SINGULARITÉS DE LA DÉVELOPPÉE

branches tournent leur concavité dans des sens contraires ou dans le même sens. Mais, si la tangente était parallèle à l'axe des r, on échangerait entre eux les axes, ou encore on vérifierait si la courbe a des points de part et d'autre de l'ordonnée tangente, ou si elle n'en a que d'un seul côté ; en d'autres termes, si x n'a pas de maximum ou de minimum, ou s'il en a un.

600. Il existe des relations entre la forme de la développée au point qui correspond à un point singulier de la courbe, et la nature de ce point singulier.

Aux points d'inflexion, et généralement aux points pour lesquels la courbe a avec sa tangente un contact d'ordre supérieur au premier, on a généralement y" = o, p = co . Le rayon de courbure infini est une asymptote de la développée. Les deux branches infinies sont dirigées en sens contraire ou dans le même sens, selon que le point de contact est ou n'est pas un point d'inflexion, c'est-àdire suivant que l'ordre du contact de la courbe avec la tangente est pair ou impair.

Aux points de rebroussement de première espèce de la développante, on a généralement p = o ; la développée rencontre la développante à angles droits. On voit que la réciproque est vraie, en considérant la développante comme engendrée par le point de contact primitif de la tangente à la développée, cette tangente roulant sans glisser sur la développée.

Aux points de rebroussement de seconde espèce de la développante correspondent généralement des points d'inflexion de la développée.

Les points de maximum ou de minimum du rayon de courbure répondent généralement à des points de rebroussement de première espèce de la développée, sauf le cas où l'on aurait exceptionnellement y" = o, ce qui correspondrait toujours à une asymptote de la développée.

Aux points d'arrêt et aux points saillants de la développante correspondent des points d'arrêt de la développée.

La développante d'une courbe dont deux branches infinies s'approchent d'une asymptote commune dans deux directions opposées, comme dans l'hyperbole ordinaire, a un point d'inflexion à son intersection avec l'asymptote. Elle a un contact du troisième

ordre avec sa tangente au point où elle traverse l'asymptote, lorsque les deux branches de la courbe tendent vers la même région de

l'asymptote, comme dans la courbe y = — •