FM. FM' = 0F

conduit d'ailleurs facilement à l'équation de la courbe en coordonnées polaires.

On trouve, en désignant par a, la distance OF.

psrav^v'cos 2w (*).

En appliquant à cette équation la formule de rectification relative aux coordonnées polaires, on a :

a v^ dbi

ds =

d'où

V^cos 2w ~v^l — 2sin*a)'

'^''^fy/l-isin^o.-

L'arc de lemniscate s'exprime donc par l'intégrale elliptique de première espèce et de module égal à v'2.

(*) On reconnatt immédiatement sur cette équation que la lemniscate esl la transformée par rayons vecteurs réciproques de Thyperbole équilatére

pvcos2u> = — ;=.

d) Cycloïde. — Les équations de la cycloïde étant

on en déduit

par suite :

d'où

et,

x=za(u — sinu), y = a(l — cosu),

dx = a (1 —cosu) du, dy = asinudu,

ds* =r 2 a* (i — cos u) du*.

d8=2asin-udu,

8 = — 4aco8-u + constante.

Si Ton compte Tare à partir de l'origine 0 où u = o, on doit

remplacer par ia la constante, et alors

arcOm = 4a (i — cos^u j-

L'arc total 00' s'obtient en faisant u =^2% et est égal à 8a, ainsi que nous l'avons déjà reconnu par la considération de la développée.

e) Cycloïdes allongées et raccourcies, — Si dans le roulement

du cercle mobile on considère non plus un point de la circonférence mobile, mais un point situé à Tintérieur ou à l'extérieur de cette circonférence, ce point décrira une courbe qui reçoit le nom de cycloïde raccourcie dans le premier cas, et de cycloïde allongée dans le second. Ces courbes affectent les formes indiquées sur la figure ci-contre, et si Ton désigne par b la distance du point décrivant au centre C, leur équation commune, qui s'établit delà même manière que celle de la cycloïde, sera :

x = au — & sin u, y = a — bcosu,

en désignant toujours par a le rayon du cercle qui roule. L'arc de ces courbes sera donc

et la symétrie de cette expression par rapport aux deux lettres

aetbj conduit au théorème suivant dû à Pascal :

Si Von considère deux cercles concentriques A. et B et qu'on les fasse rouler successivement sur une droite, la cycloïde allongée décrite par un point m' du cercle B dans le roulement du cercle A et la cycloïde raccourcie décrite par un point m du cercle A dans le roulement du cercle B ont des arcs égaux

entre des points correspondants à des angles de roulemeni

égaux.

2** Courbes gauches.

SSSO. Formules s^nérales. — Les formules générales relatives aux courbes gauches s'établissent aussi facilement que celles qui se rapportent au cas des courbes planes. En coordonnées rectangulaires, par exemple, on aura :

ds = ^dx" + dy* H- dz*,

etj réquation de la courbe donnant y et 5 en fonction de x, on sera conduit à une expression de la forme :

«= / V'i +l?(x.l]« + [4.(x)]«dx.

Il sera plus commode dans certains cas d'exprimer la différentielle de l'arc en fonction d'une variable auxiliaire autre que a?, y ou z. Ainsi, dans le cas de l'hélice, en se reportant aux formules du S 18*7, on trouve :

ds* = a« (1 + K«) dw», d'où

« = a V 1 + K* a> + conslaDte, résultat facile à vérifier par le développement du cylindre.