Une courbe algébrique, dans les mêmes circonstances que

points d'arrêt et points saillants. 81

ci-dessus, ne peut présenter non plus de point saillant, c'est-à-dire, de point où viennent se terminer deux branches de courbe dont les tangentes feraient entre elles un angle fini.

En effet, si, entre l'équation de la courbe et sa différentielle, on élimine^, il en résultera une équation entre x et y', qui donnera, pour chaque abscisse, le coefficient angulaire de la tangente, et qui sera algébrique, comme l'équation primitive entre x et y. Si l'on construit la courbe dont y' est l'ordonnée, cette courbe ne peut avoir de point d'arrêt, d'après ce qu'on vient de voir. Donc la courbe primitive ne peut avoir non plus de point saillant, où la direction de la tangente varierait brusquement d'une quantité finie.

Donc les points d'arrêt et les points saillants ne peuvent se trouver dans les courbes algébriques, tant qu'on n'v particularise pas la signification des radicaux.

592. Il en serait autrement, si l'on restreignait la généralité des radicaux, en réduisant les radicaux d'ordre pair à leur valeur arithmétique. Dans ce cas, les lignes représentées par les équations

présenteraient des points d'arrêt, et les lignes représentées par les équations

j ■ = \Jx* , y = V ( sja* — .t2 — b ) l

offriraient des points saillants.

Ces deux sortes de points singuliers se rencontrent dans les courbes qui représentent certaines fonctions discontinues, exprimées par des intégrales définies, comme nous en avons vu des exemples aux nos457, 480, 483. On les trouve encore dans certaines courbes représentées par des équations transcendantes. Par exemple, les courbes

Cours de Calcul infin., II.

ont des points d'arrêt pour x = o ; les courbes

y = r î y -- x arc tang -

ont, pour x = o, des points saillants.

593. Passons maintenant à la recherche des autres espèces de points singuliers, que peuvent présenter les courbes algébriques, et parlons d'abord des points multiples. Soit

l'équation de la courbe, supposée mise sous forme entière et rationnelle, si elle est algébrique ; sinon, nous supposerons que son premier membre soit une fonction transcendante jouissant des propriétés des fonctions entières, qui ne dépendent pas de leur degré.

Si l'on donne à x et à y des accroissements infiniment petits h, À, et que l'on désigne généralement par en un infiniment petit d'ordre n, on aura [339]

=-/(.r,r) + (/.D,-f-/-DJ)/(^,j)+£2

=f[x,y}^{hBa.+/,-Dy)f{x,y)^~(/iBz+AByy2f{x,y) + S3,

et ainsi de suite, suivant que l'on voudra pousser plus ou moins loin le développement.

Supposons maintenant que [x, y) soit un point de la courbe; alorsy(x, y) = o, et l'on aura, pour un point [x -j- h, y + k) infiniment voisin de {oc, y),

Imaginons qu'au point {oc, y) passent deux branches de courbe, non tangentes entre elles. Alors, pour la même valeur de h, on aura deux valeurs de À", différant entre elles d'un infiniment petit du premier ordre [567]. Soient l, A' ces valeurs; on devra avoir,