Théorie des multiplicateurs. — Si la condition

dM dN

dy ~~ dx

n'est pas satisfaite, on peut démontrer qu'il existe toujours des fonctions de x et de y, telles qu'en multipliant par ces fonctiois l'expression :

Mdx-f Ndy,

elle se transforme en une différentielle exacte. En effet, l'équation différentielle

admettant toujours, comme on la vu, une intégrale générale avec une constante arbitraire, telle que

cette intégrale résolue par rapport à la constante c pourra se mettre sous la forme

u désignant une fonction de x et de y : elle conduira donc par difFérentiation à la liaison

(3) pdx-^pdy^O.

^ ^ dx dy ^

entre les différentielles, et comme cette liaison doit être identique

avec Téquation différentielle (1), il s'ensuit que Ton doit avoir

identiquement

du du dx dy