M ~ TT
désignons par ç {x,y) ou v la valeur commune de ces deux rapports, il viendra
du --
dx
du „
-j- = Nu • dy '
Si donc on multiplie par v Texpression proposée elle se transforme en
Mvdx + Nvdy,
ou ;
du , . du .
-r- dx + -r- dy, dx ^ dy ^'
C est-à-dire qu'elle devient la différentielle totale d'une fonction u.
Le facteur v est dit pour cette raison multiplicateur de l'expression proposée.
Mais il est à remarquer que toute expression formée avec le produit de v par une fonction quelconque «p {u) de u constitue un nouveau multiplicateur. En effet :
V 9 (u) (Mdx + Ndy) = ?(«) du.
Et réciproquement, il est facile de voir que tout facteur d'intcgrabilité doit se ramener à cette forme.
Pour le démontrer, désignons par V un pareil facteur et par d\] la différentielle totale en laquelle l'expression donnée, multipliée par V, se trouve transformée;
On a;
(5) Mdx--hXdi/ = ÎÎJi = '-^,
donc
(6) ciU = -tiu.
Or, u étant fonction de y et de x, réciproquement y peut être regardé comme une fonction de x et de te, et par suite U luimême, en y substituant à y sa valeur, devient fonction de j: et de u; sa différentielle totale dU devrait donc être de la forme
dU = Pdu + Qd.T.
Mais la relation (6) fait voir, que cette différentielle se réduit à son premier terme, ce qui prouve que U est fonction de u seulement : et comme alors il doit en être de même de sa dérivée
-7- , il en résulte que du
d'où
V dU . .
V du ^^ ^
V = uf(u),
313. La connaissance d'un multiplicateur de TexpressioD Udx + Nrfî/ permet d'obtenir comme on Ta vu au S 311 , l'intégrale générale de l'équation différentielle formée en égalant à zéro cette expression.
Si l'on connaissait deux multiplicateurs différents, leur quotient devant être comme on Ta démontré une fonction de ti, il suffirait d'égaler ce quotient à une constante pour avoir l'intégrale générale cherchée.
Enfin, en désignant par v un multiplicateur, l'équation différentielle peut s'écrire
et Ton peut y satisfaire soit en annulant du, ce qui fournit Tintéli^rale générale, soit en faisant
solution sans constante arbitraire et qui doit représenter Tintéi^rale singulière ; à moins qu'elle ne rentre elle-même comme cas particulier dans Tintégrale générale.
314. Application À un exemple. — Considérons par exemple Téquation très simple
ydx — X dy = 0,
qui s'intègre d'ailleurs sans difficulté par la séparation des variables et conduit à l'intégrale générale y = cx figurée par un faisceau de droites qui conver- ^
gent à l'origine.
On reconnaît sans peine que
xy
et
sont deux multiplicateurs. En effet, le produit de ydx — xdy par i; est
dx dy ^ .y
et satisfait à la condition -r^- = — , puisque ces deux dérivées
sont nulles ; d'autre part, le produit par v' satisfait également à cette condition, car on a :
A ( y \ = J^ziiL = j1 / — 3c \
L'intégrale générale doit donc s'obtenir en posant
—. = constante :
effectivement on trouve ainsi :
d'où
La solution
^ = constante »
xy
^ = constante.
- = xysa 0,
rentre comme cas particulier dans l'intégrale générale : elle 5e dédouble en a? = o (axe des y) et y = o (axe des x). La solution
représente au contraire une intégrale singulière : c'est le point origine œ^y^ o, qui est effectivement l'enveloppe des droites formant l'intégrale générale.
