UU, + UU

Ainsi l'accroissement de la fonction produit par un déplacement vv' de la variable est la somme des accroissements que produiraient les déplacements vv^ et vv^^ composantes de vv.

Mais en raison de la continuité admise pour la dérivée w, cette

3oG

dérivée, si l'on transporte la variable de v en v„ doit subir \m^ variation infinitésimale e, et par suite le déplacement r,v ^:vil à idy et attribué à la variable à partir de r,, produira pour h font tion un déplacement

qu'on pourra con Tondre avec uidy en négligeant les infininiem petits d*ordre supérieur, et Ton peut dire en conséquence, hi substituant v^ à vv^ dans le résultat précédent, que raccroi<<''ment de la fonction lorsque v s'accroît de vv est la somme «!• ceux qu'elle subit lorsque i' se déplace de v en v„ d'abord, et li». t\. en V ensuite.

En d'autres termes la variation de la fonction est la mm*lorsque la variable suit la droite élémentaire vv' ou la liant brisée élémentaire vv,v'.

Supposons actuellement que la variable prenne un déiilac^-

ment fini tel qu-' v^m\\^ auquel n*pondepourlafoU'tion U un déjjlacement U^MUjpar

exemple.

Nous pouvons d'abord, d'après le lemme précédent, et sans iiiodîner en neu la valeur finale de U, décomposer en éléments infinitésimaux

1234.... la courbe v^mv^ et substituer i^ au chemin curviligne v^l 2 3. . . t\ le chemin en escalier v^Vi 2'23'3....Vj obtenu -^-j en menant des parallèles au$ axes par 4»] les points v^, 1 , 2, 3 . . . .

Nous pouvons ensuite déplacer oo dernier chemin en formant une séri«' de rectangles infinitésimaux tels que i'12'2"par exemple et substituant au contour ri2' le contour

CALCUL INTKGRAL

V'I'i' qui lui est équivalent d'après le lemme. En opf^rant ainsi 1»^ proche en proche, nous transporterons peu à pou la ligne d'iutt'^ration de la courbe t\mi\ jusqu'à la courbe v^n}\ avec laquelle MOUS ramènerons finalement à coïncider. En d'autres ternies

nous transformerons I

'intégrale / uc

udv dans 1

'intégrale / tidv,

<ans on modifier la valeur, ce qui démontre le théorème.

2iS^O. Corollaire. — Une intégrale géométrique 1 udv prise

V long d'un contour fermé 'piclcnnque (L) est toujours nulle^ pourvu que la fonction y u ne renferme pas de points critiques pour les valeurs de v prises à r intérieur de ce contour.

En d'autres termes lorsque la variable v en suivant le <<)ntour (L) est revenue à son

point de départ v^, l'intégrale U, après avoir suivi un certain «'«mtour (M) également fermé, sera revenue elle aussi à son point <1(* départ U^.

Ce corollaire résulte immédiatement du thc'^orème précédent ^*n remarquant :

1° Qu'une intégrale prise le long d'une hgne telle v^mpi\ est ^^videmment la somme des intégrales prises le long des parties 1^^, mp^ p\\ 'le cette ligné.

2* Qu'une intégrale prise le long «l'une ligne v^u, dans le sens x\x\ est ''gale et de signe contraire à l'inté-

l^rale prise le long de cette même ligne mais de i\ en r^, c'està-dire en sens inverse, pourvu toutefois que la fonction, si elle ^est pas monodrome^ reçoive dans les deux parcours la même détermination.

358 COL'BS DK CAIXUF, DIFFIÎRENTIKI, ET INTÉGRAI.

En effet, le théorème démontré permet d'écrire

et d'après les remarques précédentes, il en résulte

Jromr, J t„r„ J\.

200, Observation aiir le sene daua letpiel tm ___ contours sont décrits. — Si la courf-'

qui forme un rontour formé se coupe ellemême en différents points, le contour ^i' décompose naturellement en contovi:simplcs (tels que abca, adea dans l'e-wniplf de la figure ci-jointe), et pour ces contour^ simples, le sens dans lequel ils sont parcourus, se précise aisément au moyen des aires que ces contours limitent.

On conviendra d'appeler sens direct, le sens indiqué par h flùche et tel qu'un spectateur situé au-dessus du plan et parcourant le contour dans ce sens, laisserair " toujours l'aire ombrée sur sa gauclie: j

le sens opposé sera dit nUrogradf. '

A ces définitions répondent les notations suivantes , J

fréquemment employées pour représenter l'intégrale direcie ei l'intégrale rétrograde le long d'un contour simple (L).

2G t . Influence des paints critiques situé* diutt rint^-rleiir d'un contour «l'Intégration t contours élémentaires. — Imaginons actnelleiiient un contour simpl»' vjmv^ ou (li) renfermant un certain nombre de poinis critiques do u, a Qt b par exemple. Mous pourrons appliquer le corollaire du $ 3S>9 fi un contour fermé tel que i\lmv\ npqu", rsJi"„,

CALCUL inte(;ral

ubi«»nu en entourant chacun des points a et 6 d*un circuit as^^ez petit pour ne renfermer aucun autre point critique ^ians son intc^rieur. Si nous supposons actuellement que ces circuits soient infiniment petits et tendent à se fermer,

<iue par suite les points n et 7, r et t deviennent infiniment voisins, qu'en même temps les points v\ et v'\ se rapprochent indéfiniment de v\, et qu'enfin les lignes qui joignent nqr et t à v\v\ et x\ se confondent à la limite avec les droites ^\^j ^\^y o'^ ^'^ura finalement

OU plus simplement

('u désignant par

les intéc:rales relatives aux con-

tours t\r/pni\^ "^'o^srv^ qui sont dits contours élémentaires des points critiques a et b relatifs au point v^. Ainsi, H7ie intégrale inhe à partir (ïun point \^, le long d'un contour fermé renfermant un certain nombre de points critiques, est égale à la somme des intégrales prises le long des contours élémentaires correspondants de ces points critiques.

SGS. JBvaluation deMntésriile relative au eos^totir élémentaire cFiin point eritique. — L'intégrale d'un coutour élémentaire se compose de deux intégrales rectilignes (*)

tidVf I lidv , et de l'intégrale curviligne

c/ qp» J a v-'

qu'on peut supposer prise le long d'un cercle infiniment petit d** centre a.

Si la fonction u est monodrome autour du point a, les deux iiitt^grales rectilignes se détruisent d'après une remarque précédente.

Si la fonction u n'est pas monodrome, il n'en sera généralement plus de môme, parce que la fonction aura changé de détermination par la rotation de la variable autour du point a. Dans ce cas, si Ton désigne par (u)^ et (îi), les deux déterminations de u avant et après la rotation, la somme des intégrales rectilignes aura pour valeur :

lim. \[(u\-'[u)^]di:,

J Vq

le point q étant infiniment voisin de a.

Quant à l'intégrale circulaire 1 ^ , posons pour l'évaluer

(f? — a) = re*'.

a désignant le rayon vecteur, du point a; nous en déduirons [r étant constant)

(•) Si ces intégrations rectilignes rencontraient d'autres points critiques sur leur parcours, on les éviterait en les contournant par une courbe inGnimeDl petite, mais on devrait tenir compte avec le plus grand soin de Tinfluence que ces détours pourraient avoir sur les résultiils. On se rendra bien compte de cette influence par Texemplc des fonctions elliptiques que nous traiterons plus loin.

CALCUL INTÉGRAL 36i

ot par conséquent

-a) ?<dO,

I ndv = i j [v

J fl' J J 0

Si le produit {i) — a)u a une limite finie A lorsque i? tend vers a, cette limite prend le nom de résida de la fonction m, et Ion a .

iudvz=i /(A + £)^^ = 2'ïïA,

on nt'^glij^eant à côté de A Tinfiniment petit e.

Si la limite de {v — a)a est nulle, le résidu de la fonction se réduit à zéro, et il en est de même de l'intégrale circulaire.

Enfin, si le produit (t; — a)u a une limite infinie, on considère encore la quantité

qui était égale à A dans le cas précèdent, comme représentant le résidu de la fonction, mais ce résidu doit se calculer d'une manière différente.

Si la fonction u est continue et monodrome, par exemple, nous avoas vu (§ 1S5) qu'elle pouvait être mise sous la forme

V'^'j désignant une fonction qui reste finie pour v=a et A.,, A,... A^ des constantes. Son résidu se réduit, dans ce cas, î'i celui du premier terme, c*est-à-dire à A,, car le résidu, <l'une somme est évidemment égal à la somme des résidus de ^es parties, celui de ^hiv) est nul, et celui d'un terme de la forme

'*ù /) est un entier supérieur à 1, se réduit également à zéro. IWns, en effet, v — a = re''et nous trouverons en effectuant 1 intégration circulaire :

Ap dv

de =

quantité nulle, bien que r soit infiniment petit, parce que la parenthèse est rigoureusement nulle.

SG3. Corollaire I. — Valeur de rintés**nle d^imne fonetion iiionodrome le long d'un eoiitour feram^. —

L'intégrale d'une fonction monodromof) prise dans le sens direct le long d'un contour fermé renfermant un certain nombre de points critiques a^aji^. . . est égale à

SA, représentant la somme des résidus de la fonction relatifs à tous les points critiques situés à l'intérieur du contour (**).

Il est bien entendu d'ailleurs que si le contour fermé que Ton

considère au lieu de tourner une seule fois autour d'un point critique décrit plusieurs circonvolutions autour de ce point, le terme 2zJA relatif à ce point

doit être multiplié par un nombre n égal à celui de ce?

circonvolutions (les circonvolutions étant comptées négativement ou positivement, selon qu'elles s'effectuent autour du point a dans le sens des aiguilles d*une montre ou en sens inverse). On évaluera toujours facilement le nombre n en me-

(*) 11 suffit bien entendu que la fonction soit monodrome à l'intérieur du contour considéré.

(*•) Le résidu d'une fonction relatif à un point ordinaire étant nul, on peut encore énoncer ce résultat sous une forme plus générale en disant que Tînlégrale d'une fonction monodrome le long d'un contour fermé est égale au produit de 2:ti par la somme des résidus de la fonction pour tous les points de l'aire que ce contour limite.

CALCLI. INTEGRAL

naiit par le point a une ligne droite quelconque qui coupera lo contour en un certain nombre de points d'un même côté de a : on comptera positivement les points où cette droite est traversée

«le droite à gauche, négativement ceux où elle est traversée de i^auche à droite, et la différence de ces deux nombres sera égale à n.

SG4. Corollaire II. —Valeur principale d^ne in^éi^ale. — Si l'on déplace graduellement la courbe d'intégration ^\m\\ d'une fonction monodrome de manière l'amener dans les positions successives %n?',, v^pi\, ^\Q^\ V^^ exemple, et si dans ces déplacements elle rencontre un point critique a,

l'intégrale définie U^U, différence des valeurs extrêmes de U reste constante jusqu'au moment où la courbe d'intégration vient à passer par le point a. Elle subit alors un accroissement brusque égal à 2xiA,en désignant par A le résidu de u au point a. Cet accroissement transporte de U^ en U', la valeur finale de U, et l'intégrale définie devient alors L\U',, puis elle reste

:m COUHS DK CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTEGRAL

de nouveau constante lorsque la courbe d'intégration contimi»^ à se déplacer.

Entourons le point a d'un cercle infinitésimal ikjl. Aux cll^^mins v^mi\, ^V'^^'t suivis par la variable correspondront, pour Tintégrale, des chemins U^MU^ L'oNUj par exemple.

Le chemin i\iliji\ donnera pour U une courbe V^z correspondant au parcours i\i, une droite aa,, égale à — rJX et provenant de la demi circonférence ikj; enfin une courbe 2^ï^ résultant du déplacement ^i^j. Si Ton passe au chemin vjljv^, on trouvera encore la courbe U^apour le parcours vj, mais la demicirconférence ilj donnera pour U un déplacement + z/A, qui conduira l'intégrale au point (x.\ symétrique de a^ par rapport à 2. A partir de x\ on obtiendra par le déplacement ^r, de v une courbe a'jU'j, qui ne sera que la c.nirbe (^^\]^ transportée parallèlemeul à elle-même.

Les chemins v^pi\, i\qi\ donneront les courbes U^^PU',, L'oOL i

aboutissant en U\.

Au moment où la courbe d'intégration passe au point a, la valeur de l'intégrale est indéterminée. Cauchy appelle valeur principale d'une pareille intégrale la limite vers laquelle tend la somme des intégrales i\i et ji\ lorsque les points / et / se rapprochent indéfiniment de a.

On reconnaît, d'après la discussion précédente, que cette valeur principale est la demi-somme des valeurs prises par l'intégrale définie de part et d'autre du point critique. C'est la grandeur UqU, obtenue en joignant U^ à l'extrémité de la courbe a,Uj transportée parallèlement à ello-méme en alJ,.

SG5. Périodes d^une intén^rale définie. — On voit

d'après ce qui précède que si l'on considère une intégrale

u = / iidCj

définie entre h^s limites t\ et V, comme une fonction F(V) de sa limite supérieure V, cette fonction ne sera pas généralement monodrome et que ses différentes déterminations correspondront aux différentes courbes d'intégration que la variable aura pu suivre.

CALCUL INTKGRAL

Xous démontrerons qu'on peut toujours substituer àlintëgralo êvt^luë© suivant une courbe quelconque l'intc^grale rectiligne correspondante augmentée d'un certain nombre de contours élémentaires.

Soit, par exemple, la courbe d'intégration i\mnpY contournant les points critiques a et b {/Ig, 1\ Imaginons que de petites tiges

cylindriques perpendiculaires au plan soient implantées dans ce plan en chacun de ces points critiques ; imaginons aussi que la courbe d'intégration, remplacée par un fil flexible, ait une de ses extrémités fixée en i\ et qu'on tire en V sur son autre extrémité. I^e fil se serrera autour des obstacles formés pa'r les tiges a et ^ et prendra la situation indiquée {Jîg, 2). Enfin, par une dernière transformation, nous pourrons remplacer les cordons rectilignes

allant de a en 6 et de b en Y par des lignes brisées av^b. b^\^: ^^ d'après le théorème fondamental du § S5S, aucune de ces nv»dificatîons n'influera sur la valeur de l'intégrale U, puisque da:i^ tous ces déplacements la courbe d'intégration ne rencontrera aucun point critique.

On reconnaît ainsi que les différentes déterminations de l'iniégrale U doivent provenir :

1® Du nombre plus ou moins grand de contours élémentain^s qu'on aura fait décrire à v avant de le transporter de ±\ en Y eî des déterminations avec lesquelles ces contours auront étô décrits.

2° De la détermination de u au départ de t^^ pour décrire l'intégrale rectiligue r^Y.

Si la fonction u est monodrome, cette dernière cause de modification disparaît, et les intégrales des contours élémentaires se réduisent d'autre part à

en désignant par A, B... les résidus de u aux points critiques. On aura donc dans ce cas :

«/fo

m et n étant des entiers quelconques.

Les quantités 2içîA, SiriB sont dites les périodes de l'intégrale. En effet, si l'on considère la fonction inverse de U

une même valeur V correspondant à des valeurs de U augmentées de m27c/A, n2xiB, on aura

Y = *(U) = *(U + m 27:iA + n2«tB),

ce qui est la définition même de la périodicité (S 12G}.

Si la. fonction u n'est pas monodrome, les intégrales des contovirs élémentaires auront d'abord, comme on Ta remarqué au S 20SS,des valeurs moins simples, parce que les deux intégrales reetilignes ne s'annuleront généralement pas.

En outre, et pour la même raison, la fonction it aura repris, ^^elo^i les cas, la détermination u^ ou une détermination différente, lorsque la variable v sera revenue en t\ et en repartira l>our parcourir soit un nouveau contour élémentaire, soit la droite r^Y.

Si par exemple la fonction u revient à sa détermination initiale ti^ lorsque la variable V a parcouru m fois le contour a et n fois le contour b,

est une période de l'intégrale. En effet, la même valeur V correspondant à la valeur U augmentée d'un multiple quelconque

/£ { pn I + n j j de cette période,

on a

Au contraire, si la fonction u passe à la détermination u\ lorsque la variable décrit p fois le contour a et ç fois le contour bj l'intégrale rectiligne v^\, calculée pour cette détermination nouvelle, fournira une valeur U' différente de U; l'intégrale deviendra donc

"'+pX+<'X'

(*) On doit avoir soin toutefois de tenir compte dans l^évaluation des inlégraJes I I de la détermination attribuée dans chaque cas à la fonction u. Si cette détermination varie en entraînant avec elle une variation des intégrales, ce n'est plus évidemment ml et n / quUl faut écrire, mais une^

somiie formée avec les différentes valeurs que / et / peuvent

recevoir.

et Ton aura :

^H^) = ^{l^' + pf+qfj.

mais p I + q I ne constituera plus une période, à cause du

Ja Jb

changement de U en U'.

iî66. Application à quelques exemples s double périodicité des fonctions elliptiques. — Appliquons h< considérations précédentes à la détermination des périodes do quelques intégrales simples ;

\(.i) Fonctions monodromes. — 1" Considérons Imtégrale

qui définit la fonction logarithmique et son inverse Vexponentielle.

Le seul point critique que présente la fonction monodrome -

est l'origine t> = o et le résidu [lim.r/(r)] est égal à 1, La période est donc 27û^.

Effectivement l'exponentielle

V = eU = e'^-v» = e'(cosi/ + i sini/)

ne change pas de valeur si l'on augmente U d'un multiple de 2i;e, c'est-à-dire y d'un multiple de 2;:.

2** Soit en second lieu, Imtégrale

Jo l 4- f^

(jui définit Tare tangente et son inverse la tangente*

' 1 La fonction monodrome , .n'a. d'autres points critiques

que V = -f-z et v= — i. Les résidus sont égaux à -s-: en ces deu:x: points, car :

et

On trouve donc une période égale à ±: u. Sfitectivement la fonction

V=tangU

ne change pas de valeur si Ton augmente d'un multiple de r la variable.

(6) Fonctions non tnonodromes. — Prenons comme dernier exemple l'intégrale elliptique

portant sur la fonction géométrique u =

qui

présente quatre points critiques, v = dbl et t; = ±:T et est

susceptible pour chaque valeur de v de deux déterminations (tij et ( — uj égales et de signes contraires, correspondant au signe -fou — du radical.

Évaluons les contours élémentaires décrits du point o comme orig:îne et relatifs aux quatre points critiques, qui se trouvent

distribués sur Taxe des x comme l'indique la figure, puisque 4 est supposé une quantité réelle inférieure à 1 {*). Nous remarquerons d*abord que les limites des produits

étant nulles, les résidus de la fonction sont égaux à zéro. Nous n'aurons donc à évaluer que les intégrales rectilignes. Posons :

(I— u) = re»', (1 + c) = r'e*'', (I — /iu) = r'V^ (1 + /tu) = r^'e»"'';

d'uù

L'intégrale s'écrira

'{rz-'r'V")*

ou plus simplement

7 (rr'r'V")^

en faisant tl = H.

Les arguments 8, 0', 6", 6'", pouvant être augmentés d'un multiple quelconque de 2?:, la valeur de 0 pourra s'accroître d'un multiple arbitraire de t:, fournissant ainsi, suivant que ce multiple sera pair ou impair, les deux déterminations de u égales et désignes contraires que nous avons déjà signalées: Tune de ces déterminations , étant une fois adoptée , la continuité fixe Je* valeurs suivantes de 6 et de w.

(*) Le cas où le module h serait une quantité géométrique se traite d'ailleurs sans difficulté par une analyse tout analogue à celle que nous prè^^Q* ions ici (Voir. Jordan, Cour% d'analyscj t. II, §§ 352 et. suivants). ..

Partons par exemple de u = o avec la détermination -j- 1 de u, correspondant à 8 = r, e" = —z, 6' = 0'" = 0 ou 6 = 0 et décrivons d'abord dans le sens direct le contour élémentaire du point

Désignons par K la valeur limite de l'intégrale rectiligne