CL3D

Tune des deux formes

et la solution se ramène à une quadrature (*).

Dans le cas général, l'équation du premier ordre, résolue par rapport à -^t peut toujours se mettre sous la forme

VLdx + Ndy = 0,

M et N étant des fonctions de ir et de y.

On ne sait intégrer cette équation que dans certains cas particuliers.

(*) Bien que le problème de la quadrature n'ait pas été résolu d'une façon complète, nous considérerons dans la suite Tintégration d'une équation difTérentielle comme elTectuée toutes les fois que nous Taurons ramenée à de simples quadratures.

30â. Séftaration des variables. — Si Ton parvient, par exemple, à séparer les variables et à ramener Téquation différentielle à la forme :

chacun des deux membres représente alors la différentielle d'une fonction d'une seule lettre, et, pour que ces différentielles soient égales, il faut que les fonctions elles-mêmes ne diffèrent que par une constante.

En effectuant les deux quadratures et en désignant par*(ir) et Y(î/) les résultats

sera l'intégrale générale de l'équation proposée. Exemple. — Soit l'équation

ydx — (x — a)dy'=0,

que l'on peut écrire

dx dy X — a y

On obtient par la quadrature des deux membres :

L(x — a) = Ly + Le,

d'où

X — a:=cy.

L'intégrale générale représente un faisceau de droites passant toutes par le point a? = a de Taxe OX. L'enveloppe de ces droites est le point A lui-même.

300. Bquatlons lioinogènes. — Si les fonctions M et. N sont homogènes et de même degré d'homogénéité en x et y, là séparation des variables peut toujours s'obtenir au moyen de la substitution suivante. On pose :

y = ix,

d'où

dy = tdx + xdtf

et l'équation devient, en mettant Thomogénéité des fonctions M et N en évidence :

? (0 djc + 4» (0 {tdx + xdt) = 0, ou

dx{f{t)+t^it))'\'X^{t)dt = 0,

divisant alors par ,r(ç(^)+ ^^'(O) ^^ obtient Téquation

dx 4> CO dt

où les variables sont séparées.

310. Quelquefois les fonctions M et N ne sont pas Lomogènes, mais on peut les rendre homogènes par un chaûgement de variables.

Exemple :

(a + 6x -h cy) dx + (a' + b'x + c'y) dy = 0.

Les équations

a + 6x + Cl/ = 0, a' + b'x + c'y = 0,

prises séparément, représentent chacune une droite.

Écartons le cas particulier où ces droites seraient parallèles. et désignons par Ç et yj les coordonnées de leur point d'intersection.

Transportons Torigine en ce point, ce qui revient à remplacer dans Téquation

X par x' + Ç, y par y' + tj,

d'où

dy = dy\

et l'équation devient :

(a + bx' + cy' + 65 + cij) dx' + (a' + b'x' + c'y' + 6'Ç + c'ij) dy'=0.

Mais les quantités a + *Ç + et) et a' + ft'Ç + c'tj sont nulles par hypothèse ; il reste donc :

(bx' + cy') dx' + (6'x' + c'j/') dy' = 0,

équation homogène, intégrable par le procédé du paragraphe précédent.

311. Conditions d'IntégrablUté de TexpreMlon dif» féremtlelle Mdx + IV dy. — Il peut se faire que Texpres- .sion différentielle H(£r + Nd^ qui égalée à zéro constitue Téquation différentielle proposée, soit la différentielle totale d*une certaine fonction tt de y et de x. Alors :

dx

dy

et Ton doit avoir

dM dN dy dx'

puisque ces deux quantités sont égales à .

Cette condition est nécessaire, mais de plus elle est suffisante comme nous allons le démontrer.

En effet, en la supposant vérifiée, la relation

w du

dx

à laquelle doit satisfaire la fonction u, si elle existe, conduit par une quadrature en x (où la lettre y doit être considérée comme une constante) à une valeur de u telle que

vO

u = Judx + fiy) = F(x, y) + 9(y)

OÙ 9 (y) désigne une fonction arbitraire de la seule variable y, et F (a?, y) le résultat de l'intégration en x de }/Ldx.

D'ailleurs -r- doit être égal àN, donc dy

dy^dy^^'

condition qui doit permettre de déterminer la fonction ç. Elle donne en effet

Mais pour que l'intégration fournisse un résultat admissible, il faut que ce résultat soit indépendant de a?, puisque 9 [y) ne renferme pas x par hypothèse. Donc la dérivée de

par rapport à x doit être nulle, et, par suite, d'après la règle de différentiation sous le signe /, on doit avoir

dN d«F dx dxdy^

condition qui se trouve effectivement vérifiée puisque n'est

dU , dM dN autre que -r- et que -r^ = :r- .

dy dy dx

On voit que la démonstration même fournit dans ce cas le pro"

cédé d'intégration de l'équation Mdx -j-Ndy == 0, car, la fonction

u se trouvant déterminée et l'équation pouvant 8*écrire dtt = 0,

il suffit d'égaler u à une constante pour en avoir l'intégrale

générale.