Métiiodo do la variation des arbitraires
Lorsque les procédés particuliers que nous venons d'imiiquer sont en défaut, on a recours à la méthode générale qui nous a déjà réussi pour l'équation linéaire du premier ordre : la variation des arbitraires.
Supposons que l'on ait trouvé m solutions distinctes y,, ?/,.••!/• de l'équation du m""* ordre sans second membre
où Ton a divisé pour simplifier tous les coefficients par X^, ce
qui revient à remplacer par Tunité le coefficient de -r--^' La solu-
tion générale de cette équation sera alors :
Y = c,î/i + Cjî/, +'c^yi -f ... + c^î/m. Cherchons à nous servir de cette solution pour la résolution de l'équation à second membre
(2) • *(l/) = V, où V représente une fonction de or.
Pour cela, traitons dans Y les lettres c^,c^JC^...c^ comme des fonctions inconnues de x et proposons-nous de les détenniner de façon à ce que l'équation (2) soit satisfaite. Calculons dans ces nouvelles hypothèses les dérivées de Y. On a :
Y = CiV, + c,i/, h c,y, + ...
dx ""^ dx ^ ^^ c/x ^ ^* dx ^ ^ ^* dx ^ ^^ dx^
Profitons de l'indétermination des fonctions c, c„ etc., pour
poser
de. . dc^ , ^ dci ^
en continuant les dérivations, il viendra :
cix« - ""' dx» ^^« dx» + "^^ dx« + + dx dx ^ dx dx^
Posons encore
dUj^ dr^^ (Jjjj dÇi = S^^=0
((x dx dx dx ^ dx dx *
et ainsi de suite; de cette manière nous assujettirons successivemeut les m fonctions c, , c,, . . . c^ aux m — 1 conditions ;
^ dUi dCj (3j ' " (/x dx "^ •
^ d"»-» Ty. dCj ^
et nous serons encore maître d'une dernière condition à leur im* poser. Cette condition nous sera fournie par Téquation (2) qui doit être satisfaite. En y portant la valeur de Y et de ses dérivées, nous trouverons :
c'est-à-dire, puisque *(!/i),*f2/,),*(j/5)... sont nuls, ^ ^ dx"»-» dx""^*
Les m relations (3) et (4), qui sont du premier degré par rapport aux m dérivées -T-^, -j^, "t^--* fournissent ces dérivées par une
Cv*P ÙfW CiX
résolution facile. On trouvera, par exemple, en désignant par H,, H,... des fonctions de x
^ = Hi d'où c, = fei + Th^ djc,
etc., en représentant par /Cj, ft, ... de nouvelles constantes, et l'intégrale générale de Téquation (2) sera :
Y = ft,î/i + ftsy2 + ... + î/i / Hidjc+ y, 1 E^dx-\- ...,
ou
Y = ftiyi + ftjyt+ ... 4-0, en posant
Ainsi, rintégrale générale de Téquation à second membre pourra toujours s'obtenir par de simples quadratures, si l'intégrale générale de Téquation sans second membre est connue.
3411 . Applicatton & l'équation à, csoeflOcleatai eons-
tanto.— Dans le cas de Téquation à coefficients constants, la résolution complète est toujours possible par la méthode que nous venons d'indiquer.
Les conditions imposées aux fonctions c^, c,... deviennent, en désignant par apa,... a« les racines de Téquation caractéristique :
«I X dCé , mt de» , .
dx ' dx '
aiXdCà . umX ClCn ^
« «-I c"' ^+ a,"-» e"*^ + . - . = V. ' dx * dx
Multipliant respectivement ces m équations par les coefficients indéterminés \, \...\m^t et par lunité et posant :
il suffira que /"(a) s'annule pour toutes les racines de Téquation
caractéristique autres que st^, pour qu'en faisant la somme des
premiers membres ainsi multipliés, tous les coefficients diffé-
dc rentiels inconnus autres que -—- disparaissent. On satisfera à
cette condition en faisant
il en résulte
Von trouve ainsi
d'où
par suite
* a — Op
do, e ''^ Y
dx f' («,) •
et
Il resterait à étudier spécialement le cas des racines multiples, mais nous ne pouvons entrer dans plus de détails sur ce sujet sans dépasser les limites que nous nous sommes imposées.
342. — Application À un exemple. — Soit à intégrer l'équation linéaire
L'équation caractéristique
admet a, = 1 et a, = 2 comme racines. On a :
d'où
9'(«j)= — I et ?'(a,) = l.
L'application de la méthode conduit à l'intégrale générale
3^43. Définition et détermination fies sinus et cosinus géométriques. — La fonction exponentielle géométrique, telle que nous l'avons définie au S 118, jouit, comme l'exponentielle de l'algèbre ordinaire, de la propriété remarquable de se reproduire par dérivation, et c'est cette propriété même qui nous a servi à la déterminer. Le procédé d'intégration que nous venons d'appliquer aux équations différentielles linéaires à coefficients constants, s'étend donc sans difficulté aux équations analogues renfermant une fonction géométrique t/ d'une variable géométrique v, à la condition de remplacer simplement l'exponentielle ordinaire par l'exponentielle géométrique e".
Considérons en particulier l'équation géométrique
l'équation caractéristique étant alors
l'intégrale générale de cette équation sera :
(3) it = Cj e»* + c, e-»S
ou si l'on remplace v par x + yi
(3') u=zc^ e-^ (ces x + i sin x) + Cj e^ (cos x — t sin x) ,
ou enfin
(3") u = cos X (c, e-y 4- c, e») + 1 sin X (c^ e-^ — c j e»),
■'1 ^* *^t ^tant deux constantes arbitraires pouvant recevoir, bien entendu, des valeurs géométriques.
D'ailleurs, le sinus et le cosinus de l'algèbre ordinaire satisfont à Téquation analogue à (1)
Si donc on définit les sinus et cosinus géométriques par la condition de satisfaire àTéquation (1) et de se réduire comme cas particulier aux sinus et cosinus de Talgèbre ordinaire, on obtiendra ces deux nouvelles transcendantes au moyen de la formule (3*), dans laquelle on devra faire
pour le sinus, et
^t = ô Ci = - '
pour le cosinus On trouve ainsi :
8in V = sm (x + yi) = 5 (e^* — e^*) = sm x — 5 1 cos x — 5 — ,
COS r = COS (x + yi) = ^ (e»* + e-«0 = cos x — h t sin x —
Ces fonctions satisfont, ainsi qu'il est facile de s'en assurer^ aux relations
( 8in*t; + cos*u = l (6) < dsinv^cosvdv
[ dcost; = — sin V du,
et Ton vérifie également sans difficulté les relations
^^ \ sin (1? + u*) = sin v cos v' 4- sln v' cos v
^^ l cos (» + t?') = cos r cos u' — sin v sin v',
analogues à celles de la trigonométrie.
Les sinus et cosinus de a? + yi se réduisent, suivant la condition admise, à sin a? et cos x dans le cas particulier où 1/ =0 ; dans le cas au contraire où c'est la composante x qui s'annule, on trouve :
sini/i = — i -
cos yi = d'où
e» = cos yi — i sîn yi, (8) e-» = cos yi + i sin yi.
Ces formules font voir que les exponentielles réelles sont exprimables au moyen des sinus et cosinus géométriques, comme les sinus et cosinus de l'algèbre ordinaire étaient exprimables au moyen des exponentielles géométriques (§ 122). Elles complètent ainsi la liaison remarquable que nous avions déyX signalée entre ces diverses transcendantes.
Examen de quelques équations à deux variaples^ d'ordre supérieur au premier^ que Von peut résoudre ou dont on peut abaisser Vordre.
3414:. 1° Kciuatlons que Ton peut résoudre.
Premier cas, — Soit une équation de la forme
où X est une fonction de x. On en déduit
et par des quadratures successives, on arrive à
y=z jdx I dx I dx... / Xd:« + P = Xn + P,
X^ étant une certaine fonction de x, et P un polynôme de de^ré n — 1 en X à coefficients indéterminés.
Mais on peut transformer et simplifier la solution en se débarrassant des intégrales multiples.
(*) Remarquons que celte équation rentre dans le type des équations linéaires.
CALCUL LNTËGRAL 4d:>
L'intégration par parties donne :
X8= fdx f\dx = x Cxdx— fxXdx= Ç{z-'X)Xdx^
en convenant de remplacer s par x dans le résultat de la dernièro
intégration.
De même :
X3 = fdx fdx Çxdx =:x j dx Çxdx — i xdx j\dx
= x(x fxdx — fxXdx)— Y Cxdx + Çj Xdx = j Ixdx — X jxX dx + r^ Xdx
= lJ(z-x)«Xdx,
avec la même convention pour la lettre z que dans l'intégration précédente.
La loi de formation de ces résultats se manifeste rapidement et conduit à l'expression générale
«l'où
Deuxième cas, — Soit à intégrer
On pose -j4 = P et l'on est ainsi ramené à l'équation
d'où, en résolvant par rapport à -7^, et
les variables sont séparées, on intègre par une simple quadrature, et Ton obtient une valeur de p, telle que
on se trouve alors ramené au cas précédent.
Troisième cas. — Soit encore Téquation
fd-y d*-^^y\
en posant comme précédemment :
il vient d'où
€t en multipliant par 2-^dj7 ou2dp les deux membres :
c'est-à-dire
et par suite
une quadrature conduit à une liaison entre -^ et p d'où Ton
tire
et Ton retombe dans le cas précédent.
