Transfonnatlon de Mntésrale de pr^mi^re

espèce. — Considérons l'intégrale de première espèce :

B(p,q) = / x'-*!! — x)«-*dx.

Il est d'abord facile de reconnaître la symétrie de cette intégrale relativement aux deux lettres p et q qu'elle renferme, car, si l'on remplace x par (1 — y), on trouve

Posons actuellement

et substituons à œ cette nouvelle variable, nous trouvons

mais à cause de la symétrie de B(/?,7) par rapport à p et à q on aura aussi :

et en ajoutant ces deux intégrales

Cette dernière égalité peut s'écrire, en coupant l'intégration en deux parties

(•) Cette intégrale est évidemment identique à / x«-* (1 — xj'^^dx, car le

changement de la lettre y dans la lettre x sous le signe / n'influe en rien sur

la valeur d'une intégrale définie, ainsi que nous Tavons obsen^é d^uoe façop générale (§ 948).

Mais si Ton fait s = - et si ron exprime en fonction de y la

seconde de ces deux intégrales, ce qui conduit à changer en 1 et 0 ses limites, elle devient

dy.

, (1 + y) *+«> ou

et l'on reconnaît ainsi qu'elle est identique à la première. Donc, enfin

(5) B:p,q)==| ^.j-^-^^^dz.

202. Expression de l^ntégrale de première espèce en fonction de celle de seconde espèce. — Les transformations que nous venons de faire subir à Tintégrale B(/?, q) conduisent à son expression au moyen d'intégrales de seconde espèce.

On a :

(6) / a^« e-»* doL = ^^

ainsi qu'on le vérifie aisément en posant 7lx=z. On en conclut :

D'autre part l'intégrale T'\(i) peut s'écrire

(7) r(g)=/ x^-^e-d.x=| ^>^^-^e «dx

Remplaçant sous le signe / , — par sa valeur précédente et

faisant sortir le facteur constant ctt-t des signes d'intégration.

on trouve :

et en intervertissant Tordre des intégrations :

r(p)r(q)= nï(^^^ r*x''+«-*e-*<»-H»)dxld«.

Posons actuellement

et substituons à x cette valeur dans l'intégrale en œ, il viendra:

Mais l'intégrale en z n'est autre que r(p + ç), et cette quantité indépendante de a peut sortir actuellement du premier signe d'intégration qui porte sur cette dernière lettre ; donc en définitive

r(p)r(9) = r(p+q)J jr:^^,da.

c'est-à-dire

en] se reportant à la forme donnée à l'intégrale B(/ï,î)p3f l'équation (4).