Propriétés de la transcendante eulérienne

r (n). ~ La relation que nous venons d'établir ramène l'étude des fonctions B(jp,?)à celle des fonctions F (n). Nous ne nous occuperons donc que de ces dernières et nous indiquerons quelques-unes de leurs propriétés principales.

Remarquons d'abord que l'intégrale qui sert à leur définition est finie et déterminée toutes les fois que n est positif.

En effet, pour ar=0, la quantité sous le signe / est nulle si

Il > 1 et si n est compris entre 0 et 1 elle devient infinie, mais sans rendre infinie l'intégrale (§ 251). Pour x variant de

0 à + oo, cette quantité reste constamment finie. Enfin, pour

j=Qo elle devient plus petite que toute puissance de - (*) et remplit par conséquent la condition nécessaire (S 2S2) pour qu'une intégrale soit finie lorsque le champ d'intégration s'étend à l'infini. L'intégrale peut donc servir à définir la fonction T[n) pour toute valeur positive de n. La propriété fondamentale que nous allons démontrer permet de compléter cette définition pour les valeurs négatives de la variable.

Intégrons par parties / x^e^'âx : nous trouvons c'est-à-dire, la quantité entre crochets étant nulle,

(ii) r(n + i) = nr(n),

relation applicable, d'après les remarques précédentes, de n=0 àn = oo.

En particulier pour les valeurs entières de n, l'application réitérée de cette relation conduit à :

(12) r(n + 1) = 1.8.3.. nr(l) = 1.2.3... n.

car

^X'^'^'^^-Ho^^-

On voit qu'en définitive pour toute valeur positive et entière

n En effet, /^^^' = quantité dont la limite est zéro, quel que

soit p, comme on Ta observé au § 70.

de la variable, la fonction se réduit au produit des nombres naturels.

Si n est fractionnaire, l'application de la formule permet toujours de ramener le calcul de r(n) à des valeurs de n comprises entre 0 et 1 .

Enfin si n devient nul, la relation

applicable quel que petit que soit e, donne à la limite

r(0) = mi=c..

Dans le cas de n négatif, c'est l'équation (11) qui sert à la définition même de la transcendante.

Elle montre immédiatement que r(n) est infini pour toute valeur négative et entière de n, puisque par exemple

etc.

Elle ramène enfin le calcul de r(n) pour les valeurs de n négatives et fractionnaires de la variable, au calcul de cette même fonction pour n compris entre 0 et + 1.

Ainsi, par exemple :

K-^)=(-A)-H)=(-è)(-l)KD-

La transcendante F est ainsi complètement définie et Ton saura la calculer pour toute valeur réelle de la variable lorsqu'on l'aura calculée pour les valeurs de n comprises entre 0 et + 1.

Ce champ d'étude peut être encore réduit, grâce à la propriété suivante.

Appliquons la relation

au cas où p-\-q=^i : nous trouvons d'après la formule (3)

or cette dernière intégrale, pourp compris entre 0 et 1, est Donc pour toute valeur de p comprise entre 0 et 1

smpTc

et par conséquent, si Ton connaît les valeurs de la transcendante r pour jo compris entre 0 et ^ on en déduira immédiatement celles qui répondent à des valeurs de p comprises entre ^etl.

En particulier pour p= « la formule (13) donne d'où

0 Cette valeur de r(-j peut se déduire dun résultat précédemment obtenu.

En effet,

ou en posant x = z'

et nous avons trouvé (§ 8d5)

Nous signalerons enfin, sans la démontrer, la relation suivante, donnée pour la première fois par Euler :

La représentation géométrique de la transcendante r, entre les valeurs 0 et + 00 de la variable, conduit à une courbe affectant la forme ci-contre : F est infini pour n = 0; il est égal à 1 pour n = l et n = 2 et passe dans rintervalle pour un minimum ; enfin il redevient infini lorsque n= + ^^-