C. RECTIFICATION DES COURBES

1** Courbes planes.

27S. Formules s^nérales. — Si Téquation de courbure d'une courbe plane est connue, le problème de la recWf^cation de cette courbe est tout résolu, c'est-à-dire que TéquatiuD de courbure fournit immédiatement entre deux limites données la longueur de Tare correspondant de la courbe. Ainsi par

exemple, réquation de courbure de la chaînette étant(Sl80)

Tare mm sera égal à :

o(t««' — ig«);

l'équation de courbure delà cycloïde(S IW) étant :

« = 4 r(l— sm«\,

l'arc mm' aura pour valeur :

4r(sina — sins'].

Si l'équation différentielle de courbure était connue, comme dans le cas de la parabole, par exemple, où cette équation a la forme simple (§ 175).

sin'a

l'intégration de ds entre les limites voulues conduirait au résultat cherché f).

(*) Cette intégration^ dans le cas de la parabole^ se fera sans difficulté pv les formules établies au § 245 pour Tintégration générale de / sin* xdx*

CALCUL INTÉGRAL 40j

Si l'équation de la courbe plane est donnée en coordonnées rectilignes rectangulaires ou en coordonnées polaires, on aura recours aux formules :

ds = v'r* dw* -h dr^,

établies au § J 51 . On éliminera, au moyen de Téquation de la courbe Tune des deux variables, j? ou y en coordonnées rectilignes, r ou (D en coordonnées polaires et Ton fera la quadrature de la différentielle qui se trouvera exprimée alors en fonction de l'autre variable seulement.

2ir9. Applicatioiui. — a) Parabole, — L'équation de la parabole étant (1) y« = 2ax,

l'élimination de x dans la différentielle de Tare conduit à la relation

d« = - v'y' + a* dy, et

d'où

= 5/Vy' + a«di/.

L'intégration rentre dans le cas général d'un radical portant sur une expression du second degré (§ S4IO). Nous allons l'effectuer directement sur l'exemple actuel. On a, en intégrant par parties :

13) J ^-^Tir^dy^y ^yn^-fj~^>

l'intégrale du second membre peut s'écrire d'où en reportant dans (3)

^f^y* + a*dy = y^y\-^a^ +a«/^^=j,.

Or (S »4M>)

donc enfin

J ^JTTâ^^ '• ^^ "^ v'î^' + ^*^ + ^^"*^'

« = ^ V^F+âî + ? I. (y + slWTâ'') + const

Si Ton veut calculer Tare compris entre le sommet et le point

m d'ordonnée y^, par exemple, on prendra rintégrale entre les limites correspondantes;

la constante devra être égale à — ^-^, et

Ton aura

arc Om = î^iAÇI«! + ? ^ îiljLitojî!.

sa z n

b) Ellipse. — L'ellipse rapportée à ses axes peut être représentée par le système des deux équations ;

X = a sin 9« y =: b ces 9,

où la variable auxiliaire ç représente Tangle que fait avec Taxe

OB le rayon OM allant du centre au point M du cercle rabattu, dont le point m de Tellipse peut être considéré comme la projection (*).

En exprimant l'arc ds au moyen de cette variable auxiliaire, on trouve (à cause de c'=a* — 6*),

d'où

ds = v/a' — c* sin* 9 d^ ,

= a / Wl — ^sin*9 d9 = a / v^l — A« sin*9d9,

en désignant par k le rapport -, qui est dit V excentricité de l'ellipse.

(*) L*angle MOA complément de 9 est désigné en astronomie sous le 000 d*anomalt6 excentrique.

Nous retrouvons ainsi Tintégrale elliptique de seconde espèce E(ç) définie au (S »43).

Sa valeur peut s'obtenir sans difficulté au moyen de Tintégration par les séries.

On a par le développement du binôme, applicable dans ce cas, puisque k sin ^ est plus petit que Tunité

0 — /t« 8in«9) « == 1 - i fc« sin« 9 - s^j A* sin* 9 — sî^ fe« sin« <p — ... ,

d'où

Chacune des intégrales qui entrent dans les termes du développement peut être calculée facilement d'après les formules du [S 2415), et la fonction elliptique de seconde espèce se trouve ainsi exprimée par une série.

Cette série d'ailleurs est toujours convergente, ainsi que le développement dont elle est déduite, car on verra plus loin (S #889) que

isin'çrfç représente une surface d'autant plus petite que p

est plus grand, et d'autre part le facteur k est toujours infé-

rieur à l'unité : pour cette double raison le caractère ""*"^ indi-

que toujours la convergence.

Lorsqu'on intègre entre les limites o et ^, on obtient Yinté'

grale elliptique complète E^, qui représente la longueur du quadrant d'ellipse. En se reportant à la valeur de l'intégrale définie

sin'P9d?=*-^-^'"<^P^*'>, 0 ^ ^ 2.4.6... 2p 2

qiie nous établirons au § S89, on reconnaît que :

La rectification de l'hyperbole s'effectue par un calcul tout analogue au précédent et conduit également aux fonctions elliptiques.

c) Lemniscate. — La lemniscate est le lieu des points tels que

le produit de leurs distances à deux points fixes, F et F, est constant et égal au carré de la demi distance OF de ces deux points.

La courbe présente la forme d'un huit , comme l'in-

dique la figure.

La relation