niirérentlntlon sou« le elgue /. Une intégrale

lié finie

ili'pend, comme nous l'avons vu, des limites a, h et des paramètres que peut renfermer la fonction ç. Supposons, par exemple, que cette fonction renferme un paramètre a, on aura

t't par suite, d'apr.'-s la règle de différentiation totale, la différentielle totale de cette intégrale sera

lorsque o, 6 et a varient.

les aux rectangles ombrés de la figure (en négligeant des portion de surface infiniment petites d'ordre supérieur au premier), donc

db= ■\ ç(6)d6

iL^djOU p

Quant à la troisième différentielle partielle, elle peut s'évaluer

facilement.

Elle représente, eu effet , Taccroissement de surface produit par le changement de 2 en a + da, c'est-à-dire par le passage de la courk' C à la courbe C.

Construisons la courbe r, dont Tordonnée infiniment petite ;*/>

représente en chaque point la différence mm' ou -^ da entre les

ordonnées de C et de G'; l'aire de cette courbe sera précisément égale à l'accroissement cherché, et l'on trouve ainsi

— - da = I nnvix dx = / ( -^ da J djc = da / -r- dxdx Ja Ja \da / Ja dx

On voit donc que pour obtenir la différentielle de Vintégrale \ larsque le paramètre x varie^ il suffit de multiplier par da tintégrale primitive dérivée par rapport au paramètre a sous le

igné 1,

signe

Telle est la règle que nous nous proposions d'étabhr.

Elle fournit d'intéressantes applications et conduit très simplement à l'évaluation d'intégrales définies qu'il pourrait être très difficile de calculer autrement.

Prenons, par exemple, l'intégrale définie :

Tx-' dx = (-V=i,

Jo \a /o «

CALCUL INTÉGRAL 3i9

on (lifFérentiant par rapport à a, on trouve :

et en continuant à appliquer la règle, on obtiendrait la valeur d'intégrales définies encore plus compliquées.

2SS. Intésrattoii 0OU0 le sisne I. — Reprenons actuellement l'intégrale

OÙ les limites a et i sont supposées indépendantes de a (et nous avons vu (S 2418) qu'une transformation très simple pouvait faire disparaître a de ces limites dans le cas où ce paramètre y figurerait primitivement).

V étant fonction de a 6 et a, on peut se proposer de chercher l'intégrale

Mais, d'après la règle précédente, les limites a^ et a, étant î*upposées fixes, on a, lorsque b varie :

<'est-à-dire, en mettant a; à la place de b,

^-J^ ,(x,.) d., d'où, en intégrant entre les limites a et 6 par rapport à x

On voit donc que pour obtenir Vintégrale entre les limites \ et «j de Vintégrale V lorsque le paramètre a varie^ il suffit de

prise relativement à a entre les limites données. Cette règle, sur laquelle nous aurons occasion de revenir à

propos (lu calcul des surfaces et des volumes, fournit, comme la précédente, de très intéressantes applications pour révaliiation des intégrales définies.

Reprenons, par exemple, l'intégrale

et au lieu de la différentier par rapport à a, prenons-en l'int* grale relativement à cette lettre, entre les limites a et ^, non trouverons :

; d.x = Lb — l.a=. L -■

250. Intégrale» multiples — La règle que nous venons d'établir en dernier lieu nous conduit naturellement à l'étude des intégrales multiples.

Soit

une intégrale indéfinie : on pourra se proposer de trouver riiitt.'grale nouvelle

j o, (x) dx

qu'on notera naturellement :

?t (^) = / <^xj ? i^) ^^^>

de môme, on pourra chercher l'intégrale de la différenliellr (f^{x)dx formée avec cette nouvelle intégrale, et ainsi de suite: on arrivera ainsi à Yintégrale multiple

i dx i dx i dx... j dx I 9{x)dx

qu'on notera plus simplement

OU quelquefois encore

[x) dx'

Cette intégrale pourra être augmentée d'ailleurs d'un polv-

CALCUL INTÉGRAL 3:i«

nôine entier P de degré n — 1 en a: dont les coefficients seront des constantes arbitraires et qui proviendra de Tintégration sucressive des constantes qui figurent implicitement dans chaque* résultat d'intégration.

Supposons maintenant que la fonction 9 (.r) dont on a à faire la quadrature renferme en dehors de la lettre x une autre lettre?/, considérée comme une constante dans cette première intégration : cette lettre subsistera évidenmient dans l'intégrale, et Ton aura, par exemple :

Mais cette nouvelle fonction ç, pourra être intégrée par rapport à la lettre y qu'elle renferme et conduira ainsi à une nouvelle fonction 0,, telle que :

9iix9y) = / <?4 (x,î/) (/î/ = / dyj <f(x,tj)dx.

La fonction ©„ d'après la manière même dont elle a été obtenue, devra être telle que sa dérivée seconde mixte,

dx.dy

scât égale à 9 {x,}/). Mais alors

dydx

est aussi égal à 9(t,j/) puisque l'ordre des différentiations (S 31) n'influe pas sur le résultat, et par suite on aura également, aux constantes près :

9t{x,y) = / dxj ^{x,y)dy.

On pourra donc écrire, sans tenir compte de Tordre des intégrations,

?« {X, y) = / J? (x-y) dx dy C).

(') Ce résultat est bien conforme à celui qui a été établi au paragraphe précédent au sujet des intégrales définies : on doit observer aussi, suivant une remarque déjà faite (§ 233), que les lettres x et y n'ont pas la même signification dans les deux membres de Téquation ci-dessus.

Généralisant ce résultat, on arrivera à Texpression

*(x,î/,r,u,u)= / / / |... / (p(x,y,r,u,u)djc'dj/«dc''du*du' + P,

qui définit la fonction $ obtenue en intégrant la fonction ç p fois par rapport î\ o-, q fois par rapport à y..., etc., etc., quel que soit d'ailleurs l'ordie des intégrations.

Il est à remarquer seulement que la quantité P à ajouter ne sera pas, dans le cas actuel, une constante, mais une fonctiou arbitraire de x, y, z, u^v, assujettie à la seule condition que :

dxPdy'dFïïÛMÎ?'

Il arrive généralement dans les intégrations multiples d'une fonction que les limites d une première intégration introduisent précisément dans la fonction les lettres par rapport auxquelles les nouvelles intégrations doivent s'effectuer. L'étude des intégrales multiples ainsi définies se présentera naturellement à propos de la quadrature des surfaces et de la cubature des volumes, et les considérations géométriques qui l'accompagneront alors contribueront beaucoup à Télucider.

INTÉGRATIOiN GÉOMÉTRIQUE

35*7. Définition. — Etant donnée une fonction géométrique U d'une variable géométriques, nous avons défini (SUCjla

dérivée iv de cette fonction. Cette tr'^ dérivée est elle-même une fonction

géométrique de v, et la relation :

^ dU

qui détermine sa valeur exprime que si, à partir d'une situation donnée v^ on attribue une variation géométrique différentielle vv ou dv à la variable, la fonction U recevra à partir de sâ situation correspondante U un accroissement UU' ou dU, dont la

CALCUL INTÉCRAL

valeur vk s'obtieat en formant sur du un trian^^le vv'k directeinent semblable à celui que la dérivée u fait avec Tunité géométrique OH.

Si donc la fonction u était connue, on pourrait, partant d'une situation initiale v^ de i' et attribuant à cotte variable une série continue d'accroissements, qui

l'amèneraient en v\^v\,v' ^...

par exemple, construire la série correspondante des accroissements que subirait la fonction inconnue U, et eu portant ces accroissemeuts à la suite les uns des autres à partir d'une origine arbitraire ^2 ou obtiendrait les polygones infinitésimaux. U,U;u;Uo ... ,

L\UiU^UV..., UjU'iL'ÏU'i'... représentant une même courbe transportée parallèlement à elle-même en un point quelconque^ «lu plan, ou, si Ton préfère, une même fonction U augmenté(* d'une constante géométrique arbitraire.

Cette fonction U, avec la constante arbitraire qui peut lui être ajoutée, est la fonction primitive de u et la relation entre U et xi s'exprime, comme dans l'algèbre ordinaire, en écrivant :

L' = / udi:

La valeur de la constante géométrique C se trouve déterminée par la valeur initiale attribuée à U.

L'analogie avec les fonctions algébriques ordinaires peut jusqu'ici sembler complète, mais une différence profonde apparaît <iès qu'on cherche à définir l'intégrale générale dont nous venons d'expliquer la génération.

En effet, tandis que les quantités algébriques ordinaires se meuvent en croissant ou d('*croissant sur une seule échelle de grandeurs, les variables et les fonctions géométriques peuvent î^e déplacer à partir d'une situation dans une infinité de directions, c'est-à-dire d'une infinité de manières.

COUUS DE CALCDI. DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

Supposons par exemple que la variable v se transportai

de Oi\ en Oi\ Tintégrale U pasde la valeur 0L\ à la valeur OU,, rintt^^rale limitée à ce parouiirsera la différence entre sa valfM.i finale et sa valeur initiale. c'<'-ià-dire la corde I\r, de la courir décrite par U. Maisrienne prouv»

à priori que si la variable s^Huit transportée de t\ en r, par \va

autre chemin, l'intégrale partant de U^ serait arrivée à la mêni»

Taleur finale.

Ainsi, pour de'^mV l'intégrale U = ludv, il semble nécess;

non seulement de fixer les valeurs limites v^ et i\ entre lesquelles se meut la variable, mais de préciser en outre le chemin (p' suivra cette variable pour passer de la valeur t\ à la valeur » . ou autrement dit la courbe d' intégration que Ton fait parcourir à v.

Nous démontrerons à ce sujet l'important théorème suivant * :

lire

25S. Théorème. — Si Von fait suivre à une variable géomi- Irique deux courbes v^mVj, v^nv,, pour la faire passer de la situa-

lion initiale v^ à la situation finale v,. 1* r intégrale définie

= / udv.

prise de v^ à v, suivaiit ces deux parcours aura la même valeur à la condition que la dérivée u reste finie^ continue et bien déte^^inît

{*) Nous réserverons géDéralement dans la suite la notation

I udv fOur représenter Vinlégi^Ble recliligne de u^ à t?,.

pour toute valeur de v prise à Vintérieur du contour fermé v^mv nv ce qui revient à admettre que ce contour ne renferme pour la fonction u aucun point critique,

Lemme. — Remarquons d'abord que si la variable v re(:oit divers accroissements

lUfférentiels vv,vv\vv" à partir d'une valeur donnée, la fonction U recevra des accroissements UU',UU",UU'" qui seront proportionnels aux précédents et feront respectivement avec eux le même angle, pourvu toutefois que la dérivée ait une valeur finie et bien déterminée ou point considéré [% IIO).

Si Ton donne en particulier à la variable les accroissements :

vu*

ou dx parallèle à Taxe 0\, y ou idy parallèle à Taxe OY,

ou dx + idy^

somme géométrique des précédents, la fonction U prendra les accroissements correspondants :

UUs ou udXj UUy ou uidy^ et UU' ou u(dx + idy)

= udx + uidy