Application à un exemple. — Soit à intégrer

dans ce cas

/ Pdx = i.x,

- f Pd* -/ X i

donc enfin

31 o. Équations de BemoulUi. — On peut ramener au

type précédent toute équation de la forme :

^ + Py+Qy" = o,

où P et Q sont des fonctions de x.

En eflFet, cette équation peut s'écrire :

Or, en posant

dz = (i — n)îr*dy,

et, en substituant à y la nouvelle variable z^ Téquation devient

g + (i-n)Pz + (l-n)û = 0,

et rentre bien ainsi dans la forme résolue.

320. Intégration i>ar dlITérentlatton. — Étant donnée une équation du premier ordre

de degré supérieur à Tunité par napport à -p , au lieu de la résoudre par rapport à cette dérivée, il peut être préférable dans certains cas d en tirer la valeur de Tune des deux lettres a? et y et de la mettre, par exemple, sous la forme

Posant alors

on pourra considérer l'équation (1') comme résultant de l'élimination de la variable p entre la relation (2) et l'équation

Mais cette dernièrp donne par différentiation

c'est-à-dire à cause de (2)

(3) (p — ?'x)dx = ?'p^P-

Cette équation différentielle du premier ordre entre x et p peut être plus facilement intégrable que Téquation proposée.

Supposons qu'on en puisse effectuer l'intégration : on obtiendra alors une relation entre x et p renfermant une constante arbitraire et de la forme

Éliminant alors p entre les relations (4) et (1*), on arrive à une liaison entre x et y renfermant une constante arbitraire, qui est Imtégrale générale de Téquation (1).

Le procédé réussit notamment dans le cas où le second membre de l'équation (1"^ est linéaire par rapport à x, et par conséquent de la forme

car alors l'équation différentielle (3) est linéaire en x.