Application A quelques exemples. — Ncus

appliquerons la méthode de Lagrange à l'exemple donné par

Lagrange lui-même.

Soit l'équation

{px—y) (p«— 2y) + x* = 0,

dxj où p représente le rapport -^, Développant et ordonnant en ;^

dx

il vient :

xV — 3xî/p + x' + 2î/« = 0.

La condition d'égalité des racines donne la relation :

qui vérifie l'équation différentielle et représente bien par consé quent l'intégrale singulière.

Soit encore l'équation (1) p^y^-''iapy'\' y* + o« — 2ax = 0.

En appliquant la méthode de Lagrange, on est conduit à la relation:

qui représente bien une solution singulière de Téquation proposée, comme on peut s'en assurer facilement.

En effet, Téquation différentielle (1) appartient à une série de cercles :

(3) y* — 2ax + x» — 2cx -|- c« = 0,

inscrits dans la parabole

î/« = 2ax, qui est leur enveloppe.

305. Caractère dUitlnctlf de la solatlon sliiipnlière dune équatton du premier ordre. — Supposons qu'étant donnée une équation du premier ordre

on ait trouvé par un procédé quelconque une relation :

qui y satisfasse : on veut savoir si cette relation est une solution singulière ou une intégrale particulière de Téquation (1).

Quand l'intégrale générale

<^st connue, la distinction est facile à établir. En effet, si la relation (2) représente une intégrale particulière, elle doit être identifiable avec l'équation (3) pour une valeur spéciale de la <M)nstante c. Si donc on élimine entre (2) et (3) Tune des deux variables, x par exemple, l'équation résultant de cette élimination ne devra pas renfermer y, puisqu'elle doit se réduire à une identité pour une valeur particulière attribuée à la constante c.

Si l'intégrale générale n'est pas connue, on peut raisonner de la manière suivante (dans le cas du moins des quantités réelles).

La solution :

supposée singulière doit représenter, comme on l'a vu, l'enve-

loppe de la série des courbes qui forment l'intégrale générale; cette solution doit donc fournir en chacun de ses points la même

dy valeur de -^ que les intégrales particulières auxquelles l'enveloppe est tangente.

Mais si Tenveloppe est tangente aux enveloppées, en général elle n'a pas avec elles un contact d'ordre supérieur. Or, on a vu (S 133) que les contacts de deux courbes s'exprimaient par l'égalité des dérivées de y, déduites de leurs équations.

Si donc on forme par la dérivation de 1 équation (2) les dérivées successives t/, y^^ y""... ces dérivées à partir de la seconde, ne conviendront pas, en général, aux enveloppées et devront différer par conséquent de celles que fournit la dérivation de r équation

On reconnaîtra ainsi, généralement sans difficulté, si la solu tion ç(j7, 1/) = 0 appartient à l'intégrale générale ou représente une solution singulière de l'équation différentielle proposée.

Le même procédé peut être employé dans le cas où les variables ne sont pas réelles, bien qu'alors l'interprétation géométrique qui nous a servi à éclairer le raisonnement ne soit pa? applicable.

Nous devons observer enfin que dans certains cas extrêmement particuliers la solution singulière pourrait présenter un

f ) Remarquons que si la valeur de y' déduite de réquatioD (2) satisfit à réquation (1), elle n'est pas néanmoins identique à celle qu^on pourrait tirer de cette dernière relation; ces deux valeurs ne sont égales qu'en tenant compte de l'équation

On s'explique ainsi comment les dérivées suivantes peuvent différer selon qu'on les déduit de l'équation (2) qui est constamment vérifiée quand on suit Tenveloppe, ou de Téquation (1) qui est seule satisfaite d'une manière continue quand on se déplace sur une enveloppée.

contact d'ordre infini avec les intégrales particulières sans pourtant se confondre avec elles.

Par exemple, les courbes de la série représentée par Téqualion

y = e'-', tpii forment l'intégrale générale de Téquation ;

sont toutes tangentes à la droite

et présentent un contact d'ordre infini avec elle au point ar=c, bien que cette droite ne puisse s'identifier pour aucune valeur de c avec une courbe de la série.

300. Application k un exemple. — Reprenons l'équation différentielle du S 304

et appliquons à la solution :

la méthode qui vient d'être indiquée. Nous trouverons par l'équation (2)

tandis que Téquation (1) donne par dérivation, après suppression du facteur py — a,

La solution (2) est donc une solution singulière.

PROCÉDÉS PARTICULIERS POUR l'iNTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES

30*7. Ainsi que nouslavons déjà dit, on ne connaît pas de méthode générale pour l'intégration des équations différentielles ; on se borne à résoudre la question d'une façon plus ou moins complète par certains procédés applicables à des cas particuliers très simples.

A. Équations du premier ordre.

Si l'équation du premier ordre ne renferme en dehors du coefiScient différentiel -^ qu'une seule des deux lettres x ou y, on

pourra toujours, en la résolvant par rapport à -^^ la mettre sous