DÉVELOPPÉES ET DÉVELOPPANTES DES COURBES PLANES
575. Nous avons vu [551] que le centre de courbure d'une courbe plane n'est autre chose que la limite du point de rencontre de deux normales infiniment voisines. Donc le lieu des centres de courbure est le lieu des limites des intersections de deux normales infiniment voisines, ou, comme on dit pour abréger, le lieu des intersections successives des normales à la courbe proposée. Ce lieu s'appelle, pour des raisons que nous verrons tout à l'heure, la développée de la courbe proposée.
D'après ce que nous avons vu [556, 557], l'intersection de deux normales infiniment voisines est déterminée par les équations
( I ) ( l — x) clx -4- (ïj — y) dy — o,
(2) (c - x)d*x + [-o —y)d*j = tls\
En éliminant la variable indépendante, dont xety sont fonctions, entre ces deux équations, on aura l'équation entre | et y] qui représentera la développée.
576. La normale à la courbe est tangente à la développée. Soient, en effet, N, N' {Jîg. 55) deux centres de courbure infi-
, Fig. 55.
niment voisins, situés sur les normales MN, M'N', et soit O l'intersection de ces normales. Le point O a pour limite ou le point N ou le point N', suivant que l'on fait tendre le point M' de la courbe vers le point M, ou le point M vers le point M'.. Dans le premier cas, on fait varier l'abscisse de M dans un certain sens;' dans le H. — Cours de Cale, infinit., II. J
second, on la fait varier en sens contraire. La distance MO étant une fonction continue de l'abscisse x' de M', la différence MO — NO changera généralement de signe avec la différence x' — x. Si donc on projette tous les points de la figure sur l'une des normales ou sur toute autre direction infiniment peu inclinée sur chacune d'elles, la projection de O s'approchera ou s'éloignera de celle de M suivant que M' passera d'un côté ou de l'autre de M. Par conséquent O doit être plus près de la courbe MM' que l'un des points N, N', et plus loin de la courbe que l'autre. Il est aisé d'en conclure que le triangle NON' a deux angles aigus NN'O, N'NO, dont la somme MOM' est infiniment petite, et qui par suite sont l'un et l'autre infiniment petits , ainsi que le côté NN'; il en résulte que N' est distant d'une quantité du second ordre de la droite MNO. Donc [504] MN est tangente à la courbe NN'.
On peut encore le voir analytiquement. Pour cela, différentions l'équation (i) par rapport à tout ce qui varie lorsqu'on passe du point N au point N', c'est-à-dire par rapport à £, n et à x, y, dx, dy. Il viendra, en ayant égard à l'équation (2),
d^dx -+- dc\ dy z=z o,
ce qui montre que la tangente à la développée au point (£,*;) est perpendiculaire à la tangente à la courbe proposée au point (x, y). Elle coïncide donc avec la normale MN à la courbe proposée.
577. Les deux droites M'N', NN' faisant des angles infiniment petits avec MN, tout segment pris sur une de ces droites différera, d'une quantité infiniment petite du second ordre par rapport à lui-même, de sa projection sur MN. De plus, l'angle de la corde MM' avec MN différant infiniment peu d'un angle droit, la projection du point M' sur MN sera à une distance infiniment petite du second ordre du point M. On aura donc, aux quantités près du second ordre, M'N'=MP, NN'=NP, d'où NN'=M'N'— MN, et comme NN' diffère d'un infiniment petit d'ordre supérieur au premier de l'arc NN' de la développée, on en conclut que l'accroissement infiniment petit de l'arc de développée est égal à la différence des deux rayons de courbure qui aboutissent à ses extrémités.
Il est facile de démontrer analytiquement cette proposition.
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Soit de = sJd£--\- d'ri1 l'élément d'arc de la développée, compté, pour fixer les idées, dans le sens du prolongement du rayon de
courbure au delà du point N. On a alors, — et — étant les cosinus 1 air da
des angles que fait la direction MN avec les axes,
dl do
Substituant ces valeurs dans la différentielle de l'équation
laquelle est, en ayant égard à l'équation (i),
( £ — x) dl, -h ( ïj — y ) dri = 'p dp,
il vient p — = pdp, c'est-à-dire du = dp.
Si l'on avait compté l'accroissement de l'arc positivement dans le sens NM, on aurait eu, au contraire, do = — dp.
578. De la relation da ==t dp il résulte, en désignant par p0, pt les rayons de courbure correspondants aux extrémités d'un arc g de la développée, que l'on a a ■■= ± (pt — p0). On voit par là que la développée d'une courbe donnée par son équation est toujours une courbe rectijîable, c'est-à-dire que la longueur de son arc peut se calculer par de simples différenliations, et est toujours exprimable au moyen des fonctions élémentaires, lorsque les coordonnées de la courbe le sont. Nous avons vu, par exemple [540, 1], que la courbe lieu des centres de courbure de la parabole [566,1] est rectifiable.
11 s'ensuit de là que, si l'on enroule sur le lieu des centres de courbure un fil flexible et inextensible, et qu'on le déroule ensuite en le tenant toujours tendu, le point du fil qui se trouvait primitivement sur la courbe donnée ne cessera pas de se mouvoir sur cette courbe, qui sera ainsi engendrée par le développement du lieu des centres de courbure. De là le nom de développée que nous avons donné à ce lieu.
La courbe proposée est dite, réciproquement, la développante du lieu de ses centres de courbure.
Chaque point du fil que l'on déroule décrit une courbe normale à ce fil, comme on le démontrerait facilement, et ayant en chaque point pour centre de courbure le même point de contact du fil. Donc toutes ces courbes ont même développée ; et réciproquement une même développée donnée a une infinité de développantes.
La distance de deux développantes d'une même courbe, comptée sur leur normale commune, est constante. On dit, pour cette raison, que toutes les développantes d'une même courbe sont des courhes parallèles.
579. Soienty(£, •//) = o l'équation de la développée, et a l'arc de cette développée, compté à partir d'une origine quelconque; g -+- C sera le rayon de courbure d'une développante quelconque,
C désignant une constante arbitraire. De plus, — 5 — sont les
° 1 du aa
cosinus des angles que fait avec les axes la tangente à la développée, dirigée dans le sens des a croissants. Si donc on considère l'arc a comme croissant dans le sens parcouru par le point de contact de la tangente mobile, les projections du rayon de courbure de la développante sur les axes coordonnés seront
Si l'on considérait cr comme décroissant dans le sens parcouru par le point de contact, il faudrait prendre les seconds membres de ces équations en signe contraire, c'est-à-dire avec le signe -h.
Exemple. — Cherchons les développantes de la chaînette représentée par les équations
On a [566,11], du = aGhydy, d'où cr = «Shcj- -;- C; ensuite
— - = - — ? et — = Th<p. Les développantes de la chaînette sont cla Cli<p an J L L
donc représentées généralement par les équations
.T = a ?rp(Sh<p + C)-i- , r = 4Ch?zp(Sh<?H-C)Th?].
Si l'on suppose l'arc a compté à partir du sommet, pour lequel
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cp = o, et croissant dans le sens du mouvement du point de contact, on a, en faisant C = o, et prenant le signe supérieur,
.r.=.a\<!> — Th <p , 1 = — — 1
équations qui représentent la courbe aux tangentes égales ou la tractoire [510,111].
580. Le rayon de courbure pt de la développée est égal à l'élément d'arc cLg divisé par l'angle de contingence de la développée, lequel est évidemment égal à celui dx de la développante. On a
donc
de dp p dp dz dz ds
Pi Donc on a la proportion
pY de
p ds
c'est-à-dire que les rayons de courbure des deux courbes sont proportionnels aux éléments d'arc correspondants.
On peut encore le voir autrement. On a, en effet [554],
Pi = -
dl
Or on a, d'après ce qui précède,
do dx I d% dy
d<j = dp, -—=——- = , — = — ,
' rf§ dy y de ds
d'où
Donc ou enfin
, dn dy'
ds% y'2 dp dsz ?l~(? dj*d/~ds dx'-dy' '
pdp
