Points singuliers des courbes suivantes
Ex. : /w = 9 et = ~
bcx,
(8) {x*+y*)2=a>(x>--yï).
-H 17 (fi b2 c'+ x^ y% — o, c2 = «2 — è2. ( Développée de l'ellipse.)
(10) Développée de l'hyperbole.
(Changer, dans l'exemple cidessus, & en />/.)
6) [y — x — x^)- = x°. ( £ 1 ) 4og6«3.r-f-ii52rt2j'2-i-27i74=o.
7) Cissoïde. (Développée de la cissoïde.)
37. Radiales. — Si l'on nomme radiale d'une courbe donnée la courbe dont le rayon vecteur est égal et parallèle au rayon de courbure de la courbe donnée, déterminer les radiales des courbes suivantes :
( 1 ) Cycloïde.
(2) Courbes du second degré.
( 3 ) Logarithmique.
(4) y* = axs.
(5) Lemniscate.
(6) Cardioïdw.
(7) ay* = û".
i+I ( 8 ) x = ae
(10) x2 -hy'2 = a2 .
(n) ea =Th--
(12) .z h- j- = « tang - • ( 1 3 ) x-hy — a log '- •
(14) x -+- jr = ffe0 .
( 1 5 ) a- -1- j- = « Ch - -
(16) /= e'angx<
(18) sin-- = -v ' a a
(19) tang - = -•
38. Trouver la courbe dont la radiale est représentée par l'une des équations suivantes, où rs — t h — est égal à l'angle du rayon de courbure avec l'axe des x ■.
(1) xj= n2.
(2) psin-rs — 4«cosw.
(3) p sin3w = ia.
(4) p = « coter.
(5) p COSC7 = 2(7.
(6) p COS2cr = ia.
j) j = «tang
8) y = « sec-' \ 1 j a
(9) p = «CT.
;io) p == ^"CT.
u) p = rt sin « cr
39. Étant donnée l'équation de la radiale p = ?(*?), on a, à cause de rs = r
du
d'où
et, par suite,
,te dx
s=ff[r)dr,
ce qu'on appelle l'équation intrinsèque de la courbe. — Application i° à la parabole, 20 à la chaînette, 3° à la parabole semi-cubique j2 = ax*.
40. Roulettes. — Une courbe C roule sans glisser sur une courbe fixe C, prise pour base. On donne le nom de roulette au lieu décrit par un point p., invariablement lié à la courbe C. Supposons la courbe G déterminée par une équation entre les coordonnées polaires r, p, ayant pour pôle le point décrivant pt. et pour origine des angles une droite invariablement liée à C. Soient de plus, par rapport à des axes rectangulaires fixes, x, y les coordonnées du point de contact de C et de C, et Ç, -n les coordonnées du point décrivant p.. Ces dernières seront déterminées par les équations
(!) CdS= f s/dr* -+■ /-2 d}P- = Ç s/d.v* -+- dj* = fds,
(2) % = x — rcos[r,x), yi — y — /-cos(r,jr),
ou, à cause de (r, x) = 0 — T, (/',/) = (/•, x) ■+- - ,
(2)' Ç = x— /-cos(0 — T), n =j-H/-sin(0 — T),
0 et T étant les angles que fait la tangente commune aux deux courbes avec le rayon r et avec l'axe Ox, d'où
(r,*) = 0-T, dP=-d(B-T),
et
dr . . rdp f/r
COS<9 = -75-7 Sin9 = — T5-J COST^-t-:
r/S «S ai-
sinT
ds'
On en tire aisément
rfÇcos(9 — T) — rAîSin(9 — T) = o.
Donc le rayon mené du point décrivant au point de contact des deux courbes est normal à la roulette. — C'est ce qu'on peut démontrer aisément par la Géométrie. — Détermination du rayon de courbure de la roulette.
41. Application à la cycloïde ordinaire, à la cycloïde allongée ou raccourcie, à
l'épicycloïde, à l'hypocycloïde, au lieu du foyer ou du sommet d'une parabole roulant sur une tangente ou sur une parabole égale, au lieu du foyer d'une ellipse roulant sur une droite fixe, etc.
Cas général où la courbe mobile est égale à la courbe fixe. — Application à deux ellipses égales.
Cas où la courbe fixe est une ligne droite.
Roulette décrite par le centre d'un cercle entraîné par sa développante, celle-ci roulant sur une droite fixe.
Roulette décrite par le pôle d'une spirale i° hyperbolique, i° logarithmique, roulant sur une droite fixe.
42. Droite roulant sur une courbe. Lieu d'un point de la droite. Cas où la courbe
est une parabole. — Cas où la courbe est un cercle. Lieu d'un point lié invariablement à la droite.
43. Enveloppe d'une courbe roulant sans glisser sur une courbe fixe. — Appli-
cation aux exemples précédents (1).
44. Trajectoires (2). — Trouver les trajectoires orthogonales des lignes du
second ordre semblables, ayant un de leurs axes situé sur une même droite, et se coupant toutes en un même point, réel ou imaginaire.
43. Trajectoires orthogonales d'une courbe donnée qui se transporte de manière
que tous ses points décrivent des droites parallèles. — Exemples :
i°y=Cxn, 2°j=C.Ch-r; (3), mobiles l'une et l'autre parallèlement
aux j; 3° cycloïde mobile parallèlement à la base.
46. Trajectoires orthogonales d'une courbe donnée, mobile dans son plan autour
d'un point fixe. — Exemples : i° Parabole tournant autour de son foyer; 2° spirale rn = C"p tournant autour de l'origine.
47. Trajectoires obliquangles d'une série de courbes. homothétiques. — Exem-
(') On pourra traiter ces divers problèmes par la méthode des équipollences.
(2) Voir n° 616. Traiter ces questions par la méthode ordinaire et par celle des équipollences. — On posera au moins l'équation différentielle, sauf à l'intégrer plus tard.
(3) C étant le paramètre variable.
pies : i° ellipses concentriques; 1° paraboles de même foyer; 3° coniques ayant un foyer commun; 4° cercles ayant même centre de similitude.
