QN IK BE

\K fh

DQ ~~ DK~ BD "

" Jâ~J'

d'où, à cause de DQ = BQ,

NO-7'1- h o-

^-J-k + hJ-

d'où enfin DN =1 + -! DQ = p. Donc, dans tous les cas, le

cercle osculateur coïncide avec le cercle de courbure.

Si les points D, E n'étaient plus les milieux des cordes, mais que l'on eût, plus généralement, AD = \x . AB, BE = v . BC, alors, en posant, pour abréger, BC — a . AB, d'où /?< = xh, on trouverait de la même manière

•~~t 2(1 U. ~\~ Vu)

DN = — £- o.

Dans le cas des cordes égales, a = i ; on aurait DN = p pour \j. — v, c'est-à-dire pour AD = BE. En prenant /x — v = - •> on aurait

DN = p, quel que fût a. Pour a quelconque, il faudrait, pour que l'on eût DN — p, que p et v satisfissent à la condition

573. Si deux courbes ont, en un point M, un contact d'ordre impair, la différence Y1 — jK de leurs ordonnées pour l'abscisse x -+- h est proportionnelle [567] à une puissance paire de h, et par suite elle est de même signe de part et d'autre du point de contact. Les deux courbes ne se traversent pas mutuellement. C'est le cas d'une droite ou d'un cercle simplement tangents à une courbe.

Si l'ordre de contact est pair, la différence Y, — j t est proportionnelle à une puissance impaire de h, et change de signe,

lorsqu'on passe d'un côté à l'autre du point de contact. Les deux courbes se traversent donc mutuellement. C'est le cas de la tangente à une courbe en un point d'inflexion; c'est aussi le cas du cercle osculateur à une courbe en un point quelconque.

On voit a priori que la courbe doit traverser son cercle osculateur, puisque, d'un côté du point de contact, la courbure doit aller en augmentant, et devenir plus grande que celle du cercle osculateur, tandis que le contraire a lieu de l'autre côté du point de contact.

574. H y a exception pour les points où la courbure est un maximum (ou un minimum). En ces points, elle va en décroissant (ou en croissant) des deux côtés du point de contact, et par suite la courbe est, de part et d'autre, extérieure (ou intérieure) au cercle de courbure. Elle doit avoir avec ce cercle un contact d'ordre impair, lequel doit être, par suite, du troisième ordre au moins.

Ce cas doit évidemment se présenter toutes les fois que la courbe est rencontrée par un axe de symétrie, comme cela a lieu, par exemple, aux quatre sommets d'une ellipse.

C'est ce que l'on peut vérifier directement par l'analyse. La condition dp = o donne

Or, en différentiant trois fois l'équation du cercle osculateur,

(X-Ç)«-4-(Y-,)? = p«, par rapport à ses coordonnées courantes X, Y, il vient

i + Y'2~f-(Y — îj)Y"=o,

3ï'r+(J-ï)ïw=o, d'où l'on tire

Comme on a déjà Y'= y', Y"=y", il en résulte Yw=jw; donc le contact de la courbe avec son cercle de courbure de rayon maximum ou minimum est du troisième ordre au moins.