l«,) dv ^^__

lorsque e tend vers zéro. Tous

les éléments de cette intégrale

étant des quantités réelles, c'est-à-dire parallèles à OX, il

en sera de même de la limite K à laquelle Lagrange a donné le

nom d'iniégrak complète.

Gela posé, observons que la rotation autour du point + 1 faisant croître de -|-2it l'argument 6 de (1 — t^), augmente de -k la valeur de B, ce qui revient à multiplier par e*' ou — 1 la fonction a et à la faire passer par conséquent de la détermination (nj à la détermination ( — mJ. Le parcours rectiligne au retour donnera donc

et doublera par conséquent le résultat déjà obtenu à l'aller.

D'ailleurs la fonction u étant revenue à l'origine avec la détermination ( — uj, la description d'un second contour élémentaire, décrit autour dn point — 1 cette fois, lui rendra la détermination (Uj) et chacun de ces parcours augmentant de 2 K la valeur de U, cette intégrale admettra 4 K comme première période.

Occupons -nous actuellement du point + t et formons son

contour en évitant le point critique + 1

par deux demi-cir- ^ l 0^.7

conférences tracées comme l'indique la figure.

L'airgument 9 <iui était nul au départ s'augmentera pendant

ce parcours :

de + ^ par la rotation autour de + i à Taller,

de + n par la rotation autour de + -r >

de + ô P^^ ^^ rotation autour de + 1 au retour;

de sorte que la fonction u reviendra au point zéro avec la détermination (ttj) qu'elle avait en le quittant, puisque son argument se sera augmenté de 2ii;.

Il résulte de là, que les deux intégrales rectilignes entre

0 et 1 se détruisent. Entre 1 et -r- au contraire elles s'ajoutent en

se doublant, car l'argument 0 se trouve augmenté de ^ à Tal-

1er et de 3 ^ au retour, ce qui équivaut à un accroissement z. c'est-à-dire à une multiplication par H ou ^— 1 au retour.

Considérons lune de ces dermères intégrales i w, dv par

exemple.

L'argument de la différentielle t^jdt; étant +s, tous les éléments de cette intégrale seront parallèles à OY ; donc il en sera de même de l'intégrale que nous pourrons représenter par fK'. K' désignant une quantité réelle ; c'est-à-dire parallèle à OX.

On obtient ainsi pour U une seconde période 2 iK' (*)•

La considération du point — r conduirait à un résultat identique.

(•) En désignant par iK' Tintégrale / ,/m,,i> /iTThiT^ » ^^ ^"^ '

/dv

La fonction elliptique Y définie par la relation (1) admet donc deux périodes distinctes; Tune 4K parallèle à OX, Tautre 2iR' parallèle à OY : c'est une fonction doublement périodique^ et i-ette double périodicité s'exprime en écrivant :

(I) *(U + 4mK + SInîK') = ^V>) = V,

m et n désignant deux entiers quelconques.

Si Ton faisait décrire à t; un nombre inégal de fois les ^'ontours + 1 et — t avant de l'amener en V, l'intégrale rectiligne, effectuée alors avec la détermination ( — wj de w, chan- ^'erait de signe et Ton aurait la relation

\i) *{— U + SIm'K + 2niK') -. O (U) = V,

m étant un entier impair, mais 2m'K-|-2ntK' ne serait pas une période de l'intégrale.

Toutes les valeurs de l'intégrale U relatives à une même valeur de V sont d'ailleurs renfermées dans la formule unique :

«3) {— l)-U+2mK + 2»iiR',

où m et n sont des entiers quelconques.

V(U«— 1)(1 — ft«U«)'

Si Ton considère le module complémentaire k* lié au module k par la relation

k* + ft'« = 1,

<'t si Ton change de variable en introduisant sous le signe / la lettre w liée à rpar

on trouve, après simplification :

— dw i dw

w«) (l-.V«w») / v^(l— w*) (1— ft'«w«)

^l Ton reconnaît ainsi dans K' Vintégrale complète complémentaire de l'intégrale K, c'est-à-dire la valeur que prend cette intégrale lorsqu'on passe <iu module donné au module complémentaire.

Nous reviendrons plus loin avec quelques détails sur les fonctions elliptiques dont le rôle et Timportance dans les étuded'analyse supérieure tend chaque jour à s'accroître; mais L« démonstration de la double périodicité de ces fonctions trouvait naturellement sa place à la suite de la théorie de Imtégration géométrique, à laquelle elle se rattache directement et qu'elle peut contribuer à éclaircir.

26*7. AppUcatlonà dévaluation de deux IntéiprAl définies réelles. — La théorie des intégrales géométrï ques fournit de nombreuses et intéressantes applications, notani ment pour le calcul des intégrales définies de Talgèbre ordinaire nous en donnerons immédiatement un exemple.

Proposons-nous d'évaluer les deux intégrales réelles :

-. / X "dx

ro -.1

dx (2) Y = valeur principale /^ ^^7—;- — (*),

m étant supposé positif et plus grand que 1 . Considérons l'intégrale géométrique

la fonction 7—; — n'étant pas monodrome, il importe avant tout 1 + t'

de définir celle de ses déterminations qu'on adopte pour l'intégration. Nous choisiront au départ celle qui correspond au plus

(•| La fonction devenant infinie pour x = — i, c'est la valeur prin-

i H- X cipale de la seconde intégrale que nous représentons par Y.-

petit argument a> de Vy de telle sorte que cet argument s'annule It^rsque v prend la direction deTunité géométrique Oh. Gela posé, nous remarquerons que la fonction

ne présente que deux points critiques situés tous deux sur l'axe OX. : le pôle v = — 1 et le branchement t? = o. Si donc nous prenons comme courbe d'intégration le contour X'^-^pnmXYX'

parcouru dans le «ens des flèches, et composé, comme l'indique la figure, de portions rectilignes et de demi-circonférences ayant Torigine et le point A' = — 1 comme Centres, le résultat de r intégration devra être nul, puisque le contour choisi ne renferme aucun point critique. On aura donc en décomposant l'intégrale dans ses parties :

Jm\ JxYX' Jx'ê Jêrq Jqp Jpum

Faisons tendre actuellement vers zéro et vers l'infini les rayons de centre 0 et évaluons isolément les diverses intégrales. Pour cela remplaçons v par rH : l'expression générale de Tinté-

crrale donnée deviendra :

-i --ui

re-^

ei(re-').

I^e long des demi-circonférences pnm et XYX' de centre 0, le

rayon r étant constant, cette expression pourra s'écrire :

ou encore

-î- Ce-'"*

et comme — est une fraction positive, on reconnaît immédiate-

nient sur la première forme que l'iatégrale s'annule pour r^o et sur la seconde qu'elle s'annule également pour r = qr> ; donc

Jpttm JXYX'

L'intégrale l prise sur un demi-cercle autour du pôle A' sera

Jsrq

égale, d'après les théorèmes démontrés plus haut, à

— Arî,

en désignant par A le résidu de la fonction 7-j-- pour v = — 1 . Mais ce résidu (limit(t;-|- 1) est égal à la valeur de v~ipour

v = ^- 1 , c'est-à-dire ke "■ , donc :

I = — nie ".

Jifê

Il nous reste à évaluer les portions rectilignes de l'intégrale,

Or , / s'obtient en faisant w = 0 dans l'expression générale (5'

et en y faisant varier de zéro à -[- 00 la lettre r, que Ton peut remplacer par la variable réelle x. On trouve ainsi :

dx =:X.

Les deux autres portions rectilignes du contour donnent la

valeur principale de l'intégrale (5), où Ton fait ci) = r(*) et où r varie de + ^^ ^ zéro. Posant r = — x, on trouve :

/ -f / = val. princ. 1 . . dCre*^]

= val. princ. e I dx =

L* équation (4), où Ton porte ces différentes valeurs, devient enfin :

(6} e "Y — Kie " + X = 0.

Y + Xe "=sî,

c'est-à-dire

Y + xfcos h isin — ) = iït;

\ m mj

d'où Ton conclut, par l'égalité des composantes :

sin —

Y = -~ncoti. n m

(*) On voit bien, en effet, par raison de continuité, que lorsque la variable va de X en X' en suivant le contour XYX', son argument qui était zéro enX devient + o en X' et redevient zéro lorsque v décrit autour de 1 origine le <*ercle infinitésimal pnm,

(**) Si Ton pose — = 1 — a, a étant une quantité positive inférieure à 1^ ces

deux intégrales prennent respectivement la form e

sin an

Y = val. princ. I = s cot a k

^ous laquelle on les rencontre fréquemment en analyse.

COURS DE CALCUL DIFFÉRESTIFX ET INTÉGRAI.