CARACTÈRES DES POINTS MULTIPLES
avec l'équation (i), l'équation
Retranchant l'une de l'autre ces deux équations, et divisant par h il vient
h dy h
La limite de — - étant finie et celle de , — nulle, on en con-
dut -^- = o. L'équation (i) se réduisant alors à
df ^ H dx h
on en conclut que -r- est pareillement égal à zéro. Donc on a, en ce point, la double condition
df df
Si l'on suppose actuellement que les deux branches aient entre
le
elles un contact du premier ordre, alors — — — aura une limite finie
[567]. Or des équations
. df . df h* d*f , , d*~f *« d*f
dx dy 2 d.r- dxdj i dy1
, df „ df h* dvf , „ d"-f hn daf ,
dx dy a dx~ dxdy 2 dy1
on tire, par soustraction,
k'—kldf , d2f k' + kdV s,
A2 \dj drdj" 2 dj2 k' — k
et n, 5 -± j étant des quantités înnniment petites, on en
, df . .df .
conclut encore que v- ? et par suite aussi -—- sont nuls. 1 dy L dx
En général, si les deux branches ont entre elles un contact
d 'ordre n, ■ — ---— ayant une limite finie, on développera les équations précédentes jusqu'aux termes d'ordre n, ce qui donnera , àf , àf
Ô.ï: Ôf
En faisant la soustraction, il ne restera dans le développement que les termes divisibles par k' — k, et l'on aura
k'—k I df
h" \dr k'—k
Tous les termes de la parenthèse qui suivent le premier étant infiniment petits, il en résultera toujours que -r- doit être nul.
Donc, en général, on a, pour un point multiple où il passe plus d'une branche de courbe, les relations (a), qui doivent avoir lieu en même temps que l'équationy"(x, y) — o.
o9i. Si par le point (xKy) il passe une troisième branche de courbe, non tangente aux deux autres, on aura, en ayant égard aux équations (2), qui sont nécessairement satisfaites,
- *! &f ,. à-.f ^ â*f 2 dx1 dxdj 2 dy-
avec deux autres équations semblables pour les accroissements A', h" des ordonnées des autres branches. On en tire par soustraction
d.vdj" 7/1 ([)' h [k'—k
d9-f k"-hkdV £-s.
dxdy 1I1 ôj'- i,[k"—k)
ii, dj* ' h[k"'— k) h[k' - k)'
d2f Cette dernière équation donne, en passant à la limite, -r-r = o;
