D. FONCTIONS ELLIPTIQUES

294. Déflnltions et notations. — Nous avons défini (S 243) les trois intégrales elliptiques de première, de seconde et de troisième espèce.

Considérons en particulier l'intégrale de première espèce.

Les deux fonctions directe et inverse U et V qui sont définies par Téquation

se trouvent déterminées comme les fonctions

U = Ï.V U=arctgV U = arcsinV, et leurs inverses

V = eU V = tg U y = sin U, peuvent Têtre par les intégrales correspondantes :

CALCUL INTEGRAL 43i

Posons comme au S

V = sin 9,

et soit * la valeur de 9 correspondant à V. la liaison (I) s'écrira :

la variable auxiliaire ainsi introduite comme intermédiaire entre U et V, se nomme, d'après Jacobi, Y amplitude de U ; réciproquement U est dit Yargument de $ et la liaison entre ces deux variables s'exprime en écrivant :

^ = am. U, U = arg. am. *.

Quant à la variable V, elle est le sinus de l'amplitude de U^ et Ton écrit :

Y = sin am, U,

V = SnU,

si l'on adopte, comme nous le ferons dans la suite, les notations simplifiées introduites par Gudermann.

En dehors de la fonction Y que nous venons de définir, il est naturel de considérer aussi les autres fonctions trigonométriques de $, par exemple :

ces 4» que Ton noiera CnU el qui est égal à v^l — Sn*U,

♦ A ^ tî SnU- SnU tg * » TnU » 77-73 = -==

CnU v^rrsnUJ

Enfin l'expression

V^l— A* sin* * = v^i — /i«Sn«U,

que nous avons représentée par Aç, constitue avec la notation

dnU, une quatrième fonction elliptique.

Toutes ces transcendantes, qui dérivent de l'intégrale elliptique de première espèce, s'expriment très simplement, comme on voit, en fonction de. Tune d'elle, Sn U par exemple.

Lorsque le module k s'annule, l'amplitude ^ devient égale à l'argument U, et par suite, les trois premières fonctions elliptiques se réduisent aux fonctions circulaires

sinU, cosU, tg U,

et la dernière devient Tunité.

Quand le module k prend la valeur + 1 1 les trois premières fonctions deviennent les fonctions hyperboliques qui sont les analogues dans Thyperbole équilatère des fonctions circulaires dans le cercle.

SOS. Étude de la fonction BnIJf. — Nous avons déjà démontré (S 266) que la fonction SnU était doublement périodique^ c'est-à-dire qu'elle reprenait la même valeur lorsqu'on augmentait sa variable U des multiples de deux quantités donuéeî^.

Les deux périodes de SnU sont 4 K et 2 K'i, en représentant parK et K' les intégrales rectilignes complètes

j« + Vil -c'ju -**»*)

relatives aux modules complémentaires A et k', liés entre eaî par la -condition

La double périodicité de la fonction SnU s'exprime en écrivant :

SniU + 4mK + 2aiK') = SnU O,

Etudions actuellement la marche simultanée des deux variables U et V qui sont fonctions Tune de l'autre par la relation (1).

Pour cela, nous déplacerons successivement la limite V sur une série de droites telles que OR issues de l'origine et faisant avec OX un angle variable a, et nous pourrons nous borner à considérer les valeurs de U fournies par l'in-

tégrale rectiligne / , puisque

les autres valeurs obtenues

par des courbes d'intégration

quelconques ne diffèrent de celles ci que par un nombre entier de

périodes.

La valeur de U partira donc de zéro avec V, mais elle sera susceptible de deux déterminations U et U' égales et de signes contraires, selon le signe qu'on attribuera à la

dérivée

Nous adopterons la détermination U qui correspond pour Y = o à la valeur + 1 de cette dérivée.

Représentons pour simplifier, comme au S 20G, par re*», rV'S r'e^^ST^V* les quantités (v— 1), {v+l), {kv—l), {kv+l), et par p le module de v, l'intégrale se mettra sous la forme

'ly

(rr' r" r'") î

-dp .

(*) Observons que d'après la définition de K et de K'

SnK = 1

Sn(R+iK')=^

Le choix que nous venons de faire dans la détermination de U revient à prendre z(^ro pour les valeurs initiales de 0' et H'' ^ et — -;: pour celles de 0 et 6".

Gela posé, faisons suivre d'abord à Y la direction OX en ayant soin d'éviter les points critiques + 1 et + r par des contours infiniment petits décrits au-dessus de Taxe.

Lorsque Y se transporte de 0 à + 1, les éléments de l'intégrale sont tous dirigés suivant OX, car ils ont constamment pour argument

c'est-à-dire zéro. L'intégrale U va donc en croissant dans la direction OX et elle atteint pour Y = i la valeur + K. La rotation de V autour du point -fl n'augmente l'intégrale que d'une quantité négligeable (S 266;, mais elle diminue de r, Tar-

— ^'""^^ guraent 6 du facteur jy**,

: + y^ ^' par suite elle augmente

de ^ celui de la diffêreii-

tielle qui se trouve dès lors dirigée suivant OY et qui conservt^ cette direction pour tous les éléments de l'intégrale compris entre

V = i et r = 7-

L'intégrale s'augmente ainsi de la valeur K' dans la direction OY.

La rotation de Y autour du point + t- a un effet tout analogue

à celui de la rotation autour de -|- 1 : elle diminue de t. l'argument de i-^'e'''' et augmente de nouveau de ^ celui de la différen-

CALCUL INTFXRAL

licUe qui prend à ce moment la direction OX'. L'extrémité de U décrit donc la parallèle K'K" à l'axe OX et elle aboutit finalement au point K'' sur OY, car en substituant à r la nouvelle variable w telle que

on trouve pour la valeur absolue de l'intégrale entre + r^t + cy-'

c'est-à-dire K.

En résumé, quand V parcourt l'axe OX suivant le trait ponctué, r décrit la ligne brisée OKK'K" marquée en gros trait plein sur la ligure.

Actuellement, faisons parcourir à V une droite OU quelconque. \\ e^it facile de reconnaître d'abord que la courbe décrite par U part de 0 pour aboutir en K".

En effet, si nous traçons un arc de cercle quelconque V,V entre l'axe OX et la droite OR, le contour OV,V ne renfermant .UK'un point critique, on a :

Mais lorsque V s'éloigne à l'infini sur OU, on vérifie sans diffi-

culte que Tintégrale circulaire devient nulle, donc l'intégrale de zéro à l'infini suivant une droite quelconque est toujours égale à celle prise suivant OX, c'est-à-dire à OK".

De plus, la différentielle donne par sa direction celle de l'élément de courbe U, et comme l'argument de cette différentielle part de la valeur x pour t; = o et atteint la valeur — a pour 15 = co (*), on voit que la tangente à la courbe U en 0 est la droite OR elle-même et que [celle en K" est symétrique de la première par rapport aux axes.

Déplaçons actuellement la limite Y à partir d'une situation

prise sur OR en lui faisant YI parcourir sur le cercle V,\

un arc infiniment petit Y\' j^* de manière à la transpor-

ter sur une autre droite OR'. L'extrémité correspondante de U subira un déplacement infinitésimal

UU' faisant l'angle + ^ avec

la direction de la courbe (Uj que U aurait continuée à suivre si V avait continué à se déplacer sur OR.

Les différents points de la courbe U' correspondant à la droite OR' pouvant tous se déduire de ceux de la courbe U d'une manière analogue, on voit que la courbe D' ne peut couper la courbe U et qu'elle s'obtient par une déformation infiniment petite qui transporte cette dernière vers Taxe OY. Il suit de là quejlorsque la droite OR parcourt le quadrant XOY, la courbe U balaie tout l'intérieur du rectangle pour passer de la ligne brisée initiale OKK'K" à la ligne droite finale OK" qu'on obtient ' lorsque Y décrit OY, parce qu'alors la somme (6 + ^' + ô'^^ ©'"jetant constamment nulle par raison de symétrie, l'argument de ladiffé-

rentielle est constamment égal à a, c'est-à-dire à ^.

I*) Puisque 0, 0', 0" 0'" deviennent tous égaux à a à la limite.

CAiXLL INTKGRAL

Si Ton fait mouvoir la droite OR dans les trois autres angles des coordonnées, la courbe (U) balaie successivement chacun des trois rectangles OHLK", OHH'H", OKMH" égaux à OKK'K" et symétriques de celui-ci par rapport aux axes et au centre. Ainsi lors-

ff"

que V occupe successivement toutes les positions possibles dans le plan, l'extrémité de U coïncide successivement et une fois seulement (*) avec tous les points du rectangle K'LH'M, ayant 0 pour centre et 2K, 2K' pour côtés.

Quant aux autres valeurs de l'intégrale correspondant à une même valeur de V, elles s'obtiennent conmie on l'a vu, en^'ajoutant au chemin d'intégration un certain nombre de périodes.

L'intégrale U prend ainsi des valeurs de la forme

U + 2mK + 2nK',

— U + 2ni K + 2n K',

selon que m est pair ou impair. A la première hypothèse correspondent les points U des rectangles ombrés de la figure; à la seconde les points U' des rectangles laissés en blanc, et Ton voit que lorsque V décrit le plan, chacune de ces valeurs de U reste

(*) Sauf toutefois pour les points K" et H" qui correspondent aux modules inBnis de V.

438 COURS DK CALCll, DIFKKRENTIKI. ET INTÉGRAI. 1

dans le rectangle auquel elle appai'tient et en occupe successivempiit et une seule fois tous les points.

On reconnaît ainsi que la fonction V ou SnU est monodi-ome. o'est-à dire qu'à une valeur donnée de U correspond une valeur

unique de SnU, sauf toutefois pour les valeurs de U qui rendent SdU infini.

Il résulte aussi de l'étude que nous venons de faire que 1* fonction SnU est impaire, c'est-à-dire qu'elle change de sigae avec la variable. En effet, on a vu que si Vsechangeait en— V,l se transformait en — U. donc :

Sn(-L") = — SnU.

290. Dérivées de« fonctlona elliptiques. — Lesil'rivées des fonctions elliptiques s'obtiennent sans difficult''. On a:

dSnU <^sin* rf* AË*r IT lî dU ~ d* (JU ~ *^"^ ((U ~ dlj '

^ = v'i — A»sin'* = di] l] , donc enfin (1) iilï = CnUd„U,

de même

(2) î^ = -SnUdnU,

SnU CnUdSnU-SnUdCnU dTnU dCnU dU dnU

dU dU (.CuUy* (CnU)*

à cause de

Sn'U + Cn»U = l.

Toutes ces formules présentent une analogie visible avec celles qui ont été établies pour les fonctions circulaires auxquelles les fonctions elliptiques se réduisent d'ailleurs lorsque le module k devient égal à zéro.

207. Addition des arsuments t formule Ibndamentale. — Si Ton prenait comme définition de la fonction Y== sin U la relation

on pourrait en déduire directement la formule qui donne sin (U + U'), en fonction des sinus et cosinus de U et de U'. En effet, si dans l'expression

on faisait varier U et U', et par conséquent aussi V et Y, «n laissant (U + U') constant, on aurait entre les limites V et V et leurs diflférentielles la condition

dV dY

qui résulte de la règle de différentiation d'une intégrale par rapport à Tune de ses limites.

Cette relation s'intègre facilement au moyen d'une variable auxiliaire t, en posant

dY dY

d'où

et par différentiation

dp ~ ' " ' \'i

la combinaison de ces deux équations fournit Téquation .

qui s'intègre immédiatement et donne :

(6) V ^' - V |y = constante,

c'est-à-dire à cause des valeurs de -r- —

dt dt

(7) Vv^l — V* + VVi — V' = W,

en désignant par W le sinus de (U + U'), car pour V'=0. V devient égal à W.

Cette équation peut s'écrire :

(8) sinUcosU' + sinU'cosU = sin(U+U'); c'est la formule fondamentale de la trigonométrie.

Une marche analogue conduit pour les fonctions elliptiques à la formule fondamentale relative à l'addition des arguments.

Nous adopterons pour ce calcul la méthode d'intégration suivante due à M. Darboux.

La relation (2) ci-dessus se trouve remplacée par la suivante ;

dV dv;

L'introduction de la variable auxiliaire t conduit aui relations :

d'où Ton déduit par différentiation :

(S = -V(l + fe«-2ft«V),

f ^= — V'(l + fe» — 2/j»V'») \ ai

La combinaison de ces deux équations donne :

I5'i V'^ - V ^ = 2/t* VV (V« - V'*).

D'autre part en multipliant respectivement par Y'* et V* les équations (3') élevées au carré et les retranchant ensuite on trouve :

Divisant membre à membre (5') et (5"), il vient :

rf'V d»V'

..,. , dr- "^ d/» 2ft«VV'

rS'-{'v)-

i-fttvîvt

Si Ton multiplie les deux membres de cette équation par