Soit donnée une équation
(') F(*,jr)±=C,
représentant une série infinie de courbes, lorsqu'on fait prendre à la constante arbitraire G une infinité de valeurs successives. Si l'on différentie cette équation, la relation
2 Clt r— O, OU -,- 1- Y -r- = O,
1 ' dx J dj
qui ne contient plus G, exprime une propriété commune à toutes ces courbes, propriété qui consiste en une relation entre les coordonnées d'un point et l'inclinaison de la tangente en ce point, ou, ce qui revient au même, entre les coordonnées d'un point et les quantités, telles que la sous-tangente, la sous-normale, etc., qui dépendent de l'inclinaison de la tangente.
Celte relation s'appelle une équation différejitielle, et cette équation différentielle est dite du premier ordre, parce qu'il n'y entre que les différentielles du premier ordre de x et de y, ou, en d'autres ternies, parce qu'il n'y entre que la dérivée du premier ordre de j" par rapport à x.
Les équations (i) et (2) étant chacune une conséquence de l'autre, l'équation (2) peut remplacer l'équation (1) et représente la même série infinie de courbes.
L'équation (1), qui est l'équation finie la plus générale qui satisfasse à l'équation (2), d'où elle se tire par l'intégration immédiate, est dite Y intégrale générale de l'équation (2).
Exemple. — Soit l'équation
représentant une suite infinie de cercles qui ont pour centre commun l'origine des coordonnées. Cette équation donne, en différentiant,
x-hjj = 0, ou - y = — I ,
équation différentielle qui exprime que la tangente est perpendiculaire au rayon vecteur. Cette même relation peut encore s'écrire ainsi :
et sous cette forme elle exprime que la normale au cercle passe à l'origine.
781. Si le premier membre de l'équation (2), par une transformation quelconque, se trouve multiplié par un certain facteur p, l'équation résultante
(3) F..r/F=ro
est bien une conséquence de l'équation (1). Mais ici la réciproque n'est plus vraie, puisque l'équation (3) peut être vérifiée, nonseulement lorsqu'on pose dF = o ou F = const., mais encore lorsqu'on pose
