Cours de calcul infinitésimal

504. Soit M(x,y) un point d'une courbe donnée. L'équation d'une droite MP passant par ce point sera de la forme

A-(Ç-ar)+B(iî— r) = o.

Si l'on prend sur la courbe un autre point M', dont les coordonnées soient x -h h, j -\- A, la distance de ce point à la droite MP sera, en supposant les coordonnées rectangulaires,

AA + BZ-

Supposons maintenant h et k infiniment petits 5 on aura, en

H. — Cours de Calcul iiifîn., II. I

désignant par e une quantité infiniment petite en même temps

que h,

et, par conséquent,

J=(A-'-B,r,-4-Bfi)A

Cette formule montre que, en général, £ est infiniment petit du premier ordre en même temps que h.

Mais, si l'on détermine le rapport - de manière que l'on ait

A + B/ = o, d'où = /, l'équation de la droite devenant

d sera alors un infiniment petit d'ordre supérieur au premier. L'équation (i) représente donc une droite déterminée, jouissant de la propriété que, dans le voisinage du point (x,y), cette droite s'approche infiniment plus de la courbe que toute autre droite menée par le même point. Cette droite s'appelle la tangente à la courbe au point (x,y).

505. Si l'on remplace y' par sa valeur indéfiniment approchée dx

dy ■■> l'équation de la tangente prend la forme

ou

g-.r r,— X (2) ~dx~-~dj"'

et sous cette forme elle représente rigoureusement une sécante rencontrant la courbe aux deux points (x,y) et (x -f- dx, y -h dy). Donc la tangente à une courbe au point {x, y) est la limite des sécantes qui rencontrent la courbe en ce point et en un point infiniment voisin.

En poussant plus loin le développement de h =y'h -|- - {.j " -f- e) h2,

on a, pour l'expression de la distance M' P du point (x -h h, y -h k)