Soit donnée une expression différentielle de la forme

(i) M^-l-NJ/,

M etN étant des fonctions des deux variables indépendantes x,j . Pour que cette expression soit la différentielle d'une fonction

«=/(*, y) de ces variables, il faut que M et N soient égales aux dérivées partielles — 5 -T- de cette fonction, d'où il résulte [3071 que l'on doit

ox ùy l j i

avoir identiquement

m d*u àN

ùy dx Oy ùx

Nous allons voir maintenant que cette condition est non-seulement nécessaire, mais encore suffisante.

773. S'il existe une fonction u telle que l'on ait du = Mdx -+- Ndy,

cette fonction, ayant Mdx pour sa différentielle partielle par rapport à x, sera comprise dans la formule générale

t/xa

M dx + Y,

x0 étant une constante quelconque, et Y une quantité arbitraire, indépendante de x et pouvant être fonction dey.

La fonction cherchée doit avoir, de plus, pour dérivée partielle par rapport à. y, l'expression donnée N. Il faudra donc que l'on ait identiquement, en différentiant par rapport à y l'expression (2), d'après le n°470,

C x dM dY

N = | -3— dx -h -7- >

Jx. dr dr

d'où l'on tire

dY rx du

Le premier membre étant indépendant de x, il devra en être de même du second; et réciproquement, si le second membre est indépendant de x, on pourra toujours déterminer, par l'intégration, la fonction Y qu'il reste à trouver pour compléter la valeur (2) de la fonction u. Il faut donc et il suffit, pour que le problème proposé soit possible, que la dérivée partielle du second membre de (3) par rapport à x soit identiquement nulle, ce qui donne la condition nécessaire et suffisante pour que l'expression (1) soit intégr cible, c'est-à-dire pour qu'elle soit la différentielle exacte d'une fonction des deux variables indépendantes x,y, savoir

774. En supposant cette condition vérifiée , substituons, dans l'équation (3), à -y- sa valeur — , tirée de (4)- Si l'on désigne par N0 la valeur que prend la fonction N lorsqu'on y fait x = x0)

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES A PLUSIEURS VARIABLES. 28g

on aura

et, par suite, la valeur de £ se réduira à

^- = N0, d'où Y = No^r-hC,

j"0 et C étant des constantes quelconques. Donc, enfin, la fonction la plus générale, qui a pour différentielle M.dx -f- N^, et que nous

désignerons par

f(Mdx-{-Edy),

a pour valeur

f Mdx-h I N0rfj-r-C.

Si l'on avait commencé l'intégration par le terme Ndy, on aurait trouvé de la même manière, en désignant par M0 la valeur de M pour y — j0, cette autre expression de u, équivalente à la précédente,

Xy n>x

Ne7j+ / M0dx -+- C.

Exemple. — Soit proposé d'intégrer la différentielle

x1 -f- ,vy -f- r2 / d.v dyy

On a ici

x x'-hy"1 y x--{-fl

et l'on peut d'abord vérifier aisément que ces valeurs satisfont à la condition d'intégrabilité (4)- On a maintenant

jMdx = logx -+- arc tang 1- Y,

d'où, en prenant x0~i,

Mdx = logx H- arc tang arc tang -

H. — Cours de Calcul injîn., II. *9

2QO M VUE IV. —- Cil A P. I, § I.

Ensuite

f*.*r=f(-l - r^i)*=IngI +a,.c,a„g: + C.

Donc

« = losf h arc tang h C.

Jt>

775. Remarques. — I. Si l'expression Mdx-i-Ndj se décompose en deux parties, dont l'une soit évidemment une différentielle exacte dux (comme cela a lieu, par exemple, lorsque cette partie ne dépend que d'une seule des deux variables), la partie restante Mdx -+- Ndy — du { = d[u — «| ) devra satisfaire séparément à la condition d'intégralité, et alors on pourra l'intégrer séparément par la règle du numéro précédent.

Ainsi, dans l'exemple que nous venons de traiter, l'expression proposée pouvant s'écrire sous la forme

dx cl y ydx ■ — xdy

les deux premiers termes forment évidemment la différentielle de logx — iogy = log- • Il ne reste plus qu'à intégrer le dernier terme,

dont l'intégrale est arc tang — h G.

II. On peut quelquefois simplifier le calcul au moyen d'un changement de variables indépendantes. En posant, par exemple,

Yes

press

x — r cos/?, y = r smjj,

se réduit à

v^ + j* y \ vV

dr i — cosp

sin/j

dp,

dont l'intégrale est

C -!- log [ r ( i + cos/; )] = C 4- log (x -f- ^''.r2 -+- j - ) . 77(5. Si l'on donne une expression différentielle à trois variables

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES A PLUSIEURS VARIABLES. 29 f

indépendantes x, y, z, de la forme

Mate + N.^r-h P<-&,

on verra, comme précédemment, que, si cette expression est la différentielle d'une fonction u des trois variables indépendantes, l'intégrale u sera comprise dans la forme la plus générale,

/(Mf/.r+Nf//) +Z

(Z étant une fonction de z seul), des fonctions dont la différentielle, prise partiellement par rapport àxet àj, est Mdx -f- Ndj. Pour qu'il existe de telles fonctions, il faut et il suffît d'abord que la condition

dj âx

soit identiquement vérifiée.

On trouve ensuite, en exprimant que cette fonction doit avoir P pour dérivée partielle par rapport à z,

dZ df{Mdx-hïïdv)

dl'~ dz

Or, on a [774] et [307J

dr(Mdx-h^dr) PxdM frdN0 , ôz- =1 ^+1 -dldy

fxdù ,

d'où

dl „ r/dM , dN — =P— / ^— dx + — ttz J \dz ôz

Le second membre devant être indépendant de x et de j, on trouve, en égalant à zéro ses dérivées partielles par rapport à ces deux variables, les deux nouvelles conditions

dP dM dP dN dx ôz dr dz

qui, jointes à la précédente, forment les trois conditions nécessaires et suffisantes pour l'intégrabilité de la différentielle proposée.

En désignant par P0o ce que devient P lorsqu'on y fait à la fois x = x0, y — j'o, on aura alors, comme dans le cas précédent,

/( M dx ■+ TSdj -+- Vdz) = I Mdx -\- j N0r/j- + / V00dz + C.

J^a l7, yz0

En suivant la même marche, on trouverait aisément les conditions d'intégrabilité et l'expression de l'intégrale dans le cas d'une différentielle renfermant un nombre quelconque de variables indépendantes.

777. Nous venons de voir que, dans le cas de trois variables, les conditions d'intégrabilité sont au nombre de i -f- 2 = 3. Dans le cas de n variables, le même raisonnement conduirait à un nombre de conditions d'intégrabilité égal à

Jacobi a cependant démontré que, pour n ^> 3, ces conditions ne sont pas toutes distinctes entre elles, et que leur nombre peut se réduire à 2 7z — 3.

Soient, en effet, xi} x2, •■-, xn les n variables indépendantes, et

( 1 ) Mi dxv -+■ M2 dx* -+- . . . -+- M„ dxn

la différentielle donnée. Si l'on pose, pour abréger,

(//,■) — ^li ?^h ^ ' ' dx,. dxt '

il faut et il suffit, pour que la différentielle (1) soit intégrable, que toutes les quantités (z'A ) s'évanouissent identiquement. Or, de l'identité

d{H\ dili) ôli/,

0xi 0x/c dxt

qu'il est aisé de vérifier, il résulte que, dès que l'on aura à la fois

la quantité (A7) ne contiendra pas .17.

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES A PLUSIEURS VARIABLES. 2g3

Cela posé, si l'on a en même temps les identités

(34) = 0, (14.) H- xs (24) = 0,

les égalités (i3) — o, (34) = 0 montrent que (14) ne contient

pas x3 ; les égalités (23) — o, (34) = 0 montrent que (24) ne

contient pas non plus x3. Donc l'égalité (14) -h xs (24) = o ne

peut avoir lieu identiquement que si l'on a à la fois (14) =0 et

Jin continuant de la même manière, on verra que les — '

conditions (ik) = o sont la conséquence des in — 3 suivantes :

Dans ces équations, on pourrait remplacer les multiplicateurs

par des fonctions quelconques

assujetties aux seules conditions que les quantités

ne soient pas toutes indépendantes de X( et que, si les coefficients a, a! , . . . , <2('~2) ne sont pas tous nuls, on ne puisse avoir entre /7- , /" , . . . aucune relation linéaire de la forme

a + a' 1] + . . . -+- «('-«) a/--' = o, dans laquelle «, a', . . . , «(/~2) soient tous indépendants de X[.

778. Démontrons maintenant deux théorèmes qui seront plus tard d'un fréquent usage.

J. Si u et v sont deux fonctions des variables indépendantes x, y, la condition nécessaire et suffisante pour que u soit une fonction de v est que l'on ait identiquement

| du du

ôx df

do do

dx dj

En effet, i° si u est fonction de v, on a, en posant u -~cp(y), du do du do

d'où, par division, on tire immédiatement la formule (i).

2° Si u et v sont deux fonctions de x et de y, on peut, de la relation v=f(x, y), tirer y en fonction de u et de x, et, en substituant cette valeur dans l'expression de u, on a généralement

d'où l'on tire

do du , do

dx dj dj

La condition (1) devient alors

ày

Or, ^contenanten général j-, - n'est pas identiquement nul. Donc

on a cj/(.r) = o, et, par suite, l'expression de u ne dépend que de v seul.

c- • ào . ,,

Si u ne contient pas y, on aura - - = o. Dans ce cas, si 1 on sup-

,,-.,. du ,, . do ,

pose u — r-f(^J, il vient — - = <p (v) — - — o, et, par suite, le premier

membre de la formule (i) est bien identiquement nul. Réciproquement, si la relation (i) a lieu, et que l'on ait — — o, il en résultera v- — o; u est donc fonction de x seul, et par suite aussi de v

dj l

seul.

Ce théorème n'est autre chose qu'un cas particulier de celui que nous avons démontré sur les déterminants fonctionnels [31G].

THEOREMES GENERAUX. 2g)

779. II. Si u et v sont deux fonctions des variables indépendantes x, y, alors l'expression udv sera une différentielle exacte, si u est fonction de v\ et, réciproquement, u sera fonction de r, si udv est une différentielle exacte.

En effet, la condition d'intégrabilité de l'expression

de dv

u dv = u — — dx -\- u -— ay dx Or

est

dx \ d

ou, en réduisant,

oj dj.

du dv du dv dj dx dx dj

ce qui n'est autre chose que la relation (i) du numéro précédent, laquelle est nécessaire et suffisante pour que u soit fonction de v.

FORMATION D'UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE PAR L'ÉLIMINATION d'uNE CONSTANTE ARBITRAIRE.