D. QUADRATURE DES AIRES COURBES
SSl. Formules s^nérales. — Soit une portion de surface courbe terminée par un contour quelconque (*),*nous nommerons aire de cette surface la limite vers laquelle tend la surface d'un polyèdre infinitésimal dont tous les sommets sont situés sur la surface donnée qu'ils occupent entièrement; les facettes infiniment petites d'un pareil polyèdre seront triangulaires, et nous admettrons sans le démontrer que la somme des ah'es de ces facettes tend vers une limite A indépendante de la manière dont on en détermine les sommets.
(*) On peut toujours supposer la surface terminée par un contour, car s'il 8*agi8sait de la surface totale d^un corps, on pourrait la diviser en deux parties par une courbe arbitraire et évaluer séparément les deux parties.
Actuellement, décomposons en rectangles infinitésimaux par des parallèles à OX et OY la projection de la surface donnée sur le plan XOY, et prenons pour sommets du polyèdre infinitésimal
les points tels que abcd, qui ont pour projections horizontales les sommets a p yS des rectangles. Nous formerons ainsi les facettes triangulaires abc, adc, dont les surfaces seront :
abc =
cos<p
adc = — ^1 cosç
ç et 9' étant les angles des plan.s de ces facettes avec le plan horizontal.
Mais ces plans font avec le plan tangent en a des angles infinitésimaux, en sorte que si 6 est l'angle de ce plan tangent avec le plan horizontal, ç et 9' diJBfèrent de 6 par des quantités infiniment petites e et e'. Les relations précédentes peuvent donc s'écrire
abc =
«Pt «
^Pt
cos (0 + e) cos 0 cos e — sin 0 8in E
adc = ^^T = î!ï ,
cos (6 + ê'i cosOcose' — sinOsiDE''
oUj d'après le principe fondamental sur les infiniment petits.
abc adc
cosO* ""cosO'
doù
ahcd = ^^ = V* +p« + ^« dx dy,
p et q désignant comme à Tordinaîre les dérivées partielles dz dz dx dy
La zone infinitésimale comprise entre les plans verticaux parallèles à ZOY menés par les abscisses x et x -{- dx s'obtiendra en intégrant
V^i + p' H- q" dx dy.
par rapport à y entre les limites y^ et y, du contour de la projection horizontale. Ces limites y^ et y^ étant remplacées par leurs valeurs en a?, il restera une différentielle en x qu'il faudra intégrer à son tour entre les limites a et b. Donc, en définitive
A =^* dxj^' V^l + p« + q^ dy.
2S2. Application. — Aire de la sphère. — Comme application de la formule précédente, cherchons à évaluer Taire d'une sphère de rayon a.
On a
d'où
et
r r t—^~— C C cidxdy
Pour avoir Taire totale de la demi-sphère on définira Tintégrale générale de la manière suivante :
X+« r-hi dy
avec y^ = y^a* — iP*. L'intégration peut s'effectuer sans difficulté mais nous allons indiquer, à propos des surfaces de révolution un moyen beaucoup plus rapide de la faire.
Simplification des formules générales de cubature et de quadrature dans le cas des surfaces de révolution.
3S3. Dans le cas des surfaces de révolution, les formales de cubature et de quadrature se simplifient considérablement.
La surface peut être définie, en prenant son axe de révolution pour axe des jj, par une relation donnée entre le rayon x du parallèle et la hauteur s du centre ù) de ce parallèle ; cette relation
n'est autre que Téquation de la courbe méridienne située dans le plan ZOX.
Gela posé, le volume compris entre deux plans perpendiculaires à Taxe peut être décomposé en tranches infiniment minces
iiî
par des plans perpendiculaires à Taxe, et chaque tranche peut être remplacée par un cylindre ayant un parallèle pour base et dz pour hauteur ; les volumes que Ion néglige ainsi sont évidemment des infiniment petits d'ordre supérieur.
Le volume total est donné alors par Tintégrale simple
V=y«r«dz = i:J[(9{z)]«dz,
convenablement limitée.
La surface correspondante étant décomposée en tranches de la même manière , chaque tranche peut être remplacée par la surface d'un tronc de cône infiniment mince limité aux deux parallèles qui comprennent cette tranche. Cette dernière surface, produit de la demi-somme des circonférences de base par Vapothème, est égale à :
3ï[x + (x -f dx)]mm' = %nxmm\
en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, ou, à cause de
'ti
mm = dx» + dz*,
ÎTW v^dx«+d?.
La surface cherchée s'obtiendra donc en définitive par l'intégrale simple
= iK j x^d
x« + dz*.
convenablement limitée, oii x et dx doivent être remplacés par leurs valeurs ç(j) et (f'{z)dz.
t6S4k. Appllcatton au cas d'une tranche et d'une zone spbértque. — Supposons qu'on veuille évaluer le volume
de la tranche de sphère comprise entre les plans s = c. s = d. Le méridien de la sphère étant
on aura :
= no* (d C) 7Z
si Ton fait c = — a,d = a, on obtient le volume total de la sphère
rTlCa**
La zone correspondante aura pour surface :
= 2;ca(z)^ =2;5a(d — c).
Pour c= — a, d = a, on obtient la surface totale de la sphère : 4::^*.
». Bxemple remarquable de Fenàplot d^unefbrnàule de cubature pour la détermination d'une Intégrale définie. — Soit proposé de calculer l'intégrale définie.
U= r*e-*'dx.
Considérons la surface :
7 e(r2+yV
elle est de révolution autour de OZ et donne dans le plan ZOX
dz pour a?=0: 2 = let;T- = 0et pour a? = co, z = 0.
La courbe méridienne doit donc affecter la forme indiquée sur la figure ci-dessous.
Cherchons à évaluer le volume total V compris dans le trièdre 0(X YZ) entre le plan XO Y et la surface, nous aurons en coordonnées rectangulaires :
V = Pdx rzdy z=r dxT e"-^'*+«^dy,
' e-'*dx / e->'dy, 0 «/o
= / e -" Udx.
Mais U est une quantité constante que Ton peut faire sortir du signe d'intégration, donc en définitive :
e-*« dx = U«,
Evaluons le même volume d'une autre manière, en le décomposant en tranches annulaires au moyen de cylindres concentriques à l'axe OZ et désignons par r le rayon de l'un de ces cylindres.
Nous aurons ainsi :
car j5 = e
-ri
Donc d'où par comparaison avec la valeur précédente :
On pourrait faire à cette démonstration Tobjection suivante : En effectuant parallèlement les deux intégrations, on les limite d'abord, la seconde au rayon R par exemple, la première aux valeurs rr = R, y = R, les deux volumes que Ton trouvera ainsi différeront évidemment par la portion du volume correspondant en projection horizontale à la surface ombrée de la figure.
En faisant tendre ensuite R vers Tinfini, on obtient les deux
limite U* et jque nous avons égalées, mais qui semblent devoir
différer par la limite du volume négligé qu'on vient de mentionner.
Mais il est facile de reconnaître que cette limite est zéro. Ed effet, le volume en question est moindre que celui correspondant à la surface annulaire comprise entre le cercle de rayon R
et celui de rayon Rv^2, qui passe au sommet K du rectangle. Or. cette dernière surface est
e-'*rdr,
OU
e'-ne-'^- =
c'est-à-dire zéro à la limite, lorsque R devient infini.
