Équation de Clatraut. — Soit en particulier l'éqaation

(i) . y = px + r{ph

connue sous le nom à! équation de Clairaut. L'équation (3) devient dans ce cas :

[* + r(p)idp=o,

et fournit les deux solutions :

Cette dernière renferme seule une constante arbitraire et conduit à l'intégrale générale :

y = ex + f{c],

qui représente une série de droites, La relation

donnerait par élimination de p la solution singulière, enveloppe des droites de la série.

322. Application à quelques ex:eniple«. — a) Proposons-nous de déterminer une courbe telle que le produit des distances de deux points fixes f et f k sa tangente ait une valeur constante ft*.

Prenons pour axes ff et la perpendiculaire à //^ en son milieu et soit 2c la distance ff.

La tangente à la courbe Y

cherchée en un point m{x,y) sera, en désignant par p le

coefficient différentiel^,

et la condition du problème s'exprimera par Téquation différentielle

(px^y4- pc) (px — y^pc) __ ^, 4+p« " '

OU, en posant 6* -\-c^ =za"^

(pjc — yf = 6' + a V»

relation qu'on peut écrire, en la résolvant par rapport à y

C'est une équation de Clairaut dont l'intégrale générale est la série de droites

î/=Cx±: V^'-ra'C*,

et dont l'intégrale singulière, obtenue par la méthode du paragraphe précédent, est l'ellipse

enveloppe des droites de la série.

On reconnaît ainsi que l'ellipse est la seule courbe jouissant de la propriété démontrée au S t^S.

En changeant 6' en — 6', on obtiendrait un théorème analogue pour l'hyperbole.

b) Certaines équations qui ne rentrent pas immédiatement dans le type de Téquation de Glairaut peuvent s'y ramener facilement par un changement de variables.

Considérons, par exemple, Téquation différentielle

obtenue en appliquant à Tellipsoïde

Téquation du S 219, qui représente en projection sur le plan XOY les lignes de courbure d'une surface. En posant pour simplifier :

cette équation s*écrit :

Axy@)%(x«-Ay«-B)(g)-x. = 0.

et si Ton fait :

l/* = î?, dv

elle devient par la substitution de ces nouvelles variables

et rentre ainsi dans la forme des équations de Glairaut . Son intégrale générale sera donc :

r BC

^=^"~rTAc'

elle représente une série de coniques ayant pour axes OY et Oï.

323. Intégratioii i>ar la considération d^une é«iun.tion du deuxième ordre. — Signalons enfin un procédé ingénieux qui réussit dans quelques cas spéciaux.

On peut considérer l'équation différentielle du premier ordre

(î) fix, y, y') = 0,

comme une liaison

entre deux fonctions u et v de x, y et y' et Ton conçoit que le choix des fonctions u et v puisse être fait d'une infinité de manières. Si ces fonctions sont telles que les équations

conduisent, par une différentiation qui élimine les constantes c et c'j à une même équation du deuxième ordre

les équations (2) et (3) représentent alors deux intégrales du premier ordre de cette dernière équation, et Ton obtiendra son intégrale générale en éliminant y' entre les relations (2) et (3). On sera conduit ainsi à une relation

renfermant deux constantes arbitraires et compatible avec les équations (2) et (3), c'est-à-dire telle que les liaisons qu'on obtient entre x, y et y' en éliminant c' ou c doivent être identiques avec u=:c ou v=c\ Si l'on particularise actuellement cette solution en assujettissant les constantes c et c' à la condition

qui détermine c' en fonction de c, la relation (5), ainsi ramenée à ne plus renfermer qu'une seule constante arbitraire, satisfera évidemment à Téquation proposée (1') dont elle sera par conséquent l'intégrale générale.

3241. Application k un esceinple. — Reprenons Téqnation de Clairaut, qui peut s'écrire

et posons

ces deux valeurs de u et de i; conduisent, en les égalant à des constantes et en éliminant ces constantes, à la même équation différentielle du deuxième ordre

On pourra donc appliquer la règle précédente qui consiste dans le cas actuel à éliminer y' entre les deux équations

f{y') = c', et à ajouter à la relation

ainsi obtenue, la condition Mais Téquation

revient à égaler -^ à une certaine constante k, c est-à-dire

à faire

et comme d'ailleurs c doit être égal à c', c'est-à-dire à

on trouve en définitive

y^kx^fik),

résultat conforme à celui que nous avons obtenu déjà par une méthode différente.

Application de la théorie des équations différentielles du premier

ordre au problème des trajectoires.

>. Étant donnée une série de courbes planes :

on peut se proposer de déterminer une nouvelle série de courbes planes qui en chaque point coupent orthogonalement les premières.

Ces courbes sont dites trajectoires orthogonales des . courbes données.

Les premières courbes satisfont, comme on Ta vu, à l'équation dififérentielle du premier ordre qu'on obtient en éliminant a entre Téquation (1) et celle qui s'en déduit par sa différentiation totale en a* et y.

Soit

(2) Mdx + Ndy = 0,

cette équation différentielle ; il est

facile de voir que les courbes de

la seconde série étant orthogonales aux premières, satisferont à

l'équation différentielle

(3) Ndx — Mdy = 0.

Pour trouver leur équation en quantités finies, il n'y aura donc qu'à intégrer l'équation (3).

320. Si au lieu de couper orthogonalement les premières courbes, les trajectoires étaient assujetties à les rencontrer sous un angle constant V, on aurait en désignant par tg 6 et tg^' les coefficients angulaires des tangentes à une courbe et à sa trajectoire en un point commun

t,y tge-tgy ^^ i + tgetge-'

et comme

tge=-ri = — ^.

dx~ N — M — Nlg6'

N— Mrge' \8^ Mais , pour la trajectoire, j

est égal à tg 0', on aura donc pour cette nouvelle courbe la condition

tgV =

-M~N^ dx

(N-MlgV)gH-M + NtgV = 0, qui est Téquation différentielle des trajectoires obliques.

Sét^. Résolvons comme application le problème suivant : Trouver les trajectoires orthogonales d*une série de cercles de même rayon ayant leurs centres sur Taxe des x. L'équation générale de ces cercle est :

leur équation différentielle

(x--a)dx+ ydy =0,

et après Télimination de a :

(St) v^R* — y« dx + ydy = 0.

L'équation des trajectoires sera donc