulté qiio l'%lx}dx>m{b-a),
OU en d'autres termes que l'aire ombrée est plus grande que le rectangle apqb.
Donc enlîn la valeur de l'intégrale doit être égale ii
|i étant une quantité intermédiaire entre M et m {').
Supposons maintenant que ^[x] soit multiplie sou» le signe (l'intégration par une autre fonction f{.r) qui reste finie et constamment positive depuis a jusqu'à b ; le raisonnement précédent sera encore applicable, puisqu'on aura toujours pour chaque élément de l'intégrale
mf{x]dx<^(x}f{x)dx < Hf{x)dx,
La valeur de cette intégrale sera donc égale à f. fV|.ï) dx, |i étant une quantité comprise entre m et M,
l'I Le cas où l'orilonnêe miaiiniim min' serait négative n'otTro aucune difTil'ullé et conduit aux roèmcx inégalités, si Ton observe <)ue les aires ï^ituées aiiilc^sous de l'axe des x doivent être comptées négalLvement.
3i2 COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTÉGRAL
S50. Application à la démonstration d^un ^Im^orème mur riutési*atlon des séries. — Gomme applicatiou
de la formule que nous venons d'établir, nous démontrerons 1»/ théorème suivant :
Si les termes de la série
sont des fonctions continues d'une variable œ, si cette série est convergente pour toutes les valeurs de j* comprises entre Jr^et j^,. et si Ton désigne par /^^rjla limite vers laquelle elle converir«=?. la série
J^^x (*x nx
Xq t/ Jq c/ Jq
sera aussi convergente pour les valeurs de x comprises entre ,r
et x^ et elle aura pour somme l'intégrale / f'.r)dx.
En effet, pour toute valeur de ;r comprise entre x^ et ^j, on a par hypothèse :
(1) f{x) = xiq + «, + Ua 4- ... + «n-i 4- r,
nj
)\ désignant le reste de la série convergente, c'est-à-dire une quantité, fonction de j*, qui tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment. On aura donc pour cette somme de termes en nombre fini :
(2) / f{x) dx = / Uq dx -\- I n^ dx 4- .,. + / u„, dx 4- f r^ </jc,
c Xq j Xq J Xq J Xq tJ Xq
et en désignant par {jl une quantité comprise entre la plus petite ot la plus grande valeur de r„, le dernier terme du second membre pourra être remplacé par
Mais i\ s'annulant pour toute valeur de x comprise entre x ei T, lorsque n tend vers l'infini, il en est évidemment de même de ;x, donc, le reste de la série (2) s'annulant, cette série est convergente, et l'intégrale
f'fix) d
Il représente bien la somme, comme nous Tavions annoncé. 2S4 . Ca0 oii la fbnctloii sous le si^n^^ / devient
/ devi
infinie dans le ehamp d'intéf^ration. — Supposons que
ilans Tintégrale définie
dx
la fonction fix) devienne infinie pour une seule valeur a de rr comprise entre a et b : /*(.r) pourra se mettre sous la forme
rw = .. ..
f^n désignant par (p(j-) une fonction qui tend vers une valeur finie <*t déterminée A, lorsque x tend vers la valeur a (§ 125).
Considérons un intervalle, de c à (a — e), ne comprenant pas la valeur a. Puisque (^[x) tend vers la valeur finie A lorsque x tend vers a, on pourra toujours prendre c assez rapproché de a et cassez petit pour que, dans Tintervalle considéré, ç (^r) conserve une valeur finie. Soit alors jjl une valeur comprise entre le maximum et le minimum de ç {x) dans cet intervalle, on aura, vV après le théorème de la moyenne :
f{x) dx = / ; ,. = |x / ;
intégration donne, pourX=- l ot pour X 1
344 COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAI-
/*«-« dx __ 1 r i p"' __ |A f__\ \___\
^Jc F - *)' "" '^ 1 - ^ L(-^ - «)"^-* J. ^ 1 - >^ \(~ ^ï'-' {<' - *)^- V
Le premier de ces résultats tend vers rinfini lorsque e teii*!
vers zéro, et il en est de même du second si X est supérieur .!
l'unité. Au contraire, si X est inférieur à 1, la quantité ,^^
a pour limite zéro, et l'on peut affirmer alors que l'intégrale
rf{x)dx
a une valeur finie.
On reconnaîtra de même que, dans ce dernier cas, Tintégraic
dx,
limitée supérieurement à une valeur d déterminée de la mênn^ manière que c, a aussi une valeur finie. Donc enfin, toutes ]o> fois que X < 1 , l'intégrale
aura une valeur finie, puisqu'elle peut s'écrire
^V(.v)(/.v +J^^r(x) dx +y^ f(x)dx +y^ f{x) d:
et que chacune des intégrales dans lesquelles elle se décompose a une valeur finie.
Si f{x) devenait infini pour d'autres valeurs de x comprises entre a et b, on sectionnerait convenablement le champ d'intégration, et on répéterait le raisonnement précédent dans chaque intervalle.
Une fonction étant mise sous la forme, ,,, on dit quelque-
[X — (Xf
fois que X est V ordre de son infini pour x = ol. On pourra donc
a une valeur finie toutes les fois que f(x) conserve une valeur finie dans le champ d'intégration ou que l'ordre des infinis par lesquels il passe est inférieur à Vunité.
«SS2. ra« où le« limites de Pintéf^ratioii deviennent ioflnies. — Considérons T intégrale définie
/ fix) f^x
et supposons que b tende vers Tinfini ; la valeur de /'(.r) pourra se mettre sous la forme
en déterminant l'exposant de manière à ce'que (p{j') tende vers une limite finie A lorsque x tendra vers Tinfini.
On aura ators, en choisissant un intervalle cb dans lequel la fonction 9 reste finie et désignant par ji. une valeur intermédiaire entre son maximum et son minimum dans cet intervalle
et la valeur de cette dernière intégrale, sera égale à
OU à :
selon que oc sera égal à l'unité ou différent de 1 . Sous cette dernière forme, on voit immédiatement que si 0
vers
une limite finie à la condition que a soit supérieur à runit*'. et il en sera de même évidemment pour l'intégrale entre a et ''. puisque
£ /-(.T) dx = £' fix) dx +£ f{x) dx-
à la condition bien entendu que f{x) ne rende pas rintégral»infinie pour des valeurs finies de x.
Ainsi, une intégrale définie dont le champ d'intégration es\ étendu jusqud V infini conserve une valeur finie^ à la condition que^ pour x infiniment grande la fonction soumise à r intégration soit infiniment petite d'ordre supérieur au premier,
2S3. Application h quelques ex:eniple0. — Appliquons les théorèmes précédents à la recherche des conditiou^ nécessaires pour que l'intégrale
ait une valeur finie, l'exposant p étant supposé positif.
Il faut d'abord, d'après le second théorème, que pourîr = ''-^^ la quantité
XP i 1/1
ou
1 + X xi-p I 1 , ^
soit infiniment petite d'ordre supérieur au premier, ce qui exige que p soit inférieur à 1 .
Dans ce cas, pour iC = o, cette quantité devient infinie, mai? l'ordre de son infini étant évidemment 1 — jo, la condition imposée par le premier théorème se trouve biea satisfaite.
Considérons encore l'intégrale
+*dx -l le*'
CALCLL IXTKCRAL Si-
la fonction -, devenant infinie pour x^o et l'ordre de son infini
étant 2, la valeur de l'intêjjrale n'est pas finie. Effectivement, en opérant l'intégration , on trouve :
résultat inadmissible, puis- (|ue la courbe
ilont l'intégrale représente la surface entre les limites — 1 et + 1, est située au-dessus de l'axe OX et que tous les éléments de l'aire étant positifs, leur somme ne saurait être (-{^ale à une quantité né^ative-
