x = u, y = sin Uy

dy du

•rr = cos u -7- »

-r- = — sm X.

y = tgx; on a :

. smx

tgx = ,

° cosx

la règle du quotient donne

dy i dx cos*x

y = cotgx; on trouve, de même,

dx sin*x

y = une fonction algébrique quelconque de sinj*, cost, tangir

ou cotg^; on obtient la dérivée sans difficulté par la règle des fonctions de fonctions.

Remarque sur ces premières dérivations. — La fonction y étant explicite, la dérivée se présente naturellement sous la forme d'une fonction de x, mais le problème n*en sellait pas moins résolu si Ton trouvait -^ exprimé en fonction de y ou de j? et t/

simultanément, car l'équation de liaison F(j7, y) = 0 permettrait toujours, théoriquement du moins, d'éliminer //.

b. Fondions trigonomëtriques inverses.

Application de la remarque précédente :

y = arcsinx, cette équation revient à j: = siny, d'où, par application de la règle de dérivation du sinus,

et, par suite,

dx dy

= cos j/.

dy dx

cosi/ dbv^i— x«

Le double signe s'interprète sans difficulté. En effet, à un

sinus donné x correspondent tous les arcs

JfV^ — ^^VJW qui, aboutissant en M ou en M', rentrent

dans les deux formules

2kn + AM, (2fe + l)7c — AM.

Aux premiers arcs correspond le signe + de la dérivée, car dy a le même signe que dx^ l'arc croissant en même temps que le sinus. Aux seconds arcs correspond le signe — , car les différentielles sont de signes contraires.

y = arccosx. On trouve par un calcul tout analogue :

dy ^ \

dx ± v^i — x«'

Il est à remarquer que cette dérivée est identique à la précédente, résultat facile à prévoir, car

arc sînx ± arc cosx = - + 2li«,

les deux fonctions ayant une somme ou une différence constant^, leurs dérivées doivent être égales au signe près.

c. Fonction exponentielle.

y = a'\ la dérivée s'obtient directement. On a :

dy = «*+*' — a* == a* (a**— { ),

dy a^—i

dx dx

Posons a^ — 1 = 6, en désignant par e une quantité infiniment petite, puisque a'* tend vers Tunité.

Alors

dx La = L(l + e), d'où

dx L (1 + e) «

Or, on sait que

a pour limite le nombre e lorsque c est infiniment petit; donc le logarithme népérien de cette quantité a pour limite Tunité, et, par suite,

Remarquons, comme cas particulier, que e* aura pour dérivée ^; Texponentielle népérienne se reproduit donc par dérivation ; c*est à cette propriété remarquable que se rattache le rôle si important du nombre e en analyse.

d. Fonctions logarithmiques,

y = log^x. Le logarithme est la fonction inverse de l'exponentielle, en d'autres termes, la liaison est la même que dans le cas précédent, avec cette différence que cr et y y ont été permutés l'un dans Tautre. Ainsi, de y^log^x^ on déduit t = a"; de là

et, par suite.

-— = a'La;

dy i \

dx "~ a^l.a "" xl.a'

En particulier, si le logarithme est népérien, la dérivée se réduit

ai.

iO. Pour achever de résoudre complètement la question de la dérivation dans le cas de la liaison

il nous resterait encore à donner :

1® Une règle plus générale que les précédentes relative au cas de la fonction explicite yz=f{x)\

2® La règle des fonctions implicites.

Mais nous remettons à l'un des prochains paragraphes l'énoncé et la démonstration de ces deux règles, car elles se déduisent très simplement comme cas particulier de l'étude des fonctions de plusieurs variables.

Quand ces deux règles auront été données, nous aurons entièrement résolu la question pour la liaison à deux variables, c'està-dire que nous saurons toujours trouver, lorsqu'une pareille liaison nous sera donnée, une fonction de x qui pour toute valeur

dy de X représente la limite du rapport -~ relative à cette valeur,

ou, si Ton préfère, le coefficient angulaire correspondant de la tangente à la courbe figurative de la liaison.

Nous désignerons fréquemment cette fonction dérivée par la notation j/ ou par /"(^), si f(x) représente la valeur explicite de y.

De même, nous désignerons par a! la fonction dérivée de x par rapport à y, c'est-à-dire

dx la valeur du rapport -r- ou la cotangente de

l'angle 0, que fait avec Taxe des x la tan- ^y ® « ^ gente à la courbe.

Les deux fonctions j^, y' sont liées comme on Ta déjà vu par la relation

IT. liaison entre les dlITérentlelles de x et de y. —

Revenons maintenant à la question que nous nous étions posée tout d'abord, la recherche de la liaison entre les accroissements différentiels dx et dy, lorsque a? et y sont liés par une relation connue F(:r, y) = 0.

Supposons calculée la fonction dérivée y', on aura

dx ^'

d'où

dy = y'dx.

Il est évident que c'est là la liaison cherchée et qu'il ne saurait en exister une autre, car entre les accroissements finis ^x et Ay, dont l'un doit rester arbitraire, il ne peut y avoir qu'une seule liaison, et c'est cette liaison unique qui doit subsister à la limite entre les accroissements différentiels.

St COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

On voit ainsi que la recherche Jea dérivées nous a conduits i déterminer la liaison entre les différentielles dx et dy, ou, en d'autres termes, k différenlicr la liaison F{x,y) = 0. Mais ces deux problèmes n'en sont pas moins très distincts l'un de l'autre, et cette différence s'accentuera encore davantage lorsqu'il s'agira des dérivées d'ordre supérieur.