dy = dx

équation qui s'intégrera sans difficulté, puisque les variables sont séparées.

Posant

y=Rsin?,

d'où

on â par substitution

et en intégrant

^{R*-^^ = R cos?,

dy = Rcos9d9;

dx = R -: — ^ d?,

SlIKp

=:Ri.^"?

d'où en rétablissant la variable y

= R'-tg| + Rco8? + c,

équation d'une série de trajectoires (développantes de chaînette, S iSO).

B. Éqtiations difféi^entielles à deux variables d'ordre sujjérieur au premier.

». Nous supposerons, comme nous l'avons déjà dit, que la liaison différentielle donnée soit établie dans l'hypothèse où l'une des deux variables, x par exemple, est variable indépendante. On a vu que cette liaison pouvait alors s'écrire :

et que son intégrale générale renfermait m constantes arbitraires.

Nous nous occuperons d'abord des équations linéaires^ auxquelles s'applique une théorie toute spéciale en raison des propriétés particulières dont ces équations jouissent.

Équ^ations linéaires.

329. Définition et propriétés générales deséqiui^ tiens linéaires. — On appelle équation linéaire une équation obtenue en égalant à une fonction de x une somme de termes composés chacun d une fonction de x que multiplie y ou Tune de ses dérivées à la première puissance.

Ainsi une équation linéaire du m*~ ordre sera de la forme :

/^^ X ^4-X ^l^^X ^^!^+ +X ^4-X-ti-V

X^, X^, X, ... X« et V étant des fonctions de la lettre x seulement.

Les équations linéaires lorsqu'elles sont homogènes^ c'est-àdire privées de second membre (V = 0), jouissent des propriétés remarquables suivantes :

1® Si y, est une solution^ c'est-à-dire une fonction de x qui mise à la place de y satisfait à l'équation:

que nou^ écrirons pour simplifier :

le produit c, y^ de y, par une constante arbitraire est aussi une solution de cette équation.

En effet, il est facile de voir que

2® 'Si yj, y„ y, ... sont des solution^sde V équation proposée:

oà c^, c„ c, ... sont des co7istantes arbitraires^ en est aussi un$ solution.

En effet

*(Y) = Ci*(i/,) + c, *(j/,) 4- c,*(y,) + ... =0.

Il résulte de ces deux propriétés que si Ton connaît m solu" tio)%s distinctes de l'équation linéaire sans second membre, on pourra former avec ces m solutions une solution de forme Y renfermant m constantes arbitraires, et fournissant par conséquent, en régalant à y, l'intégrale générale de l'équation proposée

330. Il est nécessaire de préciser ce qu'on doit entendre par solutions distinctes.

Nous avons vu (S 209) que l'existence des m constantes qui caractérisent l'intégrale générale d'une équation différentielle d'ordre m, doit assurer la possibilité d'attribuer à la fonction y et à ses m — i premières dérivées des valeurs initiales arbitraires pour une valeur initiale arbitraire donnée à x.

Dans le cas actuel, la fonction Y étant composée linéairement avec les fonctions y,, y, ... j/«, ses dérivées seront composées de la même manière avec leurs dérivées et l'on aura :

Y =c,y, 4-c,î/, + ... -fcwj/»,

Il faudra donc, qu'en attribuant dans toutes ces équations une valeur arbitraire x^ à a?, on puisse par le moyen des constantes attribuer également à Y^, Y'^ ... Y^^"^*^ des valeurs arbitraires. Or la condition, pour qu'il en soit ainsi, s'exprimera évidemment en écrivant que le déterminant D formé avec les fonctions y,, y, ... y^, y\,.. î/^^"*^ n'est pas identiquement

nul.

Ajoutons que, d'après la théorie des déterminants, s'il existait entre quelques-unes des fonctions y^, y,... y^ une relation linéaire à coefficients constants telle que :

apyp + OqVq -f a^yr + ... =0,

le déterminant D serait identiquement nul et par suite les m solutions ne seraient pas distinctes.

331. Abaissement de l'ordre d'une expiation linéaire lorsqu'on eonnait une ou plusieurs iotéflprailes particulières de l'équation sans second memlire;

— On peut abaisser d une unité Tordre de Téquation linéaire complète.

sans en changer la forme lorsqu'on connaît une intégrale particulière j/j de Téquation homogène

Posons en eflfet

y = Vi^^, on en déduit :

dîy d^Vx . g dy^ dz d«z

dx* ~ dx« "*" ' dx dx "^ ^* dx*'

et Ton voit, d'après le mode de formation de ces dérivées, que le résultat de la substitution dans l'équation (1) sera de la forme

en désignant par W une fonction composée linéairement avec les dérivées de z. Mais *(î/J étant nul par hypothèse, si l'on pose

dz Y

l'équation (3) se réduira à une équation linéaire d'ordre 7>i — f

en Ç.

Si l'on connaissait une seconde intégrale particulière y, de l'équation (2), on connaîtrait par là même une intégrale particulière de l'équation en Ç privée de second membre. En effet, la valeur z^ de z définie par

V% = Vi ^v

devant évidemment satisfaire à la condition

*ï*(yi^i)=*(yi)=o,

annulerait la fonction Y, c'est-à-dire le premier membre de l'équation linéaire en Ç, et fournirait par conséquent une solution

de cette équation sans second membre.

En se servant alors de Çj comme on Ta fait plus haut de y,, on abaisserait d'une unité Tordre de l'équation en Ç, ce qui ramènerait l'intégration de Téquation proposée à celle d'une équation de même forme et d'ordre m — 2 (*).

Ce résultat se généralise sans difficulté et l'on arrive à reconnaître ainsi qu'on peut abaisser de p unités l'ordre d'une équation différentielle linéaire, sans changer sa forme, lorsqu'on connaît j» solutions de la même équation privée de second membre.

332. Pour terminer ces généralités, nous remarquerons encore qu'une équation linéaire sans second membre ne peut pas admettre de solutions singulières. En effet, si tq était une solution de cette espèce, on pourrait former l'intégrale générale avec tq et [m — 1) autres solutions, en écrivant

et en faisant Cj=c,=... =c^^^ = o et c^=l, on retrouverait y; comme intégrg,le particulière.

333. RéflM^lution complète de réquation Uoéaire à coefflclento constante sans second membre. — Soit actuellement l'équation linéaire

(W A ^ 4-A ^i—^4-îL ^—Ia- a ^4-Au-o

(*) 11 est presque superflu de remarquer que les solutions i/| et y 2 doivent être distinctes. SUl existait une relation telle que 2/2= Xy^, entre elles, on trouverait z, = X, d'où C| = 0, et le procédé de réduction ne serait plus applicable.

OÙ Aq, Aj, A,, ... A^ sont des constantes. Profitant de la propriété de la fonction exponentielle

de se reproduire par dérivation à un facteur constant près, ou obtient facilement des solutions particulières de Téquation (1) en choisissant la constante a de manière à annuler l'expression :

9 (a) = Aoa~ + Aja"»-» -H Aja«-« + ... + A«-j« + A«,

car le résultat de la substitution de é?** dans Téquation proposée est :

Mais l'équation (2) ?W = 0,

qui est dite Véquation caractéristique de l'équation linéaire donnée, est une équation algébrique de degré w.EUe fournit donc en général m racines distinctes :

«j «2 a, ... Ofny

donnant ainsi m intégrales particulières de Téquation proposée. L'intégrale générale sera par conséquent

(3) y = Cje*i* -f c,e«2* + c^e^3^ + ... -f Cme*m*.

3341. CcL» des racines multiples. — Méthode de (TAleinbert. — Le cas où l'équation caractéristique aurait des racines multiples offre une difficulté spéciale.

En effet, si deux racines sont égales à a< par exemple, les deux termes correspondants de l'équation (3) se fondent en un seul et ne fournissent plus qu'une seule constante arbitraire : on n a donc plus l'intégrale générale.

Pour lever cette difficulté, considérons, avec d'Alembert. deux racines d'abord peu différentes :

a,- et a»- 4- h.

Les termes correspondants : c,^**^ et c;«^*'+'*^*^ pourront s'écrire en développant la seconde exponentielle.

(hx /i*x* \

(ci H- c\) e«f» 4- c\ e«#' ( — + -j-^ + • • • j •

Posons actuellement :

Ci 4- c\ = B„

Bj et B, seront deux nouvelles constantes complètement arbitraires, puisque c, et c/ pourront être déterminés de manière à leur attribuer telles valeurs que Ton voudra. La partie de l'intégrale générale relative aux deux racines considérées s'écrit alors :

En faisant tendre h vers zéro, elle se réduit finalement à :

et sous cette forme, la racine double a, fournit bien deux constantes arbitraires.

La méthode s'étendrait sans difficulté à un ordre de multiplicité quelconque.

Ainsi, si a, était n fois racine de Téquation caractéristique, à cette racine multiple correspondraient les termes

(B, -i- B.x + BjX» 4- ... + BnX»-Me='.^

dans Tintégrale générale (*).

f ) 11 est d'ailleurs facile de vérifier que si a, est racine double

y = (Bj -h B,x) e«»' est une solution de Téquation proposée ; en effet, cette fonction donne

^ = «,- (B, + Bâ x) e"'-^ + Bj e*'^ ux

etc., de sorte que la substitution dans Téquation linéaire conduira finalement à

(Bi -h B, x)e«»^ 9 (a.) + B,e«.'*?'(a,),

quantité qui est bien nulle, puisque a,, racine double, annule 9 (a) et sa dérivée.

335. Cas des racines imasiiiaires. — La théorie du calcul géométrique permet d'appliquer la solution ordinaire au cas des racines imaginaires. Seulement, si Téquation proposée est donnée en quantités réelles, le symbole géométrique ou imaginaire i ne doit entrer dans le résultat qu'en apparence et Ton peut se proposer de Ten faire disparaître.

Pour cela, remarquons que les racines imaginaires d'une équation à coefficients algébriques réels étant toujours conjuguées, si a + ^i est une des racines deTéquation (p(a) = 0, a — g/ en sera une autre. Ces deux racines donneront alors dans le développement Tensemble des deux termes :

C| e^ '^ "^ + Cj e^ ^ '^ .

Mais d'après les. formules établies (S 118) cette somme peut s'écrire :

e"^[ci (cospx + i sin px) 4- c,(cos px — i sin^x)]

OU encore

e"* [(cj 4- cj cos px 4- (c, — c,) i sin pxj ;

c^ et c, étant d'ailleurs des constantes arbitraires auxquelles on

peut attribuer des valeurs quelconques, géométriques ou réelles,

rien n'empêche de les déterminer de manière à satisfaire aux

conditions :

Cj -f Cj = Bi

Bj et B, étant deux constantes arbitraires réelles.

Les deux termes de l'intégrale, relatifs aux deux racines imaginaires conjuguées a + gê, a — (3i, s'écriront alors

e"* [B, cos px + B, sin pxJ.

33G. Équations linéaires à coefficients variables pouvant être ramenées au cas des coefficients constants. — Certaines équations linéaires dont les coefficients ne sont pas constants peuvent être transformées en équations à coefficients constants par un simple changement de variables.

CALCUL LNTÉGRAL 483

Soit par exemple, Téquation

(1) Ao(ax + b)-g +A,(ax + 6)-^ ?3( + -.

Posons

cix + 6 = Ç,

d'où

adx = dç.

Nous pouvons considérer y comme une fonction de œ par Tinteriïiédiaire de 5? et former ainsi ses dérivées : en observant que d^ est constant en même temps que rfx, nous trouverons :

dx dÇ dx dç'

dx» "" dÇ« dx»"" di^'

et en général :

dxP d^P

Par la substitution de ces valeurs l'équation proposée [de vient :

(2) A,a«Ç- 9^ H- A, a-» Ç— ^j^^^j^ 4- ... + A., aÇ ^| + A.î/ = 0.

Si Ton fait actuellement :

d'où

d;= e'dz,

on a :

du __dy dz ^dy dÇ ~" dz dÇ ~ ® dz'

dp- ^ dÇdz^^ d2*dÇ""^ V dz^ dz*)'

etc.

et Ton voit qu'en général l'expression de -—j sera formée d'une

quantité linéaire par rapport aux dérivées -^, -r^--- -7-7 mul-

tipliée par e"^*, c'est-à-dire par ^ .

En substituant dans Téquation (2), on obtiendra donc une équation linéaire d'ordre m à coefficients constants en y et z.

337. Équations linéaires dans lesquelles le seeond membre n*est pas nui. — Proeédés permettant dans certains cas de Ikire disparaître le second membre. — Occupons-nous actuellement des équations liné«aires complètes^ c'est-à-dire dans lesquelles le "second membre n*est pas nul.

Remarquons d'abord que si l'on connaissait une intégrale y, de Téquation complète, on pourrait ramener son intégration à celle d'une équation homogène c'est-à-dire privée de second membre.

En posant en effet :

et substituant dans l'équation on trouve :

*(yi)+*W = v, et comme

par hypothèse, il reste l'équation homogène

pour déterminer 5. Si donc on sait intégrer cette dernière et si l'on désigne par

son intégrale générale, l'intégrale générale de Téquation complète sera :

On arrive dans certains cas à découvrir assez facilement l'intégrale y^ qui permet de faire disparaître le second membre.

Par exemple si les coefficients du premier membre sont des constantes et si V est de la forme

(asinpx + a'cospx)4- (Psin gx + P'cosqx)...

a, a', g, g'... jo, ç... étant des constantes, on posera

j/, = (asinpx + a'cospx) + {bslnqx + 5'cosgx) + ... ;

la substitution dans l'équation conduira pour le premier membre à un résultat de la forme

(Asinpx + A'cospx) + (Bsingx + B'cosgx) 4- ...

et ridentification avec le second membre fournira des conditions qui détermineront en général A, A', B, B'... et par suite les constantes indéterminées a, a', ft, fe'... avec lesquelles A, A', B, B'.., sont composés.

33S. Application à, un exemple. — Soit, par exemple, l'équation

(1) g-y = sin2x.

On pose

y^ =: asin2x + a'co82x,

et l'application de la méthode conduit aux conditions

La solution particulière est donc

yi = — gsmîx,

et comme l'équation privée de second membre

admet pour intégrale générale

celle de Téquation proposée sera :

Y = c. e* + c.e-* — - sîn 2x.

Il faut remarquer que la méthode pour réussir exige qu'aucun des couples de lignes trigonométriques tels que

(a sin px-^oi,' co^px) figurant dans V ne soit formé avec deux solutions de Téquation privée de second membre. En effet, si cela avait lieu, les termes en sin px^ cospj? disparaitraient dans le premier membre, et l'identification des deux membres ne serait plus possible.

330. Un procédé analogue réussit encore, dans le cas des équations à coefficients constants :

1** Si V est formé d'une somme d'exponentielle Sae*"; on poserait alors :

2** Si V est un polynôme entier

on poserait

3° Enfin, si V est une somme de fonctions de la nature de celles que nous venons d'indiquer, car on prendrait alors pour y, une expression formée par la somme de celles qu'on avait précédemment choisies.