APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES A. QUADRATURE DES AIRES PLANES
209. Poriiiul«a céoérales. — Coordonnées rectangulaires. — Nous avons déjà montré (et c'est même là l'origine du nom de quadrature), que la recherche de la fonction primitive d'une fonction donnée revenait au calcul d'une surface plane. Considérons en général une aire plane telle que l'aire ombrée ci-contre, limitée par une ou plusieurs courbes y connues.
Cette aire pourra être regardée comme la somme d'un nombre infini de rectangles infinitésimaux, tels que «PyB formés par des parallèles aux axes.
g Un rectangle ainsi tonnf
a pour surface tir dy eu désignant par dx et dij les accroissements infinitésimaux de r e' de y qui correspondent à l'espacement de ses côtés.
Prenons d'abord l'ensemble de tous les petits rectangles siluéf dans une même tranche verticale, et .correspondant conséquemment à la même abscisse x et au même accroissement dx de
cette abscisse, la somme de ces rectangles s'obtiendra évidemment par l'intégration
dans laquelle dx devra être traité en constante. On est donc conduit à l'expression à
pour la tranche entière, y, et y, représentant les ordonnées Hmites auxquelles la surface s'arrête. Ces ordonnées limites sont des fonctions de x données par les équations connues des courbes.
La surface de la tranche étant ainsi évaluée par une expression différentielle en x, c'est-à-dire en fonction de son abscisse ,r et de son épaisseur dx, la somme de toutes les tranches, c'està-dire la surface entière A, s'obtiendra en intégrant cette expression entre les abscisses o et 6 qui limitent la surface c; on aura donc
■y,)dx.
H est évident d'ailleurs qu'on aurait pu commencer par une intégration en x, ce qui reviendrait à former des tranches parallèles à l'axe des x, puis on aurait inté- y
gré en y de c en d pour avoir ta somme de ces tranches ; on aurait trouvé ainsi .
Quel que soit l'ordre adopté pour ces Jeux intégrations, la première peut toujours s'effectuer indépendamment de la nature des courbes qui
380 COliRS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
limitent la surface, ainsi que l'indiquent les formules (1) et [% : *',n réalité la surface est représentée par l'intégrale double
convenablement limitée.
Si la forme de la courbe ou des courbes limitant l'aire à évaluer était plus compliquée, l'expression des intégrales serait aussi plus complexe, mais non moins facile à établir. Ainsi, par exemple, pour la disposition de la figure ci-dessous, on aurait évidemment :
Coordonnées obliques. — Les formules relatives aux coordonnées obliques ne diffèrent de celles qui se rapportent aux coordonnées rectangulaires que par l'introduction d'un facteur constant qui est le sinus de l'angle des axes.
Ainsi, l'expression A ^ 1 / dxdy deviendra
A= j jdx dy sini=iiai I fdxdy.
CALCUL INTÉCRAL 381
370. CoordonDé«« polaires. — Des considérations tout aûalogues à celles qui nous ont conduit & l'évaluation d'utie aire en coordonnées rectilignes s'appliquent au cas des coordonnées polaires.
On recoiiuaitra, par exemple , que l'aire ombrée peut être considérée comme la somme de surfaces infinitésimales telles que «Jyî limitées par des rayons issus du pôle 0 et par des arcs de cercle x$, fi
décrits de ce pùle comme centre. Ces petites surfaces sont assimilables à des rectangles, et, en négligeant led infiniment petits d'ordre supérieur, leur surface peut être représentée par
Si l'on prend d'abord la somme de ces rectangles compris entre Les deux mêmes rayons, cette somme sera donnée par l'intégrale
r'pJ" dp,
où du doit être traité en constante ; on aura donc pour son expression
et l'aire totale fi s'obtiendra en faisant la somme de toutes les tranches analogues, c'est-à-dire en remplaçant p, et p, par leurs valeurs en u résultant de l'équation ou des équations des courbes limites et en intégrant en u entre les inclinaisons ; et ^i des rayons limites :
2*71. Applicattons.
Soit
!• QiMdrature de la parabole, —
y" = 2px
la parabole rapportée à sa tangente au sommet et à son axe.
L'aire ombrée Oab sera :
A = r* ydx = j v^2p xi dx
Mais l'ordonnée b du point b est égale à y/2/?a, en sorte que
L'aire cherchée est les deux tiers de l'aire du rectangle Oabc
La parabole rapportée à une tangente quelconque et au diamètre conjugué donnerait un résultat analogue en coordonnées obliques.
L'aire d'un segment quelconque s'obtient d'ailleurs sans difficulté par différences.
a^'^ Ainsi :
Segment bmb' = aire bm&'a'a — Trapèze aba!h\
2** Quadrature de Vellipse. — Soit
l'équation de Tellipse rapportée à deux diamètres conjugués 0«', Ob' et e l'angle de ces diamètres.
On a pour Taire om- h'
brée :
^ =sinO /
û Jo
ydx
= sînO jr\a'«-x»dx.
Cette intégrale rentre dans un type étudié (S 240). trouve
On
f = a'b' sin «[ = a'b' siD.e^^
arc cos
P V__£. -- - arc C05
pour 2> = a on a Taire totale du quart d'ellipse Oa'6'
A = 4 a'6'8ine,
et Taire totale de Tellipse est par conséquent
E = 35a'b' sine, .
Cette aire totale étant évidemment la même quel que soit le système de diamètres conjugués choisi, on doit avoir
a'b' 8in.6 = constante = ab :
et Ton retrouve ainsi le second théorème d'Apollonius.
L'aire de Tellipse entière peut d'ailleurs se déduire immédiatement de celle du cercle par projection : en désignant par <p Tangle des plans de projection, on a
E = Tca» X COS. tp = luib.
3<» Quadrature de V hyperbole, — La quadrature de Thyperbole
rapportée à ses axes se fait par une intégration tout analogue
à celle que nous avons opérée pour l'ellipse.
Le calcul est plus simple' et plus intéressant pour rhyperbole rapportée à seasymptotes.
La courbe étant .
xy = k\
Taire, en désignant par h Tangle des axes, sera :
A=.sinO / j/dx=.ft"sin6 / — = fe'sin^l.x + const
Prise entre les ordonnées aJ, a'6', cette aire sera donnée par rintégrale définie correspondante :
ft« sine r''^ = /i«8ine l/jY
Ainsi, dans l'hyperbole équilatère a?j/ = I, Taire comprise entre la courbe et Taxe des x depuis Tordoanée du sommet jusque Tordonnée d'abscisse a?, est égale au logarithme népérien de j*. d'où le nom de logarithmes hyperboliques souvent donné aux logarithmes népériens. .
4** Quadrature de la cycloïde. — Reprenons les équations de
la cycloïde en fonction du paramètre arbitraire u
X = r(u--sîn.u), .y^r(i — cos.u).
L'aire ombrée est :
A = I ydx = / r*(< — cos uj'du,
= r" 1 {du--^ cos udu + C05* udu).
L'intégration séparée de chacun des termes de cette somme conduit d'après des résultats connus à
A =r«r5U — 8sinu + 7 sinSaj
En faisant ti = 2x on obtient l'aire totale OBA égale à 3içr', ainsi que nous Tavons déjà reconnu au S 1 VO.
La spirale loga-
5® Quadrature de la spirale logarithmique. — rithmique
conduit, pour Taire ombrée comprise entre deux rayons vecteurs Om^ Om,, à l'intégrale
Si le rayon Om, qui sert d'origine aux angles tourne indéfiniment autour du point 0 dans le sens de la flèche, Téquation de la courbe montre que sa longueur diminue et tend vers zéro : la limite totale de Taire comprise entre les spires de la courbe et son pôle jusqu'à un rayon donné Om, ou p, a donc une valeur finie et égale à
s 72. Procédés pratiques d'approximation pour quadrature des surfaces. — Dans la pratique, la méthode exacte et rigoureuse que nous venons d'indiquer n'est
souvent pas applicable, soit qu'elle conduise à des calculs trop difficiles ou trop laborieux, soit, que les courbes, comme cela a lieu bien souvent, n'étant pas définies géométriquement résultent simplement d'un tracé graphique.
On a recours alors à des procédés d'approximation qu'il est utile de connaître et que nous exposerons sommairement ici :
P Méthode géovfiétrique approximative de Thomas Simpson. —
Considérons d'abord trois ordonnées équidistantcs et d'espacement a, mœ^y pjj, fw^* et proposons-nous d'évaluer l'aire comprise entre la courbe, l'axe des x et les ordonnées extrêmes. Pour cela.
substituons à la courbe un arc de parabole d'axe vertical passant par les points mpn.
L'aire ombrée du segment de parabole est (S STP!) le.^ deux tiers du parallélogramme mm'nti.
L'aire cherchée est donc égale avec l'approximation admise au trapèze x^mnx^ augmenté des deux tiers du parallélogramme mm'nn, c'est-à-dire à
Vu +
ou a
ou enfin à
Soit maintenant à évaluer l'aire ACDB ou A comprise entre l'axe des x et une courbe donnée.
On partagera la distance AB en un nombre pair de parties égales, 2n par exemple, en ayant soin de prendre n assez grand pour que, dans un même intervalle a, la courbure totale de la
courbe CD soit peu considérable, et que, dans ces mêmes limites, la substitution de Tare parabolique à Tare de courbe soit possible sans trop d'inexactitude.
En appliquant alors successivement la formule précédente à chaque double intervalle, on aura pour l'expression des surfaces partielles dans lesquelles la surface A aura été décomposée :
D'où en ajoutant et désignant par P la sommey, + Î/4 + --- + Vu^t des ordonnées paires moins les deux extrêmes, et par I la somme î/i + y, + ... + î/jn-i des ordonnées impaires.
2' Méthode de Poncelet, -r- Une méthode un peu dififérehte due. au général Poncelet permet de réduire le nombre des ordonnées à mesurer ^fd'obtenjr une lirtiite supérieure de l'approximation.
Partageons l'a distance ag des ordonnées extrêmes en un nombre pair de parties égales, que nous supposerons égal à 0
pour fixer les idées. Joignons les points ÂBDFG et menons les
OLC^
fS>-. 0
fi
Vo
tf
tangentes A'C, G E',E^G' aux points BD et F jusqu'à leurs rencontres avec les ordonnées voisines.
Nous formerons ainsi deux sommes de trapèzes
et
aA'C'c + cC"E'e + eE''G'g
a AB6 + bBDd + dDF/'+ fFGg,
la première supérieure^ la seconde inférieure à Taire A que l'on veut calculer (en supposant convexe bien entendu la portion de courbe considérée). On a donc par les premiers trapèzes, î/iJÎ/i» y» étant les demi-sommes de leurs bases et 2 a leur hauteur commune,
A < 2a(yi + y, + yj, on, en généralisant :
et de même par les seconds trapèzes -:
bu, en généralisant :
A > a[^^^ + (yt 4- y^) + ... + (y,., + y,...) + ^-l±^].
On obtient ainsi deux quantités entre lesquelles Taire cherchée se trouve comprise.
En prenant la moyenne de ces deux quantités, on a une valeur approchée de cette aire et Terreur que Ton commet ainsi est évidemment inférieure à la différence A des deux sommes qui comprennent A.
Or, ces deux sommes peuvent s'écrire :
îa(î/i + y» H- Vi H- — + y«n-i), Donc
A - fl (^^9 + ytn yi -^ yin-i\
Joignons AG et BF : ces deux droites coupent Tordonnée Dd correspondant au milieu de ag en deux points § et 3' dont les hauteurs au-dessus de Taxe des x sont respectivement
yo + yt
Vi H- y>n-t Donc
c'est-à-dire que Terreur commise est moindre que Taire du rectangle ombré construit sur 83'.
On voit que pour une division de la base en 2 n parties égales : la méthode de Simpson exigerait la connaissance de 2n+i ordonnées, tandis que la méthode du général Poncelet n'oblige qu'à en connaître n + 2.
M, le général Parmentier a démontré qu'on obtenait une formule encore plus approchée que celle du général Poncelet, en
COURS DE CAFXUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL
ajoutant le double de Taire des trapèzes extérieurs à la somme des trapèzes intérieurs et en divisant par 3 le résultat.
273. Application à Pétude des séries. — Les formules de quadrature des surfaces planes permettent de s'assurer facilement dans certains cas de la convergence ou de la divergence d'une série.
Supposons une série algébrique u^ u^ u^..,u^k termes positifs
et dont le terme général u^ ait pour expression ç (n) ; supposons également que la fonction ^[n) aille en décroissant d'une manière continue , lorsque n croît depuis l'unité jus- —^ qu'à rinfini positif.
Considérons la courbe
les ordonnées de cette courbe qui correspondent aux abscisses entières 1,2,3.... n étant égales à Wg,i/,,M.,... w^, les différents termes de la série pourront être représentés par les surfaces des rectangles
::=4èL.
ii'aî %%'bZ 33'ci
etc.
ou par celles des rectangles
Oal'4
etc.
égaux aux précédents.
En sorte que si Ton désigne par S la somme des termes de la série indéfiniment prolongée, on aura visiblement d*après la figure et en tenant compte des hypothèses admises :
S > / 9(x)dx > S — Uo,
et par conséquent la valeur S delà série, comprise entre Tinte
grale et Imtégrale augmentée de it^, sera finie ou infinie en iiiême temps que cette intégrale.
Appliquons cette règle à la série
j^ i- jj. -h 37 -t-...-;jji»
la fonction o (x) devient alors — et satisfait bien à la condition de
décroissance continue quand j? varie de 1 à + c». Si ji. ^ 1 on a
/•dx tri"!*
et Ton reconnaît d'après cette valeur que la série est convergente si '^ > 1, divergente dans le cas contraire.
Si }!.= 1, la série, qui devient la série A«rmontgtie, est diverj^ente puisque
Ces résultats concordent bien avec ceux que nous avons précédemment trouvés.
B. CUBATLRE DES VOLUMES
S74I. Formules s^nérales- — Coordonnées rectcmgu-' laires. — Les raisonnements à faire pour établir les formules de cubature des volumes sont très analogues à ceux qui nous ont servi pour la quadrature des surfaces.
Ainsi pour évaluer le volume compris à Tintérieur d'une ou plusieurs surfaces connues rapportées à trois axes rectangulaires', on considérera ce volume comme décomposé en parallélipipèdes rectangles infinitésimaux par des plans parallèles aux plans coordonnés et espacés entre eux de dx^dy^dz. Le volume d'un pareil parallélipipède sera :
dx dy dz.
192 COURS DE CALCL'L DIFFÉRENTIEL ET INTËCBAI.
Groupant alors tous les parallélipipèdes qui se trouvent dar«
une même pile parallèle à l'un des axes, l'axe des z par exemple. on obtiendra le volume du prisme inRnitésimal z z qui sera
dx dy dz;
dx et dy étant constants dans cette intégration, elle s'effeclui^ immédiatement et donne
Ce premier résultat aurait pu s'obtenir directement sur la figure par l'évaluation du prisme infinitésimal dont la section droite est le rectangle da iy et la hauteur «„«, c'est-à-dire (s, — z^). L'expression précédente représente effectivement le volume de ce prisme en négligeant les volumes a 0 v i t ;,. "i^tïi^'i?!" q"' s**"' évidemment infiniment petils d'ordre supérieur.
On formera ensuite la somme de tous les prismes infinitésimaux analogues h. celui qu'on viem d'évaluer et qui se trouvent compris entre deux mémei
plans parallèles au plan ZOY par exemple. On aura pour cela à effectuer l'intégration de
{z^ — Zo) dx dy,
où 2, et z^ sont des fonctions connues de x et de y, en traitant dans cette intégration x Qi dx comme des constantes et intégrant en y depuis y^ jusqu'à y^^y^ et y^ étant les limites de y qui correspondent à la valeur x de l'abscisse, ou en d'autres termes les ordonnées du contour apparent horizontal de la surface. Le résultat de cette intégration
dx \.{z^ — z^)dyy
•/|ro
représentera le volume de la tranche infiniment mince comprise entre les deux plans correspondant aux abscisses a? et a? + dx.
Pour avoir le volume total cherché, il restera à faire lu somme de ces tranches depuis .t= a jusqu'à x = b ou en d'autres termes à intégrer le résultat précédent de a à &, a et h désignant les valeurs limites de x.
Donc en définitive
V= (dx r(r,-Zo)dy.
Mais on peut dire aussi que la valeur de V est l'intégrale triple
dx dy dz.
prise entre des limites convenables.
Il est évident d'ailleurs qu'on aurait pu intervertir les rôles arbitrairement attribués à chaque coordonnée, et intégrer par exemple d'abord par rapport à a?, puis par rapport à y, enfin par rapport à z. Le résultat doit être indépendant de Tordre dans lequel on effectue les intégrations.
2'7S. Coordonnées obliques. — Si les coordonnées étaient obliques, les calculs se feraient delà même manière avec cette seule différence que le volume du parallélipipède infinitésimal au lieu d'être dxdydz. deviendrait
K dx dy dz.
en désignant par K la quantité
Ki= ^1 — cos'a — co8'6 — cos'c + Scosa cosè cos c,
et par a, fc, c les angles que feraient entre eux les axes. Cette constante K sortant immédiatement des signes d'intégration, on aurait pour l'expression du volume
X dy dz.
SS70. Coordonnées polaires. — Les points de Tespace étant déterminés par Tangle 9 que fait la projection de leur rayon vecteur sur le plan XOY avec Taxe des Xj l'angle 6 que fait ce rayon avez Taxe OZ, enfin la longueur p de ce rayon, ou considère l'élément de volume ag^B a gY^' compris entre deux plans Zopj Zop formant entre eux Tangle différentiel rfç, deux cônes de révolution d'axe OZ ayant 0 et 0 + rfô pour angles au sommet, et enfin deux sphères de rayons Oa ou p et Oa' ou c + rfp.
Ce volume infinitésimal peut être remplacé en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur par un parallélipipède rec-
CALCUL LNTÉGRAL
rangle dont Tare «3 ou pdb, Tare ay ou p sin 0 rfç et enfin le segment aa' ou dp seraient les trois côtés. Ce volume sera donc
p' sin 0 dp dO df 9 f»t le volume total V sera Tintégrale triple
f ' sin 0 dp dO d9,
prise entre des limites convenables.
A chaque intégration, les limites introduites dans le résultat T^e trouveront fonctions des variables relativement auxquelles rint^gration reste à faire.
Comme dans le cas des coordonnées rectilignes, la première intégrât ion pourra toujours s'effectuer indépendamment de
l'équation spéciale de la surface limitant le volume. Par exemple ♦»a choisissant la variable p pour cette première intégration on obtiendra
** sinO dO d(f.
pour le volume du tronc de cône infinitésimal correspondant. Il restera ensuite à faire rintégration double
où p, et po sont des fonctions de 0 et de 9 connues par \^^ équations des surfaces limites.
2Î77. AppUcatioiui. — a. Volume du paraboloïde.—^^A
l'équation d'un parabololde tangent au plan XOY à Torigine et renfermant OX et OY comme génératrices.
Il est facile de voir que les plans ZOX, ZOY sont ses deux plans directeurs et qu'en conséquence les sections par des phu^ parallèles à ces deux directions sont des droites comme l'indique la figure ci-dessous.
Cherchons à évaluer le volume Obcc'a compris entre le pbn
horizontal XOY, la surface et les plans verticaux ècc', acc\ Nous avons à intégrer
z dxdy^
car dans le cas actuel {x^ — z^) devient la hauteur z de la surface.
L'intégration en y devra se faire entre les limites zéro et b et donne
La dernière intégration, celle par rapport à Xy doit se faire de zéro à a et Ton obtient enfin
Si Ton désigne par c la hauteur ce' du point c, on a d'après Téquation du parabololde
ab
d'où
V = 7 abc.
Le volume cherché est le quart du parallélipipède rectangle Oac6 OVc'6'.
Proposons-nous en second lieu d'évaluer le volume analogue, mais limité par un cylindre de révolution d'axe OZ au lieu des plans verticaux occ', bec.
Soit aie rayon du cylindre : les limites des intégrations seront seules modifiées ; l'intégration en y par exemple se fera de zéro à
Vi = v^tt* — X*,
et donnera
d'où par une dernière intégration en a? effectuée de zéro à a
Jo 2fc jo 2fe '''' - lia; 8rL""8ïî*
h. Volume de Vellipsoïde. — L'élipsoïde étant :
pour évaluer le quart de son volume compri> dans le trièdre ZOXY.
on a à calculer rintêgrale triple
dx dy d:
entre des limites qui sont :
Pour la première intégration (en z) de zér»»
au s de Tellipsolde;
Pour la seconde intégration (en y) de zéro à Vy de l'ellipse Oaè;
Pour la troisième intégration (en x) de zéro à a. On partira donc de l'expression
l'intégration en y pourrait se faire sans difficulté : les limites
seraient zéro et 6 W 1 j ; enfin la dernière intégration en /
serait également praticable.
Mais on arrive plus rapidement au résultat en profitant de ce
CALCUL INTÉGRAI-
que les sections planes de la surface sont des ellipses dont on peut évaluer directement la surface.
Coupons en effet par des plans parallèles au plan ZOY de manière à décomposer le volume total de l'ellipsoïde en tranches infiniment minces : chacune de ces tranches sera limitée par deux ellipses AEG,bed semblables à Tellipse de section principale ZOY, et son volume sera compris entre ceux des cylindres infiniment petits ABCD, abcd, ayant respectivement ces ellipses pour bases et Tépaisseur dx de la tranche pour hauteur.
Or, la différence entre ces deux cylindres étant un anneau du deuxième ordre de petitesse, on peut la négliger
et prendre pour lé volume dV de la tranche ellipsoïdale, celui du cylindre ABCD par exemple, c'est-à-dire Tzy^z^dx, y^ et z^ étant les axes de Tellipse AEC.
D'autre part les ellipses sections principales ZOX, YOX donnent
De sorte que
dy = r.bc(\^~\dx.
L'intégration est alors immédiate et, donne :
Y = î56c (*— Q— i) + constanlc.
Prenant l'intégrale entre — a et -f a on a :
V = ^nabc
pour le volume total de Tellipsoïde.
