Transformatloiui inflnltéslmales. — On yoit

par ce qui précède que la résolution de l'équation du premier ordre revient à la recherche des multiplicateurs de l'expression Udx + Ndy.

Malheureusement, cette recherche constitue un problème qu'on ne sait pas traiter d'une façon générale, et l'on est réduit à l'essai de quelques procédés particuliers dont l'emploi peut réussir dans certains cas spéciaux.

Parmi ces procédés, nous signalerons celui qui se rattache aux transformations infinitésimales de l'équation proposée.

M Posons ïû^ = — P et dans l'équation (1) mise sous la forme

substituons k x et k y des valeurs infiniment peu différentes formées en ajoutant à ces lettres les produits d'un facteur différentiel e par deux nouvelles fonctions Ç et ij de a? et de y.

L'écjuation deviendra, en considérant eÇ et ev; comme des accroissements attribués h x et d y et développant la fonction P par la formule de Taylor.

c'est-à-dire en négligeant les infiniment petits du troisième ordre.

«['*■fê-^^)]''•=[■•*•('i^îS^4^S)]-•

On dira que l'équation proposée admet la transformation infinitésimale Ç, tj, si ces fonctions sont telles que l'équation (2) reproduise à un facteur près l'équation proposée. La condition imposée à ^ et à Y} s'exprime par la relation :

\d^j ^ dy) P

que l'on peut écrire en la simplifiant et posant

dx dy dy*

OU bien encore

Sous cette forme elle montre que, si Ç n'est pas nul, — =:

Ç t) — PC est un multiplicateur de dy — Pdx, car la relation

dx dy ^

exprime précisément la condition nécessaire pour que — dy — -dx

soit une différentielle exacte.

Ainsi, si Ton parvient par un moyen quelconque à découvrir une transformation infinitésimale de Téquation proposée, on aura trouvé par cela même un de ses multiplicateurs.

31 G. Application A un escempie. — Prenons, par exemple, le cas déjà traité des équations homogènes : P se présente

alors sous la forme d'une fonction de — ? et Ton reconnaît immé-

diatement que la transformation infinitésimale

convient à Téquation proposée , puisqu'elle ne modifie pas la

valeur de - et qu'elle multiplie seulement dy et dx par le facteur

(1 + s) ; p-» sera donc un facteur d'intégrabilité.

Ainsi, soit Téquation homogène

on a dans ce cas

dy -^ ^ ^ dx = 0, xy

y — Px X*

et l'on vérifie aisément que la multiplication par — ~ transforme le premier membre de l'équation en une différentielle exacte.

3 l'y. Bquation linéaire du premier ordre. — L'équation du premier ordre peut s'intégrer d'une façon générale toutes les fois qu'elle peut se mettre sous la forme :

(1) 5|+Pî/ + Û = 0,

(P et Q étant deux fonctions de x)^ ou sous une forme analogue

dans laquelle le rôle des deux lettres x et y serait interverti. Nous verrons que cette équation rentre alors dans le type des équations linéaires qui seront définies plus loin.

Supposons d'abord le cas simple où Q = 0.

Alors les variables se séparent sans difficulté et Ton a :

Î^ = -Pdx,

d'où

(2) y = e'' =Ae ^ ,

A étant une constante arbitraire.

Si Q diffère de zéro, la solution nous sera fournie par la méthode de la variation des arbitraires.

On est assez naturellement conduit à Tessai de ce procédé. Il est présumable, en effet, que l'intégrale, devant se réduire à l'expression précédente dans le cas de Q = 0, doit être dans le cas général d'une forme algébrique analogue. C'est ainsi qu'on est amené à se demander si en remplaçant la constante arbitraire A par une fonction de a? à déterminer, on ne pourrait pas obtenir une expression satisfaisant à l'équation différentielle complète.

Soit donc

(3) y = Ae"-^^*^,

une nouvelle expression dans laquelle A représente actuellement une fonction de x\ nous allons essayer de déterminer cette fonction de manière à ce que y satisfasse à l'équation différentielle proposée.

De l'équation (3) on déduit :

^ = ^e-/ï*^-APe-/^^ dx dx

et en portant dans (1) on obtient, après simplification, la condition :

d'où, par une simple quadrature :

Par suite (4) ,= (A.-/Qe^^-^'dx)e-^-.

est rintégrale générale cherchée, puisque c'est une liaison entre ic et y satisfaisant à Téquation différentielle (1) et renfermant une constante arbitraire A^.