EN SÉRIES
Théorèmes de Cauchy et de La/urent.
2SO. Théorème de Cauehy. — L*étude des intégrales géométriques conduit à la démonstration de deux théorèmes importants sur le développement des fonctions en séries.
Supposons d'abord qu'une fonction géométrique ç(v) reste finie continue et monodrome pour toutes les valeurs de v prises à l'intérieur d'un cercle de rayon R et de centre a :
cela revient à dire que pour
toute valeur de v prise dans . .
le cercle, la fonction ç(r) al 1 /
une valeur finie unique, ainsi
que sa dérivée ç'(i;) (car si
cette dérivée devenait infinie
en un certain point, lorsque
la variable franchirait ce
point en variant d'une façon continue, la fonction éprouverait une discontinuité dans sa variation). Soient à' l'intérieur du cercle un point v que nous supposerons
fixe pour le moment, et, un autre point z de position variable. La fonction
sera finie continue, et monodrome pour toutes les positions possibles de s, car d'après les hypothèses faites sur la fonction 9,
son numérateur jouira de ces propriétés et son dénominateur ne s'annulera que pour la valeur s = v qui rend F (s) égal à <f'[v]. Par conséquent l'intégrale
prise tout le long du cercle R sera nulle (§ S59), c'est-à-dire que l'on aura :
Jkz^v Jkz — v 'Jkz^-v
mais
Jkz — v donc enfin
(1) 9(v) = ^. f-^^dz,
L'intégrale du second membre peut s'écrire :
2«i / z — a z — V 2ki f z — a . v — a ' Jr Jk i
et comme le module de z — a est constamment supérieur à celui de i; — a, lorsque z se déplace sur le cercle, la fraction — j
pourra se développer suivant la progression géométrique convergente
Substituons à la fraction ce développement et décomposons l'intégrale en la somme de ses parties, en posant pour simplifier
A - J- r 9(2) dz
l'équation (1) deviendra :
(2) ç(u) = Ae + At{t3— a) + A,(o— a)« + A,(o--a)' + ...
Elle donne ainsi le développement de
tp(u) = ?[a + (o— a)],
suivant les puissances de Taccroissement {v — a) attribué à la variable.
Cne fois ce développement établi, il est facile d'obtenir pour la valeur des coefficients A^, Aj, A,... des expressions plus simples.
En faisant en effet v = a dans Téquation (2) et dans celles qu'on en déduit par des dérivations successives relativement à la lettre a, on trouve
Aç = ?(a),
et en général
. L'équation (2) peut donc s'écrire :
C'est dans cette équation que consiste le théorème de Gauchy, qui n'est, on le voit, qu'une généralisation de celui de Taylor, ou bien encore de celui de Maclaurin, si Ton suppose a = o, c'està-dire le point a coïncidant avec l'origine.
La démonstration même par laquelle le théorème de Gauchy vient d'être établi, montre que le développement est applicable à toute valeur de v tombant à l'intérieur d'un cercle satisfaisant aux conditions admises. La plus grande valeur qu'on pourra attribuer au rayon R de ce cercle, sera la distance du point a
au poînt critique le plus rapproché ; le cercle ainsi obtenu, a été nommé pour cette raison, cercle de convergence.
En appliquant le théorème de Gauchy au cas des fonction? réelles, on peut en déduire une détermination des limites de convergence des développements de Taylor et de Maclaurin.
Supposons par exemple qu'on ait développé d'après la formule
de Maclaurin la fonction — — r» Remplaçons la variable, réelle i
par la variable géométrique v, et déterminons le rayon du cercle de convergence de la fonction
«»' — 1 en prenant Torigine pour centre {*).
Gela revient à chercher parmi les valeurs de t; qui rendent infini ou son inverse égal à zéro, celle qui pré-
sente le plus petit module. On reconnaît immédiatement que
cette valeur est
dont le module est Sx. Le développement de Gauchy est donc applicable pour toute valeur de v de module inférieur à 2-, et il en résulte comme cas particulier que le développement de Mac-
laurin est applicable à la fonction -;j — 7 pour toute valeur de i
inférieure à 2z en valeur absolue.
Mais il est essentiel d'observer que l'application de cette règle doit être exclusivement limitée aux fonctions réelles monodromes.
(*) On doit observer qurt la fonction ne cesse pas d'être continue quand la
variable s'annule, car pour 13=0 on a, d'après la règle sur rindétermination :
2S7. Théorème de l«aurent. — Supposons actuellement que la fonction (p(r), toujours monodrome, ne remplisse les conditions de la démonstration précédente que pour les valeurs de V tombant à l'intérieur d'une couronne comprise entre ^eux cercliBS de centre a et de rayons R et r.
Les mêmes conditions se trouve- , ., y ..
ront remplies dans la même région il II / )i
par la fonction
ïi±Z,îM = Y(z) z — V ^
et l'intégrale définie
F(z)dzi
prise le long d'un contour tel que mnpqstm sera encore égale à zéro. Mais les deux intégrales suivant pq et tm se détruisent et les cercles étant parcourus l'un dans le sens direct, l'autre dans le sens rétrograde, on a en définitive :
i^'^'^''=fr^^^'^'
Zt
c'est-à-dire :
or
'*'>©z-" ^^^Jr-Qz-v JrIQ Z-V JrQ z-v'
et
/oi^=['-^'-''i©=°-
Donc enfin
2«?(«) - jjQ ■j=r^ -j^Q Tii:^-
OU en développant les intégrales comme au parajgraphe précédent
Les deux développements sont convergents; leurs modules forment en effet deux progressions géométriques convergentes, puisque le module de {v — a), est toujours inférieur àc^lui de {z — a) pour la première intégrale, tandis qu'il lui est toujours supérieur pour la seconde.
Posons pour toute valeur positive de p
. ± r 9(^)dz
et pour toute valeur négative de la même lettre
^'-^érjr^^''^^'-''^''^"
En portant ces valeurs dans Téquation (5) nous obtiendrons le développement de Laurent.
(6) ? (u) = Ao + Al (t) — a) + A, ^v — a)« + ...
Ce développement se réduit à celui de Cauchy lorsque le cercle de rayon r ne renferme aucun point de discontinuité de la fonction ^{z), car alors l'intégrale
devient égale à zéro.
Dans le cas général, le théorème de Laurent fournit le développement d*une fonction (p (v) = ç [a + {v — a)] par rapport aux
puissances positives et négatives de Taccroissement (v— »; donné à la variable*
CALCUL INTÉGRAL 42i
2SS. C^onséquenee des théorèmes précédents.
— Une propriété importante des fonctions monodromes que nous avons énoncée sans la démontrer (§ 125), résulte comme conséquence immédiate du premier des théorèmes précédents. En effet, si une fonction f{v) s'annule pour v = a en restant finie, continue et monodrome aux environs de ce point, elle sera développable d après le théorème de Cauchy pour toutes les valeurs de v voisines de a, et pourra se mettre sous la forme
puisque f{à) est nul par hypothèse. Soit /'"'(a) la première dérivée de /", qui ne s*annule pas pour t; = a, on aura
cest-à-dire
en désignant par m un nombre entier positif et par ç{v) une fonction continue et monodrome aux environs du point a et qui ne s'annule pas en ce point. C'est précisément le résultat que nous avons énoncé au S 125.
